2.5 直线与圆的位置关系（第3课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.5 直线与圆的位置关系（3） 第3课时　圆的切线的性质 学习目标 1．探索直线与圆相切的性质，能运用切线的性质解决相关问题； 2．能综合运用切线的判定和性质解决有关问题. 2 问题导学 直线与圆相切有哪些性质？ 思考与探索 如图，直线l是⊙O的切线，切点为D. 直线 l与半径OD有怎样的位置关系？为什么？ l D O 直线l与OD垂直. 可以用反证法证明. 4 D′ 思考与探索 如图，直线l是⊙O的切线，切点为D. 直线 l与半径OD有怎样的位置关系？为什么？ l D O 假设直线l与OD不垂直， 过圆心O作OD′⊥ l，垂足为D′． 根据“垂线段最短”的性质有OD′＜OD， 即圆心O到直线l的距离小于半径， 所以直线l与⊙O相交. 这与“直线l与圆相切”矛盾． 所以 l⊥OD . 5 新知归纳 圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的性质定理： O D l 符号语言： ∵直线l与⊙O相切于点D， ∴OD⊥直线 l. 新知归纳 回忆对切线的认识，想一想直线与圆相切有哪些性质？ (1)切线与圆有唯一的公共点； (2)圆心到切线的距离等于半径(即d＝r)； (3)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 本质相同 7 例题讲解 例1 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，DE与AC有怎样的位置关系？为什么？ ● O B A D C E 解：DE与AC互相垂直. 连接OD. ∵OD＝OA， ∴ ∠ODA＝∠OAD. 又∵∠OAD＝∠CAD， ∴ ∠ODA＝∠CAD. ∴ OD∥AC. ∵DE是⊙O的切线， ∴ DE⊥OD (圆的切线垂直于经过切点的半径)， 即∠ODE＝90°. ∴∠DEA＝90°，DE⊥OD. 8 例题讲解 变式1 如图，AB为⊙O的直径， DE切⊙O于D点，交AB于E点，过A点作AC⊥DE于C. 求证：AD平分∠CAB. ● O B A D C 证明：连接OD. ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD (圆的切线垂直于经过切点的半径)， ∵AC⊥DE， ∴ OD∥AC. ∴ ∠ODA＝∠CAD. ∵OD＝OA， ∴ ∠ODA＝∠OAD， ∴ ∠OAD＝∠CAD. 即AD平分∠BAC. E 9 例题讲解 变式2 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AC于E. 求证：DE是⊙O的切线. ● O B A D C E 解：连接OD. ∵OD＝OA， ∴ ∠ODA＝∠OAD， 又∵AD平分∠BAC， ∴ ∠OAD＝∠CAD， ∴ ∠ODA＝∠CAD. ∴ OD∥AC. ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD. ∴ DE是⊙O的切线. 10 例题讲解 例2 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E， ⊙O与AC相切于点D． 求证：BC是⊙O的切线. 证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D． ∴， ∵是等腰直角三角形，， 点O为的中点， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线. B A D C E ● O P 11 归纳总结 与切线相关的辅助线的作法： 已知圆的切线时，经常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形解决问题，即“见切线，连半径，得垂直”. 12 新知巩固 1. 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C. 若AD＝DC，求∠ABD的度数. B A D C ● O 解：∵BC是⊙O的切线， ∴ AB⊥BC. ∴∠ABC＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB＝90°. ∴ BD⊥AC. 又∵AD＝DC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BD是∠ABC的平分线. ∴∠ABD＝∠ABC＝×90°＝45°. 13 新知巩固 2. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P，PA与PB相等吗？为什么？ ● B A P O 证明：连接OP. ∵AB是小圆的切线，P为切点， ∴ OP⊥AB. 又∵AB是大圆的弦， OP⊥AB, ∴ PA=PB. 14 新知巩固 3. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D=30°，求∠A的度数. B A C ● D O 解:连接OC. ∵CD是⊙O的切线，C为切点， ∴ OC⊥CD， ∴ ∠OCD＝90°. 又∵∠D＝30°， ∴ ∠COD＝60°. ∵2∠A＝∠COD， ∴ ∠A＝30°. 15 新知巩固 4. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB 于点P. 判断△CBP的形状，并说明理由. ● A O B C P 证明：连接OB. ∵BC切⊙O于点B， ∴OB⊥BC. ∴∠OBA＋∠PBC＝90∘. ∵OC⊥OA， ∴∠OAB＋∠APO＝90∘. ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA. ∴∠PBC＝∠APO. ∵∠APO＝∠BPC， ∴∠PBC＝∠BPC， ∴PC＝BC. ∴△CBP是等腰三角形. 16 直线与圆相切的性质定理 直线与圆相切的性质： 1.有唯一的公共点； 2.d＝r；3.性质定理. 与切线相关的辅助线的作法： 见切线，连半径，得垂直 课堂总结 当堂检测 基础过关 1.（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为_______. 40° 18 当堂检测 基础过关 2.（2023·黑龙江·中考真题）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则 ． 34 19 当堂检测 基础过关 3.（2023·重庆·中考真题）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为______. 20 当堂检测 基础过关 4.（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形OAPB为菱形，且顶点A、P、B都在⊙O上，过点P作⊙O的切线，与OB的延长线相交于点Q．若⊙O的半径为2，则PQ的长为__________．   21 当堂检测 基础过关 5.（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (1)证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分. 22 当堂检测 基础过关 (2)解：设的半径为r， 则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 5.（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (2)如果，，求的半径． 23 当堂检测 综合提升 1.（2023·四川眉山·中考真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（     ）   A． B． C． D． C 24 当堂检测 综合提升 2.（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（     ） A． B． C． D． A 25 当堂检测 综合提升 3．如图，点D是中边的中点，于E，以为直径的经过D，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线． 其中正确的结论是___________. ①②③④ 26 4.（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为________． 当堂检测 综合提升 27 当堂检测 综合提升 5.（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (1) 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 28 当堂检测 综合提升 (2) 解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3. 5.（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (2)若，，求的半径． 29 2021 Blues 4800.0 $$