2.5直线与圆的位置关系（第3课时切线长定理、弦切角定理）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 2.5.3 直线与圆的位置关系 ——切线长定理、弦切角定理 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解切线长的概念，并与切线的概念进行区分 掌握切线长定理及其有关结论的证明与运用 3 掌握弦切角定理的证明与运用 新知探究 思 考 1. 如图，PA、PB是⨀O的切线，切点分别为A、B。PA与PB相等吗？ 度量可知：PA = PB 左图是轴对称图形，PA = PB A O B P 【猜想】PA = PB 新知探究 思 考 2. 证明上述猜想。 A O B P 证明：如图，连接OA、OB、OP， ∵PA、PB是⨀O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， 即△POA、△POB是直角三角形， 又∵OA = OB，OP = OP， ∴△POA ≌ △POB ( HL )， ∴PA = PB。 新知探究 思 考 我们也可以运用图形运动的方法证实：PA = PB。 A O (B) P 证明：如图，∵OA⊥PA，OB⊥PB，OA = OB， ∴O在∠APB的平分线， ∴把PB沿直线OP翻折，射线PB与射线PA重合， 又∵过点O有且只有一条直线与PA ( PB )垂直， ∴OB与OA重合，即点B与点A重合， ∴PA = PB。 新知探究 切线长： 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长， 叫做这点到圆的切线长。 eg：PA、PB的长即切线长。 知识要点 A O B P 新知探究 切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等； 圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 符号语言：∵PA、PB是⨀O的切线，∴PA = PB，OP平分∠APB。 知识要点 A O B P 新知探究 辨 析 切线就是切线长吗？ A O B P 区别 切线 直线 不可度量 切线长 线段的长 可以度量 知识要点 新知探究 探 究 1. 如图，连接AB交OP于点C，图中共有几处垂直？ A O B P C 解：∵PA、PB是⨀O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， PA = PB，OP平分∠APB ( 切线长定理 )， 又∵OA = OB，CP = CP， ∴△ACP ≌ △BCP ( SAS )， ∴∠ACP = ∠BCP = 90°，即AB⊥OP， ∴图中共有三处垂直：PA⊥OA，PB⊥OB，AB⊥OP。 新知探究 探 究 2. 图中共有几对全等？ 解：由切线长定理的证明可知：△POA≌ △POB， 由【探究1】可知：△ACP ≌ △BCP， ∵AB⊥OP， ∴△AOC、△BOC是直角三角形， 又∵OA = OB，OC = OC， ∴△AOC ≌ △BOC ( HL )， ∴图中共有三对全等： △POA ≌ △POB，△ACP ≌ △BCP，△AOC ≌ △BOC。 A O B P C 新知探究 探 究 3. 如图，OP与劣弧AB交于点D，与优弧AB交于点E，图中共有几对等弧？ 解：由【探究2】可知：△AOC ≌ △BOC， ∴∠AOC = ∠BOC， ∴∠AOE = ∠BOE， = ， ∴ = ， ∴图中共有两对等弧： = ， = 。 A O B P C D E 新知探究 切线长定理的有关结论： 1. 三处垂直：PA⊥OA，PB⊥OB，AB⊥OP； 2. 三对全等：△POA ≌ △POB，△ACP ≌ △BCP， △AOC ≌ △BOC； 3. 两对等弧： = ， = 。 知识要点 A O B P C D E 典例分析 典例1 如图，AB、AC、BD是⨀O的切线，切点分别是P、C、D。若AB = 10，AC = 6，则BD的长是________。 解：∵AB、AC、BD是⨀O的切线， 切点分别是P、C、D， ∴AP = AC = 6，BP = BD ( 切线长定理 )， ∵AB= 10， ∴BP = 4， ∴BD = 4。 O A C B D P 4 方法技巧 解题关键： 善于用切线长定理可以避免一些不必要的全等的证明。 典例分析 典例2 如图，PA、PB是⨀O的两条切线，A、B是切点，若∠APB = 60°，PO = 2，则⨀O的半径等于________。 解：∵PA、PB是⨀O的两条切线， ∴∠APO = ∠BPO = ∠APB = 30° ( 切线长定理 )， ∠PAO = 90°， ∴AO = PO = 1。 1 A O B P 新知拓展 弦切角： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 eg：∠BAP即弦切角。 知识要点 A O B P 新知拓展 探 究 解：∵∠OAP = 90°， ∴∠BAP = 90° - ∠OAB ， ∵OA = OB， ∴∠OAB = ∠B ， ∴∠AOB = 180° - ∠OAB -∠B = 180° - 2∠OAB， ∴∠BAP = ∠AOB。 1. 如图，弦切角∠BAP与圆心角∠AOB有怎样的数量关系？ A O B P 新知拓展 探 究 解：由【探究1】可知：∠BAP = ∠AOB， ∵∠C = ∠AOB， ∴∠C = ∠BAP。 2. 如图，弦切角∠BAP与圆周角∠C有怎样的数量关系？ A O B P C 新知拓展 弦切角定理： 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半， 等于它所夹的弧所对的圆周角的度数。 eg：∠BAP = ∠AOB，∠C = ∠BAP。 知识要点 A O B P C 典例分析 典例3 如图，直线AD是△ABC的外接圆相切于点A， 若∠B = 60°，则∠CAD的度数是_______。 解：由弦切角定理可知：∠CAD = ∠B = 60°。 60° A B D C 题型探究 根据切线长定理解决线段长度问题 题型一 【例1】如图，P为⨀O外一点，PA、PB分别切⨀O于A、B，CD切⨀O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA = 5，则△PCD的周长为________。 解：∵PA、PB分别切⨀O于A、B， ∴PA = PB = 5 ( 切线长定理 )， 同理：CA = CE，DB = DE， ∴C△PDC = PC + CE + DE + DP = PC + AC + DB + DP = PA + PB = 10。 10 O P A C B D E 题型探究 根据切线长定理解决线段长度问题 题型一 【例2】如图，⨀O与正方形ABCD的两边AB、AD都相切，且DE与⨀O相切于点E，正方形ABCD的边长为4，DE = 3，则OD的长为________。 解：如图，设⨀O与AB、AD相切于点M、N，连接OM、ON， ∵∠A = ∠AMO = ∠ANO = 90°，OM = ON， ∴四边形AMON是正方形，∴ON = AN， ∵DN、DE是⨀O的切线， ∴DN = DE = 3 ( 切线长定理 )， ∵AD = 4，∴AN = 1，∴ON = 1， 在Rt△OND中，OD = = 。 N M A B C D E O 根据切线长定理解决线段长度问题 题型一 题型探究 方法技巧 特定题型小结论： 已知：PA、PB是⨀O的切线，∠P = 90°。 结论：四边形PAOB是正方形。 A O B P 题型探究 根据切线长定理解决角度问题 题型二 【例3】四边形ABCD是⨀O的外切四边形，若∠AOB = 78°，则∠COD的度数是_______。 解：∵四边形ABCD是⨀O的外切四边形， ∴∠1 = ∠BAD，∠2 = ∠ABC ( 切线长定理 )， ∴∠1 + ∠2 = ( ∠BAD + ∠ABC )， ∴∠AOB = 180°- ( ∠BAD + ∠ABC )， 同理：∠COD = 180° - (∠ADC + ∠BCD )， ∴∠AOB + ∠COD = 360°- ( ∠BAD + ∠ABC + ∠ADC + ∠BCD ) = 360°- × 360° = 180°， ∵∠AOB = 78°，∴∠COD = 102°。 102° 1 O A C B D E 2 题型探究 根据弦切角定理解决角度问题 题型三 【例4】如图，AB是⨀O的直径，DB、DE分别切于点B、C， 若∠ACE = 25°，则∠D的度数是_______。 解：如图，连接BC， 由弦切角定理可知：∠ABC = ∠ACE = 25°， ∵AB是⨀O的直径，DB、DE分别切于点B、C，∴∠ABD = 90°，BD = CD ( 切线长定理 )， ∴∠BCD = ∠CBD = 65°， ∴∠D = 50°。 50° A E B C D O 课堂小结 切线长： 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等； 圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 切线长定理的有关结论： 1. 三处垂直：PA⊥OA，PB⊥OB，AB⊥OP； 2. 三对全等：△POA ≌ △POB，△ACP ≌ △BCP，△AOC ≌ △BOC； 3. 两对等弧： = ， = 。 课堂小结 弦切角： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理： 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半， 等于它所夹的弧所对的圆周角的度数。 感谢聆听! $$