2.6正多边形与圆（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 2.6 正多边形与圆 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 认识正多边形，理解圆的内接正n边形、正n边形的外接圆的概念 理解正多边形的有关概念，掌握正多边形的有关计算 3 能借助尺规作出一些特殊的正多边形 新知探究 我们已经学习过等边三角形 ( 正三角形 )、正方形 ( 正四边形 )，正三角形、正四边形的各边相等，各角也相等。 生活中，各边相等、各角也相等的多边形的形象处处可见~ 螺帽的边缘 窗户的边框 新知探究 正多边形： 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 知识要点 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 新知探究 探 究 1. 已知：三边相等的三角形是正三角形，三角相等的三角形也是正三角形，问：各边相等的多边形是正多边形吗？或各角相等的多边形是正多边形吗？ 各角相等的多边形不一定是正多边形 各边相等的多边形不一定是正多边形 新知探究 探 究 2. 如图，已知⨀O， ( 1 ) 用量角器把⨀O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE； ( 2 ) 五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？ 解：( 2 ) 如图，点A、B、C、D、E把⨀O五等分， ∵ = = = = ， ∴AB = BC = CD = DE = EA， = ， ∴∠A =∠B， 同理：∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠A， ∴五边形ABCDE是正五边形。 O A B C D E 新知探究 探 究 3. 如图，点A、B、C、D、E、F把⨀O六等分。 ( 1 ) 在一张透明纸上画与图中形状、大小相同的图形，并把它们叠合在一起； O A B C D E F 新知探究 探 究 ( 2 ) 把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再旋转60°呢？ O A B C D E F 解：所画图形绕点O旋转60°，与原图重合， 再旋转60°，仍旧与原图重合。 新知探究 探 究 ( 3 ) 你能用图形运动的方法证实六边形ABCDEF是正六边形吗？ O A B C D E F 解：∵所画图形绕点O每旋转60°，仍旧与原图重合， ∴AB = BC = CD = DE = EF = FA， ∠FAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDE = ∠DEF = ∠EFA， ∴六边形ABCDEF是正六边形。 新知探究 正多边形与圆： 一般地，只要用量角器把一个圆n ( n ≥ 3 ) 等分， 依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形， 这个圆是这个正n边形的外接圆。 知识要点 新知探究 正多边形的有关概念： 1. 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； 2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径； 3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； 4. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识要点 O A B C D E F 中心 半径 中心角 边心距 新知探究 探 究 分别求半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的内角、外角、中心角、边长、边心距、周长和面积。 圆内接正三角形 圆内接正方形 圆内接正六边形 内角 外角 中心角 边长 边心距 周长 面积 新知探究 探 究 圆内接正三角形 内角 60° 外角 120° 中心角 120° 边长 R 边心距 周长 3R 面积 R2 O A B C D R 60° 120° 120° R 3R R2 分别求半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的内角、外角、中心角、边长、边心距、周长和面积。 新知探究 探 究 圆内接正方形 内角 90° 外角 90° 中心角 90° 边长 R 边心距 R 周长 4R 面积 2R2 O A B C D R E 90° 90° 90° R R 4R 2R2 分别求半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的内角、外角、中心角、边长、边心距、周长和面积。 新知探究 探 究 圆内接正六边形 内角 120° 外角 60° 中心角 60° 边长 R 边心距 R 周长 6R 面积 R2 O A B C D E F R 120° 60° 60° R R 6R R2 分别求半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的内角、外角、中心角、边长、边心距、周长和面积。 新知探究 正多边形的有关计算： 知识要点 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为d，周长为C，面积为S 名称 公式 内角 外角 中心角 边心距 d = 周长 C = na 面积 S = Cd 新知探究 探 究 1. 图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。 解：轴对称图形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形； 中心对称图形：正方形、正六边形。 新知探究 探 究 2. 连接图中正多边形的半径和边心距，你发现了什么？ 解：正三角形被分成6个全等的直角三角形； 正方形被分成8个全等的直角三角形； 正五边形被分成10个全等的直角三角形； 正六边形被分成12个全等的直角三角形。 新知探究 正多边形的性质： 1. 轴对称性：正多边形都是轴对称图形， 一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。 2. 中心对称性：一个正多边形，如果有偶数条边， 那么它是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。 3. 正多边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 知识要点 尺规作图 作正方形： 知识要点 用直尺和圆规可以作出一些特殊的正多边形~ 作法 图形 1. 在⨀O中作两条互相垂直的直径AC、BD。2. 依次连接A、B、C、D各点。 四边形ABCD就是所求作的正方形。 O A B C D 尺规作图 知识要点 作正六边形： 作法 图形 1. 在⨀O中任意作一条直径AD。 2. 分别以点A、D为圆心，⨀O的半径为半 径作弧，与⨀O相交于点B、F和点C、E。3. 依次连接A、B、C、D、E、F各点。 六边形ABCDEF就是所求作的正六边形。 O D A B C E F 新知探究 探 究 1. 如何作正八边形？ 知识要点 作法 图形 1. 在⨀O中作两条互相垂直的直径AE、CG。 2. 依次连接A、C、E、G各点。 3. 过点O分别作AC、CE的垂线分别交于点B、交于点F和交于点D、交于点H。 4. 依次连接A、B、C、D、E、F、G、H各点。 八边形ABCDEFGH就是所求作的正八边形。 O A C E G B D F H 新知探究 探 究 2. 如何作正三角形？ 知识要点 作法 图形 1. 在⨀O中任意作一条直径BD。 2. 分别以点A为圆心，⨀O的半径为半 径作弧，与⨀O相交于点A、C。 3. 依次连接A、B、C各点。 三角形ABC就是所求作的正三角形。 O A C B D 新知探究 探 究 3. 如何作正十二边形？ 知识要点 作法 图形 1. 在⨀O中作两条互相垂直的直径AG、DJ。 2. 分别以点A、G、D、J为圆心，⨀O的半径为半径作弧，与⨀O相交于点C、K和点E、I和点B、F和点H、L。 3. 依次连接A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L各点。 十二边形ABCDEFGHIJKL就是所求作的正十二边形。 O C E I K G A D J B F L H 题型探究 正多边形的有关计算——边数 题型一 【例1】如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心。若∠ADB = 18°，则这个正多边形的边数为________。 解：如图，连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB = 18°， ∴∠AOB = 2∠ADB = 36°， ∴这个正多边形的边数 = = 10。 10 O A C B D 题型探究 正多边形的有关计算——边心距 题型一 【例2】已知⨀O的半径为6，则它的内接正三角形边心距为________。 3 解：如图，连接OB、OC，作OD⊥BC于D， 则∠ODB = 90°， ∵∠BOC = × 360° = 120°，OB = OC = 6， ∴∠OBC = ∠OCB = 30°， ∴OD = OB = 3。 O A C B D 题型探究 正多边形的有关计算——周长 题型一 【例3】已知一个正多边形的中心角为45°，边长为5， 那么这个正多边形的周长等于________。 解：∵该正多边形的中心角为45°， ∴正多边形的边数为：360° ÷ 45° = 8， ∴该正多边形的周长为：5 × 8 = 40。 40 题型探究 正多边形的有关计算——面积 题型一 【例4】已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为________。 解：如左图，连接OA、OB， ∵圆内接正六边形边长为1， ∴∠AOB = = 60°，AB = 1, ∵OA = OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴圆的半径 = AB = 1； 如右图，连接OB，过O作OD⊥BC于D， 则∠OBC = 30°， ∴BD = OB = ，∴BC = 2BD = ， ∴S圆的内接正三角形 = × 2 = 。 O A C B D O A C B D E F 题型探究 正多边形与圆的实际应用 题型二 【例5】我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的。正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材 最少、空间最大、也最为坚固。如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⨀O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（ ） A．12 B． C． D． 解：如图，连接OA交BF于点G，连接OB， ∵六边形ABCDEF是⨀O的内接正六边形， ∴AB = AF = 6，∠AOB = = 60°， ∴OA⊥BF，∴BG = FG， ∵OA = OB，∴△OAB是等边三角形，∴OB = AB = 6， 在Rt△BOG中，BG = OB = ，∴BF = 2BG = 。 G C 课堂小结 正多边形与圆： 一般地，只要用量角器把一个圆n ( n ≥ 3 ) 等分， 依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。 正多边形的有关概念： 1. 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； 2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径； 3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； 4. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 课堂小结 正多边形的有关计算： 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为d，周长为C，面积为S 名称 公式 内角 外角 中心角 边心距 d = 周长 C = na 面积 S = Cd 课堂小结 正多边形的性质： 1. 轴对称性：正多边形都是轴对称图形， 一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。 2. 中心对称性：一个正多边形，如果有偶数条边， 那么它是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。 3. 正多边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 感谢聆听! $$