练案22 3.1.3 第1课时 函数的奇偶性-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[22] 第三章 函数 3.13.1.3[第1课时 函数的奇偶性] A组基础巩固 一、选择题 1.如图是偶函数y=f(x)的局部图像，根据图像所给信 0 3 6 x 息，下列结论正确的是 7若定义在(-1,1)上的奇函数八)=则 常数m,n的值分别为 02 6 x 8.已知f(x)=x3+ax3+bx-8(a,b是常数)，且f(-3) A.f(-2)-f(6)=0 B.f(-2)-f(6)<0 =5,则f(3)= C.f(-2)+f6)<0 D.f(-2)-f(6)>0 三、解答题 2.若函数f八x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有 ( )9.定义在[-3，-1]U[1,3]上的函数f(x)是奇函数， A.f(x)f(-x)>0 B.f(x)f(-x)<0 其部分图像如图所示. C.f(x)<f(-x) D.f(x)>f(-x) 3.若函数fx)=(2x+1)(x-a 、为奇函数，则a= ( -3-2-10123x B号 (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像； (2)比较f(1)与f(3)的大小. c D.1 「-x,x<-1, 4.函数f(x)= 1,-1≤x≤1，是 ( x,x>1 A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 5.(多选题)(2024·天津高一检测)下列结论不正确的 是 ( A.Rx)=(x-1) 1+x是偶函数 「x2+x(x<0) B.f(x)= 是奇函数 -x2+x(x>0) C.f(x)=√3-x2+2-3是偶函数 1-x2 D.)=+3一是非奇非偶函数 二、填空题 6.设奇函数f(x)的定义域为[-6,6]，当x∈[0,6]时 f(x)的图像如图所示，不等式(x)<0的解集用区间 表示为 —143 10.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+二、填空题 f(y)(x,yeR),且f3)=6. 4.若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上 (1)求f0)f1); 的偶函数，则f(2a-b)= (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明. 5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x) =2-3,则f(-2)= 三、解答题 6.已知函数f(x)=m+是R上的偶函数 1+x2 (1)求实数m的值； (2)判断函数f(x)在(-0,0]上的单调性； (3)求函数(x)在[-3,2]上的最大值与最小值. B组素养提升 一、选择题 1.(2024·合肥高一检测)已知函数f(x)=+x+」， x2+1 若a)=号，则-a)= ( A号 c号 D.-青 2.(多选题)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R,且f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(x)Ig(x)是奇函数 C.f(x)1g(x)1是奇函数 D.1f(x)g(x)I是奇函数 3.(多选题)已知函数f(x)=[x]([x]指不超过x的最 大整数)，下列说法正确的是 C组创新拓展 A.x-1<f(x)≤x 已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足(1+x)= B.f(x)为增函数 f1-x)f(1)=2,则f(2)+f(3)+f(4)=() A.0 B.-2C.2D.6 C.f(x)为奇函数 D.y=x-f(x)的值域为[0,1) 144fx)是奇函数， <0的不等式的解集为(0,3).又f代x)为奇函数，图像关于原点对 代)=B-的图像关于原点对称 称，所以在[-6,0)上，不等式f代x)<0的解集为[-6，-3).综上 可知，不等式f代x)<0的解集为[-6，-3)U(0,3). 3.B因为函数f孔x)是定义在R上的偶函数，所以f2)=f(-2)=7.0,0由已知得f(0)=0,故m=0. (-2)3=-8,故选B 由fx)是奇函数，知f八-x)=-f孔x), 4-子由题得)为奇函数，则/0)=0，即0+2a+3=0, 即9” a=号此时儿x)=子g为奇函数 .x2-nx+1=x2+nx+1, ∴.n=0. 练案[22] 8.-21设g(x)=x3+ar3+bx,则g(x)为奇函数.由题设可得 -3)=g(-3)-8=5,得g(-3)=13. A组基础巩固 又g(x)为奇函数， 1.B由图像可知，f(2)<f(6),又.f(x)为偶函数， 所以g(3)=-g(-3)=-13, ∴.f-2)=f2),∴.f-2)-f6)<0. 于是f3)=g(3)-8=-13-8=-21. 2.Bf(x)为奇函数， 9.(1)因为f(x)是奇函数，所以其图像关于原点对称，如图 f-x)=-fx),又fx)≠0， 所示 f代x)f-x)=-[fx)]2<0.故选B. 41 3.A因为f(x)为奇函数， 所以f代-x)=-f代x), 一花 即-2x+1)(-x-a）-(2x+1)(x-@' -3-2-1 01233 化简得2x2(2a-1)=0, 解得a=2 1 -x,x<-1, (2)观察图像，知f(3)<f1). 4.B由题意，函数f代x)= 1,-1≤x≤1， 10.(1)令x=y=0,则x+y=0,有f0)=f0)+f(0), 所以f(0)=0. x,x>1, 根据一次函数的图像与性质，作出函数f(x)的图像，如图 令x=2,y=1,则f2+1)=f3)=f2)+f1), 所示， 因为f3)=6,f2)=f1+1)=2f1), 所以3f1)=6f代1)=2. (2)函数f(x)是奇函数. 证明：由(1)，得f(0)=0, ∴.f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即f(-x)=-fx), .f代x)为奇函数 B组素养提升 结合函数的图像，可得函数f代x)的图像关于y轴对称，所以函 数f代x)为偶函数. .c==1+ x2+1 5.AD对于Af(x)的定义域为[-1,1)，定义域不关于原点对 称，所以f(x)不是偶函数，所以该结论错误： 令g)=+则g)的定义域为R, 对于B,设x>0,则-x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x 又8(-)子8()所以)是奇函数 =-(-x2+x)=-f(x),同理x<0,也有f-x)=-f(x)成 立，所以f代x)是奇函数，所以该结论正确： 又o)=1+g(o)=子，所以ga)=-子 1 对于C,易知f(x)的定义域{-5,5}关于原点对称， 且f代-x)=f(x）=0,所以f代(x)是偶函数，所以该结论正确； 所以-a)=1+g(-）=1-(a)=号 1-x≥0， 2.AC由题意可知f代-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项 对于D,解 得-1≤x<0或0<x≤1， 1x+31-3≠0， A,f代-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以fx)g(x)是奇函 所以利=之=里 数，故A项正确；对于选项B,f代-x)1·g(-x)=1-f(x)川 x+3-3= ·g(x)=f代x)I·g(x),所以f(x)g(x)是偶函数，故B项 因为f代-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数，所以该结论错误. 错误；对于选项C,f(-x)Ig(-x)I=-f(x)Ig(x)I,所以 6.[-6,-3)U(0,3)由f(x)在[0,6]上的图像知，满足f(x)fx)1g(x)川是奇函数，故C项正确；对于选项D,f-x)· 211 g(-x)1=1-fx)g(x)1=f(x)g(x)I,所以lf(x)g(x)I是 偶函数，故D项错误，选AC 又-3)=00)=12)=5 3.AD①因为[x]指不超过x的最大整数，故[x]≤x,当且仅当 所以f(x)m=f0)=1, x为整数的时候取等号， m=-3)=0 ②当x为整数时f代x)=x>x-1成立，当x不为整数时，设x C组创新拓展 =[x]+t,则由[x]指不超过x的最大整数可知，0<t<1, B因为f代1+x)=f代1-x),所以f(x)的图像关于直线x=1 故[x]=x-t>x-1,A正确： 对称， f)=[】=0,f(0)=[0]=0,故fx)不是增函数，B 又因为f代x)是定义在R上的奇函数， 错误； 所以f1+x)=f(1-x)=-f代x-1),且f(0)=0,则f(x+2) =-fx), (-2)=[-2]=-1,f()=[2]=0,-) 所以fx+4)=-f(x+2)=f孔x), f(分不互为相反数.C错误： 所以f4)=f0)=0f3)=f-1)=-f1)=-2, 又因为f(x)的图像关于直线x=1对称， 由A项分析可知，设x=[x]+t,则0≤t<1, 所以f(2)=f(0)=0, 故y=x-[x]=te[0,1),D正确. 所以f2)+f(3)+f(4)=0-2+0=-2. 故选AD. 第2课时函数奇偶性的应用 4.5因为函数f(x)是定义在[-1-a,2a]上的偶函数，所以 : -1-a+2a=0,即a=1 必备知识探新知 因为fx)=f代-x), 知识点1：(1)增函数（减函数）相同(2)减函数（增函 所以ax2+bx+1=ax2-bx+1, 数)相反 所以b=0, !对应练习 所以fx)=x2+1, 1.C·f代x)是定义在R上的偶函数， 所以f2a-b)=f2)=5. .f-π）=fπ)，f-4)=f4), 5.-1当x>0时，fx)=2-3, 又f(x)在(0，+∞)上是增函数，0<3<T<4, f2)=22-3=1, .f3)<f(π)<f4),即f3)<f(-π)<f-4). 又f(x)为奇函数，f代-2)=-f(2)=-1. 2.[-1,0]和[1,3]利用偶函数的图像关于y轴对称，作出其 61)若西数=是是R上的偶喝数。 在[-3,0]上的图像后写出单调递减区间.由于函数f(x)是 [-3,3]上的偶函数，所以其图像如图所示.所以它的单调递 则f-x)=fx), 减区间为[-1,0]和[1,3] 即m(-x)+1-mx+1 1+(-x)2 1+x2, 解得m=0. (2)函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，理由如下： 由(1)知(x)=1+7 -3-2-10 设任意的x1,x2∈（-0,0]，且x1<x2, 知识点2：(1)a(2)(a,b) 1 1+x-1-x 对应练习 则()-()+1+寻 (1+x)(1+x2) (1)×(2)V(3)×(4)V =（x3+x1)(2-x) 关键能力攻重难 (1+x1)(1+x2) 例1：(1)当x<0时，-x>0,f-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2 因为x<2≤0， +2x-1, 所以x2+x1<0,x3-名1>0， 因为函数f代x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),所以x<0 (1+x)(1+x)>0, 时fx)=-x2-2x+1, 所以f代x)<f(x2), 又因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0.所以 所以函数f(x)在(-，0]上单调递增 rx2-2x-1(x>0), (3)由(2)知函数fx)在(-∞，0]上是增函数 fx)=0(x=0), 又f(x)是R上的偶函数， L-x2-2x+1(x<0). 所以f(x)在(0，+∞)上为减函数， (2):f代x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(-x)=-f(x), 所以f(x)在[-3,0]上为增函数， g(-x)=g(x). 在[0,2]上为减函数， 由f八x)+g(x)=e°，① -212