3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 第2课时函数 效果评价 1.若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)= f(x)+g(x)+2在(0，+∞)上有最大值8，则在 (-∞，0)上F(x)有() A.最小值-8 B.最大值-8 C.最小值-6 D.最小值-4 2.设奇函数f(x)在(0，+∞)上为减函 数，且f1)=0,则不等式)-f-)<0的解 集为() A.(-1,0)U(1,+∞) B.(-∞，-1)U(0,1) C.(-∞，-1)U(1,+∞) D.(-1,0)U(0,1) 3.已知函数y=f(x-1)+x2是定义在R上 的奇函数，若f(-2)=1,则f(0)=() A.-3 B.-2 C.-1 D.0 4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足： 对任意的≠，有)fx0恒成立，则 x1-X2 不等式f2x+1)+f2-x)<0的解集为( A3,+∞ B.-,3 C.(-3,+0) D.(-∞，-3) 5.设f(x)是定义在R上的偶函数，且在 (-0,0)上是增函数，已知x1>0,2<0且 f(x)<f(x2),那么一定有() A.x1+x2<0 40)练 N 奇偶性的应用 B.f(-x1)f(-x2)<0 C.f(-x1)>f-x2) D.x1+x2>0 6.如果偶函数f(x)在区间[-3，-1]上 是增函数且有最大值5，那么f(x)在区间 [1,3]上是() A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为5 7.已知f(x)是定义域为(-0，+∞)的奇 函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值为（) A.2 B.-2 C.0 D.4 8.(多选题)已知函数f代x)是R上的奇 函数，且当x≥0时，f(x)=2+x+a-2,则 () A.a=2 B.f2)=2 C.f(x)是增函数 D.f(-3)=-12 9.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 且fx)+8(x)=,xe(-1,1),则e) -,g(x)= 10.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上 单调递增，则满足f(2x-1)<f(x)的x的取值 范围是 提升练习 11.奇函数yf(x)在R上单调递减，若 第三章函数。 对任意的实数m,f(m-1)+f(m4t)<0恒成立， 求实数t的取值范围 12.已知f代x)是定义在R上的不恒为零的 函数，且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)= af(b)+bf(a). (1)求f(0),f1)的值. (2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的 结论 练(（41又f(x)是奇函数，f0)=0, {x3+x+1,x>0, .fx)=0,=0, x3+-1,x<0. 9.0【解析】由于f(x)是奇函数，图象关于原点对 称，.∴.最高点和最低点也关于原点对称，M+m=0 10.解：(1)当>2时，设fx)=a(x-3)244. fx)的图象过点A(2,2), ∴a(2-3)244=2,∴.a=-2,fx)=-2(x-3)244. 设x∈(-∞，-2)，则-x>2,.∴.f(-x)=-2(-x-3)2+4 又f(x)在R上为偶函数 ∴.f-x)=fx),∴fx)=-2(-x-3)2+4, 即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞，-2)： (2)函数图象如图所示 5-4-3-2-1012345x 第10题答图 (3)观察图象，知f(x)的值域为yy≤4.单调递 增区间为(-∞，-3]和[0,3]；单调递减区间为[-3， 0]和[3，+∞). 提升练习 11.B【解析】A和C的定义域不关于原点对称，不 正确；B的定义域为[-2,0)U(0,2],函数可化为 f=V4e,f-x)=V4文，fx)=f-x),fx)为 一X 奇函数，B正确；D为偶函数.故选B. 12.AB【解析】yf(x)(xeR)是奇函数，∴f-x) =x).又xeR,∴.令x=0,则f-0)=-f(0),得f0)= 0,点(0,0)，(-a,fa)一定在f(x)的图象上. 故选AB. 13.D【解析】fx)为奇函数，f-x)=f代x). 1)=-1,f-1)=f1)=1 又由-1≤f代x-2)≤1，得f(1)≤fx-2)≤f(-1) 又fx)在(-，+∞)上单调递减，-1≤-2≤1. .1≤x≤3.故选D. 第2课时函数奇偶性的应用 效果评价 1.D【解析】根据题意，有f(x)+g(x)在(0，+∞)上 参考答案。 有最大值6，又f(x)和g(x)都是奇函数，.fx)+g(x)是 奇函数且f(x)+g(x)在(-∞，0)上有最小值-6，则F(x) 在(-∞，0)上有最小值-6+2=-4.故选D. 2.C【解析】f(x)为奇函数，fx)f-)<0,即 x<0,x)在(0，+∞)上为减函数且f1)=0, .当x>1时，fx)<0. ·奇函数的图象关于原点对称， .在(-∞，0)上f(x)为减函数且f(-1)=0,即x<-1 时，fx)>0. 综上，fx-0<0的解集为(-0，-1)U(1,+0. 故选C. 3.A【解析】设g(x)=f(x-1)+x2, .·函数yf(x-1)+x2是定义在R上的奇函数，f(-2)=1, :g(-1)=f(-2)+1=1+1=2, 即g(-1)=-g(1)=2,则g(1)=-2, :∴g(1)=f(0)+1=-2,则f0)=-3.故选A. 4.D【解析】对任意的≠x,有x)>0恒 1-2 成立，可得fx)是R上的增函数，又f代x)是R上的奇函数， ∴.f2x+1)kf2-x)=fx-2),2+1<x-2,解得x<-3, .不等式f(2x+1)+f(2-x)<0的解集为(-∞，-3).故 选D 5.D【解析】f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-x) f(x).fx)f),f-x)f(.又fx)在(-∞，0) 上是增函数，且-<0,2<0，-x<,即+x2>0.故 选D. 6.D【解析】f(x)为偶函数，在区间[-3，-1]上 是增函数且有最大值5，∴f(-1)=5.fx)在[1,3]上 的单调性与[-3，-1]上相反，f(x)在[1,3]上单 调递减，.f代1)为最大值，.f(1)=f代-1)=5.故选D. 7.C【解析】f(x)是定义域为(-0，+∞)的奇函 数，.f0)=0,且f-x)=f(x),① 又f八1-x)=f代1+x),令1-x=t,∴x=1-t, ∴.f(t)=f2-t),即fx)=f2-x),② 由①②，得f(-x)=-f2-x), 即fx)=f2+x),③ 同理f2+x)=-f4+x),④ 由③④，得f(x)=f4+x), ∴.f4)=f0)=0,f3)=-f1)=-2,f2)=f0)=0, ∴f1)+f(2)+f3)+f(4)=0.故选C. 8.ACD【解析】f(x)是R上的奇函数，故f(0)=a- 2=0,得a=2,故A正确；f(2)=4+2=6,故B错误；当 x≥0时，f(x)=x2+x在[0，+）上为增函数，利用奇函 数的对称性可知，f(x)在(-∞，O]上为增函数，故fx) 是R上的增函数，故C正确；f(-3)=f(3)=-9-3=-12, 69 高中数学必修第一册人教B版 故D正确.故选ACD 9一【解析】x)是奇函数，x)是偶 函数，f-x)=-fx),g(-x)=g(x) r*w fx)+g(x)=1 则 即 -x)+g(-x)=1 -x-1 fx)+g(x)=1 两式相碱，解得青两式相加，解得 x21 10兮，1【解析】由题意，得2-Io2- uf=3r-4+1<0=3cx1. 提升练习 1山.（子，+0）【解折】m-1)fm+k0。 ∴.f(m-1)<-f(m2+t). .f(x)是奇函数，∴fm-1)<f(-t-m2). 又fx)为R上的单调递减函数，∴m-l>t-m2恒成立， Dm2-t1-一m+宁+子恒成立，子 12.解：(1)令a=b=0,则f(0x0)=0xf0)+0xf(0)= 0,∴.f(0)=0. 令a=b=1,则f1x1)=f1)=f1)+f(1),f1)=0. (2)fx)是奇函数.理由如下： f1)f[(-1)2]=f-1)-f-1)=0,.f-1)=0. 令a=-1,b=x,则f-x)=f-1x)=-fx)+f(-1)=fx). 故f(x)为奇函数 >"阶段性练习卷（三） 1.B【解折】由题意，得-2≤2x+1≤3，解得-号≤ x≤1，由x+1≠0，解得x≠-1，故函数的定义域是 [弓-1U(1,1放选B 2D【解析】+1≥1,0<≤1，放选D 3.A【解析】函数定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， 关于原点对称，又)归(+日 故fx)是为奇函数。 又(x)=,万(e)=是在(0，+)上均为增函数， 之在(0，+)上也为增函数，故选A 4.A【解析】：函数fx)满足f)+2）=2+1,① f)+2fx)=2+1,② 70 x+2-2+1, 联立①②，得 +221. 解得x)去 音+分2)音号+方做选A 63+3-3 5B《解折】)-1+品其图象的对称巾心为 (-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位 长度，再沿y轴向上平移1个单位长度，得到函数f(x- 1)+1的图象，其关于(0,0)对称，故函数f(x-1)+ 1是奇函数，故选B. 6.B【解析】由题可知，函数f(x)的二次项系数为 固定值，则二次函数图象的形状一定，随着b的变动， 相当于图象上下移动，若为增大k个单位长度，则最大 值与最小值分别变为M+k,m+h,而(M+h)-(m+h)=M- m,故与b无关.随着a的变化，相当于图象左右移动， 则M-m的值在变化，故与a有关，故选B. 7D懈标】2124 -2 x-2 将)=图象向右平移2个单位长度，再向上平移2 个单位长度，得)24点 y士对称中心为0,0，=24之的对称中心 为(2,2)，D正确；定义域、值域均为(-∞，2)U(2, +∞)，A正确，B错误. 函数在定义域的每一个子区集(-0,2)，(2，+∞) 上单调递减，D错误.故选AD. &Bc懈折】九x-2-1+2由 4-x 于名0，小f)≠-山，训e0,+.不存在正数 M,使得f(x)川≤M成立，不满足题意，故A不符合题 意；令y=4-x2,y≥0，则f(x)=Vy,y=4-x2,当 x=0时，函数y=4-x2的最大值为ym=4,:y∈[0,4]， 即f(x)∈[0,2]，(x)川≤2，故B符合题意；令y=2x2- 4+30g≠0)，当x=2清-1时，函数y-22-4+307 0)有最小值2×12-4×1+3=1，即22-4x+3≥1，.0< 23≤-5，y川e5,放函数fx)23 5 为有界函数；令t=V4-x,t≥0，则x=4-,即f(x) =-44,≥0.当=3时，x)m=分号+4子， 无最小值，即x<子，Vx川e[0,+o),此时不存在 正数M,都有f(x)川≤M成立，故该函数不是有界函数. 故选BC.