第二章一元二次函数、方程和不等式（单元测试·提升卷）高一数学人教A版2019必修第一册

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B B A D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ACD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）设，（2分） 所以，解得，（4分） ，（5分） 即（7分） 的取值范围是.（8分） （2）证明： （9分） ，（10分） （12分） ， .（13分） 16．（15分） 【详解】（1）不等式可化为，（2分） ①时，解不等式得，（4分） ②时，，解不等式得，（5分） ③时，解不等式得.（7分） 综上，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为；（8分） （2）由题意，不等式即恒成立，（10分） 所以，（11分） 又（当且仅当，即时取“”），（14分） 所以实数的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则，（2分） ，（4分） 当且仅当，即时等号成立，（6分） ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元；（7分） （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立，（9分） 又，（13分） 当且仅当即时等号成立，（14分） ，又，故.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为，（3分） 当且仅当时等号成立，（5分） 故，当且仅当时等号成立，（7分） 故成立.（8分） （2）,（10分） 由基本不等式有， ， ，（13分） 当且仅当时等号成立.（16分） 故，（17分） 19．（17分） 【详解】（1）解：设不等式、、的解集分别为、、， 当时，，（1分） 由可得，解得， 即，（3分） （iii）中的不等式即为，即，即， 解得或，即，（4分） 所以，.（5分） （2）解：（iii）中的不等式即为， 即，（6分） 当时，原不等式即为，解得；（7分） 当时，，解原不等式可得；（8分） 当时，因为，即， 解原不等式可得或.（10分） 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或.（11分） （3）解：设不等式、、的解集分别为、、， 解不等式，可得，解得，（12分） 则，且， 下面考虑当时，实数的取值范围， 则或，解得或， 所以，当时，，（13分） 因为满足不等式，则， 即，所以，或，解得或， 所以，或，（14分） 当时，，此时，， 由题意可得，所以，，可得， 解得或，此时，；（15分） 当时，，此时，或， 由题意可得，则，该不等式组无解.（16分） 综上所述，实数的取值范围是.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可 【详解】由或，， 若或成立，则不一定成立，故充分性不成立， 若成立，则或一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 2．已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，故A错误； 对于B，由，可得，则，即，故B错误； 对于C，因为，可得； 所以，故C正确； 对于D，，当时，，故D错误． 故选：C 3．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 4．不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 5．已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 6．命题恒成立，命题成立，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含有量词的命题真假关系分别求出真假时的范围，即可求解． 【详解】因为恒成立为真命题， 所以在时恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即， 因为命题成立为假命题， 所以为真命题，则，即， 若是真命题，是假命题，则． 故选：D 7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【答案】A 【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 8．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】原不等式可化为，即可得，即或，再分及，结合解集及正整数解的个数讨论即可得. 【详解】原不等式可化为， 即恰有2个整数解， ，解得或. 当时，不等式的解集为， ，个整数解为1，2， ，即，解得； 当时，不等式的解集为， ，个整数解为，， ，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可. 【详解】，所以B正确； 当时，满足， 但，所以A，C； ,故D正确. 故选：BD 10．已知关于的不等式（）的解集为，下列选项中正确的是（    ） A． B． C．的最小值为4 D．若，则的最小值为4 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集判断该函数开口向上，从而判断A选项；又因为方程只有一个解，根据求解的值；再根据均值不等式计算CD即可. 【详解】选项A中，因为关于的不等式（）的解集为， 所以判断二次函数开口向上，即，选项A正确； 选项B中，因为方程只有一个解，得， 解得，选项B错误； 选项C中，因为，且，所以，， 当且仅当，即，时，取到最小值，选项C正确； 选项D中，若，则，， 当且仅当，即时等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 11．已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 【答案】BC 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，， ，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以A选项错误. B选项，，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. D选项，， 整理得，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. C选项，， 由D选项的分析可知：，所以C选项正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．．若此命题是假命题，则实数的取值集合是 【答案】 【分析】我们已知原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，然后利用不等式的恒成立求解参数范围即可. 【详解】由题意可知，命题“”的否定是“”， 且是真命题，所以或解得， 所以实数的取值集合是． 故答案为： 13．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，利用折叠图形的性质，通过勾股定理得到与的关系，建立面积与的函数关系，再结合基本不等式求其的最大值. 【详解】如图： 长方形周长为，不妨设 ，且，设 在中， ，变形得： 当且仅当“”等号成立 所以面积的最大值为. 故答案为：. 14．设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 可知的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求的取值范围； （2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论. 【详解】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 16．（15分） （1）解关于的不等式； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）由，，讨论即可；（2）转化成，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）不等式可化为， ①时，解不等式得， ②时，，解不等式得， ③时，解不等式得. 综上，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为； （2）由题意，不等式即恒成立， 所以， 又（当且仅当，即时取“”）， 所以实数的取值范围为. 17．（15分） 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)米 (2) 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 18．（17分） 已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 19．（17分） 已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）． (1)若，求这三个不等式的解集的交集． (2)若，解（ⅲ）这个不等式； (3)存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的，且这些使不等式（ⅲ）不成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，且实数的取值范围是 【分析】（1）当时，解出三个不等式，利用交集的定义可得出三个不等式解集的交集； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，利用一次不等式或二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）设不等式、、的解集分别为、、，求出集合，考虑时实数的取值范围，可得出当时，实数的取值范围，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：设不等式、、的解集分别为、、， 当时，， 由可得，解得， 即， （iii）中的不等式即为，即，即， 解得或，即， 所以，. （2）解：（iii）中的不等式即为， 即， 当时，原不等式即为，解得； 当时，，解原不等式可得； 当时，因为，即， 解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）解：设不等式、、的解集分别为、、， 解不等式，可得，解得， 则，且， 下面考虑当时，实数的取值范围， 则或，解得或， 所以，当时，， 因为满足不等式，则， 即，所以，或，解得或， 所以，或， 当时，，此时，， 由题意可得，所以，，可得， 解得或，此时，； 当时，，此时，或， 由题意可得，则，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于分析出以及，由此列出关于实数的不等式进行求解. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 5．已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 6．命题恒成立，命题成立，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 8．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式（）的解集为，下列选项中正确的是（    ） A． B． C．的最小值为4 D．若，则的最小值为4 11．已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．．若此命题是假命题，则实数的取值集合是 13．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为 . 14．设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 16．（15分） （1）解关于的不等式； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．（15分） 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 18．（17分） 已知，，，且，证明： (1)； (2). 19．（17分） 已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）． (1)若，求这三个不等式的解集的交集． (2)若，解（ⅲ）这个不等式； (3)存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的，且这些使不等式（ⅲ）不成立，求的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 5．已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 6．命题恒成立，命题成立，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 8．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式（）的解集为，下列选项中正确的是（    ） A． B． C．的最小值为4 D．若，则的最小值为4 11．已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．．若此命题是假命题，则实数的取值集合是 13．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为 . 14．设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 16．（15分） （1）解关于的不等式； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．（15分） 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 18．（17分） 已知，，，且，证明： (1)； (2). 19．（17分） 已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）． (1)若，求这三个不等式的解集的交集． (2)若，解（ⅲ）这个不等式； (3)存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的，且这些使不等式（ⅲ）不成立，求的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$