专题15.3 等腰三角形的性质和判定（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

专题15.3 等腰三角形的性质和判定（七大题型） 【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】.........................................................1 【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】..................................................................2 【题型3：判断等腰三角形的个数】............................................................................3 【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】........................................................5 【题型5：等腰三角形的判定】..................................................................................7 【题型6：等腰三角形的判定与性质】........................................................................9 【题型7： 等腰三角形的实际应用】........................................................................11 【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 2．若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 3．若一个等腰三角形的周长为15，一边长为7，则该等腰三角形的底边长为 ． 4．已知有理数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形周长是 ． 5．如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ． 【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】 1．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在中，点在上，并且，若平行，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 4．某平板电脑键盘支架如图所示，其中，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，再分别以点C，D 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点 E，射线 交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是边上的高，交的延长线于点，则的度数为 ． 7．如图，在中，，点在线段上（点不与点，重合），连接，作且边交线段于，若，则的大小为 ． 8．如图，，，则的度数为 ．    9．如图，在中，是斜边的垂直平分线，连接，若，则 度． 【题型3：判断等腰三角形的个数】 1．如图所示，在中，，，平分，点在边上，且，则图中等腰三角形的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，，垂直平分线交于D，交于E，给出下列结论：①；②平分；③；④是等腰三角形，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图所示，中，，点在上，且，，图中等腰三角形的个数（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，折叠该纸片，使点、点重合，折痕交边于点，连接，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．如图，，，，图中等腰三角形的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形的个数（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点在轴上，且为等腰三角形，则点的个数有（   ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3.北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 5．如图，南北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 7．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（   ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【题型5：等腰三角形的判定】 1．如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 2．如图，，是边上一点，连接．若，求证：是等腰三角形． 3．如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 4．如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形．    5．如图，中，D为中点，．求证：为等腰三角形． 6．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 7．如图，是的一个外角，平分，且，请说明是等腰三角形． 【题型6：等腰三角形的判定与性质】 1．如图，中，平分，平分，经过点D，与相交于点E，F，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，直接写出的周长： ． 2．如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 3．如图，在中，，于． (1)求证：； (2)若平分分别交、于，试判断的形状，并说明理由． 4．如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 5．在中，是的中点，交于点． (1)求的度数； (2)求证： 6．如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 7．如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 8．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)若的周长是，，求的长． 【题型7： 等腰三角形的实际应用】 1．如图，一艘轮船由西向东航行，在处测得小岛在北偏东方向，又航行10海里后，在处测得小岛在北偏东方向，若小岛周围4海里范围内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？请说明理由． 2.如图，灯塔C在海岛A 的北偏东的方向，某天上午9点整，一艘船从海岛A 出发，以30海里/时的速度向东航行，11点整到达 B 处，此时测得灯塔C在B 处的北偏东的方向． (1)求证：是等腰三角形． (2)已知在以灯塔C为中心，周围25海里的范围内均有暗礁，若该船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 3．某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案． 组别 方案 甲组 ①在河岸边点处，选对岸正对的一棵树，即垂直河岸；②沿河岸直行处有一棵树，继续前行到达点处；③从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处时（即点在同一直线上），停止行走；④测得的长为． 乙组 ①在河岸边点处，选对岸正对的一棵树，即垂直河岸；②从点出发，沿着与直线成角的方向前进到处，在处测得，③量出的长，它就是河宽（即点之间的距离） 问题解决 （1）根据甲组的方案， ①河的宽度是 ； ②请说明他们做法的正确性（需写出必要的过程） （2）根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？（至少2条） 4．王晓想测量一棵树的高度，如图，树杆上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 5．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； (2)连接，若，求的度数； (3)求的长． 1．如图，在中，是的平分线，，则的长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等腰三角形上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（    ） A．50° B．70° C．80° D．20°或70° 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S△ADB＝2S△BDF，其中正确的结论共有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 6．已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： (1)是等腰三角形． (2)． 7．【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1） 在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 （按从小到大写）； （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和 DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.3 等腰三角形的性质和判定（七大题型） 【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】.......................................................1 【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】..................................................................4 【题型3：判断等腰三角形的个数】............................................................................10 【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】......................................................16 【题型5：等腰三角形的判定】..................................................................................22 【题型6：等腰三角形的判定与性质】........................................................................27 【题型7： 等腰三角形的实际应用】........................................................................35 【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形两边之和大于第三边进行验证． 【详解】等腰三角形的两边长为3和7，可能有两种情况： 当腰长为3，底边为7时， 此时三边为3、3、7． ∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形； 当腰长为7，底边为3时， 此时三边为7、7、3， ∵， ∴可构成三角形， ∴周长为． 故选：D． 2．若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，解题的关键还应验证是否能构成三角形进行解答．等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分情况讨论，假设9作腰长，则三边分别为9，9，4，能构成三角形 周长为：； 假设4作腰长，则三边分别为4，4，9，而，不能构成三角形， 所以此等腰三角形的周长是． 故选：B． 3．若一个等腰三角形的周长为15，一边长为7，则该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】1或7/7或1 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用等知识．本题已知了等腰三角形的周长和一边的长，但是没有明确长为7的边是腰长还是底边长，因此要分类讨论：腰长为7或底边长为7． 【详解】解：本题可分两种情况： ①当腰长为7时，底边长，，符合三角形三边关系， ②底边长为7，此时腰长，，符合三角形三边关系． 因此该等腰三角形的底边长为1或7． 故答案为：1或7． 4．已知有理数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形周长是 ． 【答案】22 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练利用三角形的三边关系进行判断． 根据非负数的性质列式求出，的值，再分腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形； ②9是腰长时，三角形的三边分别为9、9、4， ， 能组成三角形， 三角形的周长为， 综上所述，三角形的周长是22． 故答案为：22． 5．如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了图形的平移，等腰三角形的性质，由平移得到可得是解决本题的关键． 由图形平移，即沿着的方向平移得到线段，可得到两个信息，，且，再结合等腰三角形的腰长相等计算周长即可． 【详解】解：因为线段沿着的方向平移得到线段， 又， 所以，且， 又因为， 所以， 又因为是以为底边的等腰三角形， 所以， 则的周长为． 故答案为：13 ． 【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】 1．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 2．在中，点在上，并且，若平行，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再由三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 4．某平板电脑键盘支架如图所示，其中，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及外角的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，再分别以点C，D 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点 E，射线 交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，根据得到，由作图可得，，求出的值，再运用三角形内角性质得，结合进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知， 平分，垂直平分线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 6．如图，在中，是边上的高，交的延长线于点，则的度数为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理应用，先根据是边上的高，，求出，再根据等腰三角形的性质求出，求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：25． 7．如图，在中，，点在线段上（点不与点，重合），连接，作且边交线段于，若，则的大小为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质，得到是等腰三角形是解决本题的关键． 先由可得，再由，可得，即是等腰三角形，可求解的度数，再结合三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴的大小为． 故答案为：30 ． 8．如图，，，则的度数为 ．    【答案】/18度 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．设，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，，再根据等边对等角和外角的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，是斜边的垂直平分线，连接，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形锐角互余等知识点． 根据垂直平分线得到，则，再根据直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】解：∵是斜边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型3：判断等腰三角形的个数】 1．如图所示，在中，，，平分，点在边上，且，则图中等腰三角形的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等边对等角，等角对等边，与角平分线有关的三角形内角和问题，根据等边对等角，结合角平分线的定义，三角形的内角和定理，求出各个角的度数，再根据等角对等边确定等腰三角形即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴是等腰三角形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 故图中等腰三角形的个数有4个； 故选B． 2．如图，在中，，，垂直平分线交于D，交于E，给出下列结论：①；②平分；③；④是等腰三角形，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．①根据三角形的内角和定理以及等边对等角即可求解；②根据线段的垂直平分线的定义求得，进而根据①的结论即可求得，根据角平分线的定义即可判断；③由①可知，根据三角形的外角性质求得，根据等角对等边即可得，进而可得，④根据③即可判断是等腰三角形 【详解】， 故①正确； 垂直平分， ， ， ， 平分； 故②正确； ， ， ， ， 故③正确； ， 是等腰三角形， 故④正确； 故正确的有①②③④，共4个 故选：D 3．如图所示，中，，点在上，且，，图中等腰三角形的个数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意可知，，，都是等腰三角形，根据三角形外角的性质求得的度数，进而可得和的度数，进而证明为等腰三角形，进而求解； 【详解】解：，，， ，，，都是等腰三角形， 则，，，， ， 则，， 在中，， 则， 则， ， 则， 即为等腰三角形， 综上一共有个等腰三角形； 故选：C 4．如图，在中，，，折叠该纸片，使点、点重合，折痕交边于点，连接，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法，等角对等边，根据两边相等的三角形为等腰三角形即可解答 【详解】解：， ， ， ， 是等腰三角形； ∵折叠该纸片，使点、点重合，折痕交边于点， ， 是等腰三角形； ， ， ， ， ∴， 是等腰三角形， ∴图中等腰三角形的个数是3个， 故选：B． 5．如图，，，，图中等腰三角形的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和分别计算出、的度数，再计算出的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 【详解】解：∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∵根据三角形内角和定理知， ∴，是等腰三角形， ∵， ∴，是等腰三角形， 故图中共3个等腰三角形， 故选：D． 6．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形的个数（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，以及平行线的性质可得与，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得与，与的关系．本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，． ， ，， ，， ，，即，都为等腰三角形． 又，， ，且， ，都为等腰三角形． ，与的平分线相交于点， ， ，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：，，，，， 故选：B． 【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点在轴上，且为等腰三角形，则点的个数有（   ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图：    当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 综上：点的个数有4个； 故选B． 3.北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；分三种情况考虑：以A为顶点；以B为顶点；以P为顶点． 【详解】解：如图，以A为顶点，这样的点P有两个，分别是； 以B为顶点，点满足题意； 以P为顶点，则点满足题意． 综上，满足题意的点共有4个； 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： ， 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：B． 5．如图，南北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；分三种情况考虑：以A为顶点；以B为顶点；以P为顶点． 【详解】解：如图，以A为顶点，这样的点P有两个，分别是； 以B为顶点，点满足题意； 以P为顶点，则点满足题意． 综上，满足题意的点共有4个； 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： ， 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：B． 7．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（   ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握运用等腰三角形的定义是解题关键．根据等腰三角形的定义及垂直平分线的判定作出相应图形，然后即可确定点的个数． 【详解】解：如图：    ①当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有2个交点为（去除点）； ②当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有4个交点为， 当时，作出的垂直平分线，与坐标轴有2个交点为， 故有8个符合条件的动点P， 故选：B． 【题型5：等腰三角形的判定】 1．如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 2．如图，，是边上一点，连接．若，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是关键．利用全等三角形的性质得到，再由平行线的性质得到，进一步证明即可． 【详解】证明：， ． ， ， ， 是等腰三角形． 3．如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 4．如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定，首先根据，，平分，可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，根据等角对等边可证结论成立． 【详解】证明：， ， 又， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 5．如图，中，D为中点，．求证：为等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过D点作于点于点F，根据角平分线的性质可得与的关系，根据可得与的关系，根据全等三角形的性质，可得与的关系，根据等腰三角形的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：过D点作于点于点F， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， 为等腰三角形． 6．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证得和是直角三角形，利用HL证明，即可； （2）由得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分，， ，， 在和中，， ； （2）证明：， ， ， 是等腰三角形． 7．如图，是的一个外角，平分，且，请说明是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边，先由角平分线和平行线得到，再根据等角对等边得到，即可说明是等腰三角形． 【详解】证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． 【题型6：等腰三角形的判定与性质】 1．如图，中，平分，平分，经过点D，与相交于点E，F，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，直接写出的周长： ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边，证明是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，然后由等角对等边即可得出结论； （2）同理（1）可得，根据的周长为，代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形；； （2）解：同（1）可证， 又∵，， ∴的周长 ， ∴的周长为． 2．如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． （1）“”证明得到，，再利用得到，则可判断为等腰直角三角形； （2）由得到，，然后计算即可． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，于． (1)求证：； (2)若平分分别交、于，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明，从而确定的形状． 【详解】（1）证明：，于， ，， ； （2）解：是等腰三角形． 理由如下：在中，， 在中，， 又平分， ， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，熟练掌握相关几何性质，灵活运用是解决问题的关键． 4．如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余， 对于（1），根据等腰三角形的性质得是的垂直平分线，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即可得，此题可解； 对于（2），根据等腰三角形的性质可求，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，点D是的中点，， ∴． 在中，． 5．在中，是的中点，交于点． (1)求的度数； (2)求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，根据垂直的定义得出，进而得出，根据等角对等边，即可求解． 【详解】（1）解：，是的中点        即   又     （2）证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 6．如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）求解，，，从而可得结论； （2）证明，，结合与的周长比的周长大9，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 7．如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质求出的度数，利用垂直平分线的性质求出的度数，即可解答； （2）利用三角形的周长运算方法列式求出的长，再利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长， 的周长， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴． 8．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)若的周长是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可利用三角形外角的性质推出，由此即可证明结论； （2）根据三角形周长公式得到，由得到，再由已知条件即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴．             ∵是的垂直平分线， ∴，             ∴，             ∴，           ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵的周长是13， ∴，        ∵， ∴，即，         ∵， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． 【题型7： 等腰三角形的实际应用】 1．如图，一艘轮船由西向东航行，在处测得小岛在北偏东方向，又航行10海里后，在处测得小岛在北偏东方向，若小岛周围4海里范围内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【答案】无危险，见解析 【分析】本题考查了等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，方向角，证明是解答本题的关键．求出，可证，然后根据30度角的性质即可求解． 【详解】解：无危险 由题意得，，， ∵， ∴， ∴海里， ∵在直角中， ∴海里海里， 故若继续向东航行无触礁的危险． 2.如图，灯塔C在海岛A 的北偏东的方向，某天上午9点整，一艘船从海岛A 出发，以30海里/时的速度向东航行，11点整到达 B 处，此时测得灯塔C在B 处的北偏东的方向． (1)求证：是等腰三角形． (2)已知在以灯塔C为中心，周围25海里的范围内均有暗礁，若该船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这条船继续由西向东航行不会有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的判定即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：不会有触礁的危险，理由如下： 根据题意得（海里）， （海里）， 过C作交的延长线于点D， ， （海里）， ， ∴若这条船继续由西向东航行不会有触礁的危险． 3．某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案． 组别 方案 甲组 ①在河岸边点处，选对岸正对的一棵树，即垂直河岸；②沿河岸直行处有一棵树，继续前行到达点处；③从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处时（即点在同一直线上），停止行走；④测得的长为． 乙组 ①在河岸边点处，选对岸正对的一棵树，即垂直河岸；②从点出发，沿着与直线成角的方向前进到处，在处测得，③量出的长，它就是河宽（即点之间的距离） 问题解决 （1）根据甲组的方案， ①河的宽度是 ； ②请说明他们做法的正确性（需写出必要的过程） （2）根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？（至少2条） 【答案】（1）①10，②见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了三角形的外角的定义和性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）①根据题意，易得，即可获得答案，②利用“”证明， 由全等三角形的性质易得； （2）根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，结合题意可证明，再根据等腰三角形“等角对等边”的性质可得，即可获得答案． 【详解】结：（1）①由题意知，米，即河的宽度是10米； 故答案为：10； ②证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）根据题意，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 所以，根据乙组的方案，他们用到的数学几何知识可有：在同一个三角形中，等角对等边；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 4．王晓想测量一棵树的高度，如图，树杆上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；先证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴即 ∵米，米， ∴米 ∴米 5．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； (2)连接，若，求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)同意他的看法，见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据“直角三角形两锐角互余”以及垂直的定义，即可证明结论； （2）连接，易证是等腰三角形，再利用三角形内角和定理即可求解； （3）证明，易得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：同意他的看法，即，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示， 由旋转的性质可知． 是等腰三角形， ． ，， ； （3）解：由旋转的性质可知， ，， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键． 1．如图，在中，是的平分线，，则的长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先在截取一点，使得，再运用外角性质得，然后证明，则，即可作答． 【详解】解：在截取一点，使得，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等腰三角形上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质两直线平行，同位角相等；先求出三角形是等边三角形利用外角的定义可求得，再利用三角形内角和求出，再由平行线的性质可得 【详解】解∶如图 三角形是等腰三角形， 三角形是等边三角形， ， ， ， ． 太阳光线平行照射在放置于地面的正三角形上， ． 故选：B． 3．若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（    ） A．50° B．70° C．80° D．20°或70° 【答案】D 【分析】分三角形是锐角三角形或者钝角三角形两种情况进行讨论即可． 【详解】解：如图1，三角形是锐角三角形时，底角为 如图2，三角形是钝角三角形时，底角为 综上所述，它的底角为20°或70． 故选：D．    【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出图形分情况进行讨论． 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S△ADB＝2S△BDF，其中正确的结论共有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解． 【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF， ∴∠ABC=∠CBF， ∵BF∥AC， ∴∠ACB=∠CBF， ∴∠ACB=∠ABC， ∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC，CD=BD，故②，③正确 ∵CD=BD，且∠ACB=∠CBF，∠CDE=∠BDF， ∴△CDE≌△BDF（ASA） ∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确， ∵AE=2BF， ∴AC=3BF=AB，故④正确， ∵BD=CD， ∴S△ADB=S△ACD， ∵AE=2BF， ∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，证明△CDE≌△BDF是本题的关键． 5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 6．已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： (1)是等腰三角形． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理，等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和角平分线的定义可证明，再证明，即可证明，得到，据此可证明结论； （2）根据三角形内角和定理和可推出，再由平角的定义可得，则，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 7．【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 （按从小到大写）； （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和 DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值 ． 【答案】理解：见解析图图①，图②；应用：（1）70°或106°或117或144°或148°；（2）42°或18° 【分析】理解：如图①，首先求出∠B的度数，然后其中一个等腰三角形底角一定为27°，得出另一个等腰三角形的底角度数，然后根据题意画出图形即可； 如图②，首先求出底角的度数，然后以∠A为底角，在以∠C为底角，最后根据题意画出图形即可； 应用：（1）分为6种情况讨论：①如图③当∠B＝24°，AD为“好线”，②如图④当∠B＝24°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC＝24°时，BD为“好线”， ④如图⑥，当∠B＝24°时，CD为“好线”， ⑤如图⑦，当∠B＝24°时，CD为“好线”， ⑥如图⑧，当∠B＝24°时，AD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）设∠B=x°，①当AD=DE时，如图1（a），②当AD=AE时，如图1（b），③当EA=DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论． 【详解】(理解)如图①，如图②所示， （应用） （1）①如图③当∠B＝24°，AD为“好线”， 则A    C＝AD＝BD这个三角形最大内角是∠BAC＝106°； ②如图④当∠B＝24°，AD为“好线”， 则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝144°； ③如图⑤当∠ABC＝24°时，BD为“好线”， 则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝148°， ④如图⑥，当∠B＝24°时，CD为“好线”， 则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°， ⑤如图⑦，当∠B＝24°时，CD为“好线”， 则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝70°， ⑥如图⑧，当∠B＝24°时，AD为“好线” 则AB＝BD，AD＝CD，故这个三角形最大内角是∠BAC＝117°， 上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是70°或106°或117或144°或148°， 故答案为70°或106°或117或144°或148°； （2）设∠B＝x°， ①当AD＝DE时，如图1(a)， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x° ∴∠AED＝∠DAE＝2x°， ∴27×2+2x+x＝180， ∴x＝42， ∴∠B＝42°； ②当AD＝AE时，如图1(b)， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x° ∴∠AED＝∠ADE＝2x°， ∴2x+x＝27+27， ∴x＝18， ∴∠B＝18°． ③当EA＝DE时， ∵90﹣x+27+27+x＝180， ∴x不存在，应舍去． 综合上述：满足条件的x＝42°或18°． 【点睛】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$