3.1.3.2函数奇偶性的应用课时练习-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.3.1函数奇偶性的应用 一、选择题 1．已知f (x)为奇函数，其局部图象如图所示，那么(　　) A．f (2)＝－2 B．f (2)＝2 C．f (2)<－2 D．f (2)>－2 2．已知函数y＝f (x)为奇函数，且当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f (x)的解析式是(　　) A．f (x)＝－x2＋2x－3　 B．f (x)＝－x2－2x－3 C．f (x)＝x2－2x＋3 D．f (x)＝－x2－2x＋3 3．若函数f (x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f (x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) 4．(多选)设函数f (x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论不成立的是(　　) A．|f (x)|－g(x)是奇函数 B．|f (x)|＋g(x)是偶函数 C．f (x)－|g(x)|是奇函数 D．f (x)＋|g(x)|是偶函数 5．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x－1)<f的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．已知函数y＝f (x)的定义域为R，f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，f (3)＝0，且对任意的x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2，满足<0，则不等式(x－1)f (x＋1)≥0的解集是(　　) A．(－∞，1]∪[2，＋∞) B．[－4，－1]∪[0，1] C．[－4，－1]∪[1，2] D．[－4，－1]∪[2，＋∞) 7．(多选)已知函数f (x)＝＋|x－2a|，其中a>0，则(　　) A．f (x)≥2 B．f (x)图象的对称轴是直线x＝a＋ C．f (x)图象在直线y＝x的上方 D．当f (3)<5时，<a< 二、填空题 8．函数f (x)在R上为偶函数，且x＞0时，f (x)＝＋1，则当x＜0时，f (x)＝________． 9．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f (－3)＝0，则<0的解集为________． 10．已知奇函数g(x)是R上的减函数，且f (x)＝g(x)＋2．若f (m)＋f (m－2)＞4，则实数m的取值范围是________． 11．如果函数g(x)＝是奇函数，则f (x)＝________． 12．若函数f (x)满足在定义域内存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)，则称函数f (x)为“有偶函数”．若函数f (x)＝是在R上的“有偶函数”，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 13．已知函数f (x)＝x2＋2ax－1． (1)若f (1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f (x)的最小值； (2)若f (x)为偶函数，求实数a的值； (3)若f (x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围． 14．设函数y＝f (x)(x∈R且x≠0)，对任意实数x1，x2满足f (x1)＋f (x2)＝f (x1x2)． (1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求证：y＝f (x)为偶函数； (3)若y＝f (x)在(0，＋∞)上为减函数，试求满足不等式f (2x－1)>f (1)的x的取值范围． 15．给出关于函数f (x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上是减函数；②在(－∞，0)上是增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f (0)＝0．在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面的问题中： 定义在R上的函数f (x)，若满足________(填写你选定条件的序号)，且f (－1)＝0，求不等式f (x－1)>0的解集． (1)若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由； (2)若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号(不必说明理由)； (3)求解问题(2)中选定条件下不等式的解集． 答案解析 1．D　[由题图可知f (－2)<2， 因为函数是奇函数， 所以f (－2)＝－f (2)，即－f (2)<2， 所以f (2)>－2．故选D．] 2．B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，所以f (－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f (x)是奇函数，所以f (－x)＝x2＋2x＋3＝－f (x)，所以f (x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f (x)＝－x2－2x－3．故选B．] 3．A　[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f (x)＝－2x2＋1，所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递增．故选A．] 4．ABC　[根据题意有f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，所以f (－x)＋|g(－x)|＝f (x)＋|－g(x)|＝f (x)＋|g(x)|，所以f (x)＋|g(x)|是偶函数．同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数．故选ABC．] 5．A　[由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒<x<．故选A．] 6．C　[由f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，可知f (x)图象关于点(0，0)对称， 即函数f (x)是定义在R上的奇函数， 由<0可知f (x)在(－∞，0)上单调递减，f (3)＝0，所以f (x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f (－3)＝0，f (0)＝0， 所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f (x)>0； 当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x)<0， 所以由(x－1)f (x＋1)≥0，可得或或x－1＝0， 解得－4≤x≤－1或者1≤x≤2，即不等式的解集为[－4，－1]∪[1，2]．故选C．] 7．AC　[当x≤－时，f (x)＝－2x－＋2a； 当－<x<2a时，f (x)＝＋2a； 当x≥2a时，f (x)＝2x＋－2a，函数图象如图， 当－<x<2a时，函数f (x)＝＋|x－2a|取最小值， 即f (x)min＝2a＋≥2，当且仅当a＝时取等号， 故f (x)≥2，A正确． 函数对称轴为x＝＝a－，B错误． 当x＝2a时，y＝x＝2a，且a>0， 所以2a＋>2a， 所以f (x)图象在直线y＝x的上方，C正确． 当3<2a时，即a>时， f (3)＝＋2a<5，解得<a<， 故<a<； 当3≥2a时，即0<a≤时， f (3)＝6＋－2a<5， 解得a>1或a<－， 故1<a≤； 综上，1<a<，D错误．故选AC．] 8．＋1　[∵f (x)为偶函数，x＞0时，f (x)＝＋1， ∴当x＜0时，－x＞0，f (x)＝f (－x)＝＋1， 即x＜0时，f (x)＝＋1．] 9．{x|－3<x<0或x>3}　[∵f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数， ∴f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f (3)＝f (－3)＝0． 当x>0时，令f (x)<0，解得x>3； 当x<0时，令f (x)>0，解得－3<x<0． ∴<0的解集为{x|－3<x<0或x>3}．] 10．(－∞，1)　[由题知f (x)＝g(x)＋2， 若f (m)＋f (m－2)＞4， 即g(m)＋2＋g(m－2)＋2＞4， 则有g(m)＞－g(m－2)． 又g(x)为奇函数，且在R上为减函数，则g(m)＞g(2－m)，则m＜2－m，解得m＜1，即m的取值范围为(－∞，1)．] 11．2x＋3　[当x<0时，－x>0， 故g(x)＝－g(－x)＝－(－2x－3)＝2x＋3， 所以f (x)＝2x＋3．] 12．　[因为f (x)为R上的“有偶函数”，故存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)．若x<0，则－x>0，故方程－x－1＝ax2－x有解，即a＝－在(－∞，0)上有解．而y＝－＝－＋，又<0，故y＝－的值域为，即a≤．若x>0，则－x<0，故方程x－1＝ax2＋x有解，即a＝在(0，＋∞)上有解．而y＝＝－＋，又>0，故y＝的值域为，即a≤．综上，实数a的取值范围是．] 13．解：　(1)由题意可知，f (1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1， 此时函数f (x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2， 故当x＝－1时，函数f (x)min＝－2． (2)若f (x)为偶函数，则对任意x∈R， f (－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f (x)＝x2＋2ax－1，化简得，4ax＝0，故a＝0． (3)函数f (x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f (x)在(－∞，4]上单调递减， 所以4≤－a，即a≤－4， 故实数a的取值范围为(－∞，－4]． 14．解：　(1)当x1＝x2＝1时，f (1)＋f (1)＝f (1)， 得f (1)＝0，当x1＝x2＝－1时， f (－1)＋f (－1)＝f (－1×(－1))＝f (1)＝0， 所以2f (－1)＝0，所以f (－1)＝0． (2)证明：当x2＝－1时， f (x1)＋f (－1)＝f (－x1)， 又f (－1)＝0， 所以f (x1)＝f (－x1)， 又x∈R且x≠0，f (x)的定义域关于原点对称， 所以f (x)是偶函数． (3)因为f (x)在(0，＋∞)上为减函数，且f (x)是偶函数， 所以f (x)在(－∞，0)上为增函数， 又f (2x－1)>f (1)， 即0<|2x－1|<1， 解得x∈． 15．解：　(1)若不等式f (x－1)>0的解集为空集，即f (x－1)≤0恒成立．因为f (－1)＝0，所以函数f (x)不可能单调递增或单调递减，所以①，②都不能选．选③④时，f (x)的表达式为f (x)＝0，不等式f (x－1)>0的解集为空集．所以选③④． (2)若不等式f (x－1)>0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤． (3)若选择①③．由f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0，则f (1)＝0． 又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是减函数，因为f (x－1)>0，则x－1<－1或0<x－1<1，解得x<0或1<x<2，所以不等式f (x－1)>0的解集为(－∞，0)∪(1，2)． 若选择①④⑤．由f (x)是偶函数，及f (－1)＝0，得f (1)＝0． 又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是增函数． 由f (x－1)>0，得－1<x－1<0或0<x－1<1，解得0<x<1或1<x<2，所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(1，2)． 若选择②③．因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0，则f (1)＝0．又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是增函数．由f (x－1)>0，得－1<x－1<0或x－1>1，解得0<x<1或x>2，所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(2，＋∞)． 若选择②④⑤．因为f (x)是偶函数，f (－1)＝0，则f (1)＝0． 又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是减函数．由f (x－1)>0，得－1<x－1<0或0<x－1<1， 解得0<x<1或1<x<2， 所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(1，2)． 1/8 学科网（北京）股份有限公司 $$