专题02 多面体与球内切外接问题（压轴题专项训练）数学沪教版2020高二必修第三册

专题02 多面体与球内切外接问题 目录 典例详解 类型一、外接球问题 类型二、内切球问题 类型三、内切外接与折叠综合问题 压轴专练 类型一、外接球问题 若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面 体的外接球问题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置 问题，其中球心位置的确定是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论： 结论1： 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。 结论2 ：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。 结论3 ：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。 结论4： 正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。 结论5 ：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。 例1．在四面体中，，若该四面体的体积为4，则该四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】取中点，证平面，作，交于点，证平面，利用四面体的体积求得，继而求得，设的外心为,过点作平面，为四面体的外接球球心，设外接球半径为，求出，表示出，结合图形，利用勾股定理列出关于的方程，解之即得. 【详解】 如图取中点，连接，过点作，交于点， 因，则 因平面，则有平面， 又平面，故， 又平面，故平面. 由四面体的体积为，解得，， 因，则， 设的外心为，显然点在上，过点作平面，点为四面体的外接球球心， 连接，设外接球半径为，则，故， 因，过点作，交的延长线于点，且， 在中，， 由勾股定理，，解得，， 故该四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用题设条件找到四面体的高并证明，再由底面三角形的外心找到外接球球心的大概位置，最后借助于直角三角形求得外接球半径,其中还要注意外接球球心在底面的哪一侧，这主要通过计算来界定. 变式1-1．三棱锥中，，，，那么三棱锥外接球的表面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用外接球的定义，先求出和外接圆的半径，再求出外接球的半径，根据公式求解球的表面积. 【详解】设的外接圆圆心为，半径为,的外接圆圆心为，半径为,三棱锥的外接球的半径为. 由题，,，设的中点为，则. 设二面角的平面角的大小为，则,，因为， 所以四点共圆，且为直径，由正弦定理可知， 故外接球半径. 令,, 所以当,时，.所以. 故答案为：. 变式1-2．如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积为 .    【答案】 【分析】取作为空间向量的一组基底，设为平面向上的一个单位向量，再设正方体的棱长为，由题意，在上的投影长度分别为，用表示出，由可求出，进而可得正方体外接球的半径，再用球的表面积公式求解. 【详解】设正方体的棱长为，取作为空间向量的一组基底，设单位向量是平面的一个方向向上的法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序是数组，使得. 由题意：在上的投影长度为， 所以 同理：，. 所以，又，所以. 所以正方体外接球半径为：. 所以外接球表面积为：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用空间向量解决问题，关键要选择一组合适的向量做基底.这个题目，因为涉及正方体，所以可以选择从正方体的一个顶点出发的三个向量做基底. 变式1-3．如图，在四面体中，，，，平面平面BCD，则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意取的中点，连接，，分别找出为外接圆的圆心，外接圆的圆心为，再结合外接球的性质可得即为外接球半径，即可求解. 【详解】取的中点，连接，，如图， 在中，，因为平面平面， 因为平面平面，所以平面． 设，则， ． 因为，所以，解得，则 所以，因为，所以． 取的中点，则为外接圆的圆心，过点作直线垂直于平面， 设外接圆的圆心为，过作直线垂直于平面，记， 在中，由正弦定理可得，解得， 则为四面体外接球的球心．连接， 则， 四面体外接球的半径为， 所以四面体外接球的表面积为． 故答案为：. 变式1-4．在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】证明线面垂直，得到，，两两垂直，三棱锥的外接球转化为以，，为长宽高的长方体的外接球，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】因为，且，为公共边， 所以≌，故， 取的中点，连接，则⊥，⊥， 又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为E，F分别是PC，AC的中点，所以 因为，即⊥，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 故， ，，两两垂直， 故三棱锥外接球等价于以，，为长宽高的长方体的外接球， 此外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 变式1-5．在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】设为三棱锥外接球半径，为球心，，分别为与的外心，连接并延长交于点，由条件可得为中点，且，，，，是二面角的平面角，由余弦定理得，由题知，在以为直径的圆上，由正弦定理得，在中求出，即，然后利用球的表面积公式求出答案. 【详解】如图所示，设为三棱锥外接球半径，为球心，，分别为与的外心， 则平面，平面. 因为是边长为6的正三角形， 所以的外心为的重心， 连接并延长交于点， 则为中点，且，， 因为为直角三角形，， 所以为中点，且，，， 因为，， 所以是二面角的平面角，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 由题知， 所以，在以为直径的圆上， 由正弦定理得. 在中，， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 变式1-6．在三棱锥中，底面ABC，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】由面积公式可得，由余弦定理结合基本不等式可求，根据正弦定理可得外接圆半径，由勾股定理即可求解. 【详解】如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线， 则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且， 在中，，即， 所以， 即（当且仅当时取等号）， 设外接圆半径为，由正弦定理得，即， 所以外接球的半径，则， 故三棱锥的外接球表面积的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决外接球问题： （1）通过球心位置的确定，利用勾股定理列方程求解； （2）已知线面垂直，构造矩形模型； （3）三个两两垂直的墙角模型，补形成长方体或正方体. 变式1-7．如图，已知在直三棱柱中，F为的中点，E为棱上的动点，，，，.当三棱锥的外接球的半径最小时，直线EF与所成角的余弦值为 .    【答案】 【分析】作出辅助线，推导出当取最小值时，最小，即最小，此时，因为是的中点，则是的中点，则是棱的中点，进而求出各边长，得到. 【详解】作，垂足为，作，垂足为， 易知棱在平面上的射影为， 则点在平面上的射影在线段上， 因为，所以为直角三角形， 易知得，故，则， 设的中点为，外接球的球心为，半径为， 则为三角形的外接圆圆心，平面，即， 在中，①， 又因为② 由①②，可得，所以当取最小值时，最小，即最小， 此时，因为是的中点，则是的中点，则是棱的中点. 因为，所以直线与所成角即为直线与所成角. 因为为直角三角形，得， 因为，所以，. 故答案为：.    类型二、内切球问题 若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。 并非所有多面体都有内切球，下面介绍几种常见多面体内切球问题： 1. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。 2. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。 例2．已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意得到平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆，在中计算得到内切球半径，最后利用线面垂直的判定定理和性质定理得到，结合球的性质得到距离的最小值. 【详解】如图，过点作，交于点，由侧面为正三角形可知为中点， 设中点为，连接. 由题意得，平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆， 此圆为的内切圆，设内切圆半径为，与，分别相切于点，， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 而平面，则， 因为，，所以，，， 在中，，解得， 所以四棱锥的内切球的半径为1， 连接，因为平面，平面，所以， 又，，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 所以内切球表面上一点到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径， 又， 所以四棱锥内切球表面上一点到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 变式2-1．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如下图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且，则该几何体外接球的体积为 ．    【答案】 【分析】结合题意，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则球心必在该直线上，设出球心，借助球心到各顶点距离相等，结合勾股定理计算即可得半径，运用球的体积公式即可得到球的体积. 【详解】连接BD，分别取EF、BD、AD中点G、H、I，连接GH、HI、EI，    由底面是正方形，平面，和均为等边三角形， 所以底面， 又，所以， 则， 所以， 由H为底面的中心，， 故在直线上取一点O，使O为羡除外接球球心，连接， 设半径为r，， 则， 由底面，底面，所以, 又平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 所以， 又因为， 所以，即， 又， 所以，解得， 故，即， 所以这个几何体的外接球的体积为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的体积计算，考查空间想象能力和思维能力，找到球心所在直线并设出球心，结合球心到各顶点距离相等，再用勾股定理求半径是关键. 变式2-2．一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为 ． 【答案】 【分析】连接起交线后得两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体，作，的中点，，利用等面积法求内切球的半径即可求解. 【详解】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体， 作，的中点，，设内切球的半径， 所以，所以， ，，又，所以， 即表面积为． 故答案为： 变式2-3．已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量法及函数思想，求出点位置，再利用向量法求解点面距，最后即可计算四面体的体积． 【详解】解：建系如图，   正方体的内切球的表面积为，则内切球半径， 易得正方体的棱长为1， ，0，，，1，，，1，，设，0，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 直线与平面的夹角的正弦值为： ， 令，，，，， ， 令，，，，， ，，， 当，即，即时，直线与平面的夹角的正弦值取得最大值， 此时直线与平面的夹角也最大， 当直线与平面的夹角最大时，为棱的中点， 此时平面的法向量，又， 点到平面的距离为， 此时，，则△的面积为， 此时四面体的体积， 故选：． 【点睛】关键点点睛：向量法求解线面角问题，函数思想，化归转化思想，向量法求解点面距问题.解题的关键是建立空间直角坐标系，确定点的位置是为棱的中点，然后利用点面距的向量求法，求出四面体的高． 变式2-4．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，，若，当四面体体积最大时，则该四面体的内切球半径为 ． 【答案】或 【分析】先确定点的轨迹，确定四面体体积最大时，，点的位置，再利用体积法求内切球半径. 【详解】如图： 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面. 平面，所以， 又，平面，所以平面， 平面，所以. 又在正方形及其内部，所以点轨迹是如图所示的以为直径的半圆， 作于，则是三棱锥的高. 所以当的面积和都取得最大值时，四面体的体积最大. 此时点应该与或重合，为正方形的中心. 如图： 当点与重合，为正方形的中心时： ，，，， 中，因为，，，所以. 设内切球半径为，由得： . 如图： 当点与重合，为正方形的中心时： ，，，， . 设内切球半径为，由得： . 综上可知，当四面体的体积最大时，其内切球半径为：或. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：根据得到点在以为直径的球面上，又点在正方形及其内部，所以点轨迹就是球面与平面的交线上，即以为直径的半圆上.明确点轨迹是解决问题的关键. 变式2-5．有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，且，，，均与球相切，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，， ，，由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体，根据题意，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，所以三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥，分别是以三棱锥的四个面为底面，且棱长均为2的正四面体，又，，，均与球相切，所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心，作出三棱锥和三棱锥的图，求解即可. 【详解】根据题意，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球， 连接，，，， ，， 由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体， 连接，，，，，，，，，，，， 根据题意，，，，两两相切，，，，两两相切， ，，，两两相切，，，，两两相切， 所以三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥， 分别是以三棱锥的四个面为底面，且棱长均为2的正四面体， 又，，，均与球相切， 所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心， 作出正四面体和的示意图如图所示， 连接，则球的半径为 . 如图，设正四面体的底面的中心为点，连接， 则，正四面体的高， 由图知，到平面的距离即三棱锥内切球的半径， 则，即，得， 故， 则球的半径为. 故选：A 变式2-6．已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 【答案】 【分析】证明平面，从而得点的轨迹为平面与球的截面圆周，因此求出球半径和球心到截面的距离，然后利用截面圆性质可得球面圆半径后可得其周长．题中球心到截面的距离利用体积法求解．球半径利用球的体积公式计算可得． 【详解】如图，取中点，连接，，，正方体内切球球心为正方体的中心. 因为点N为线段的中点，可得，则，所以 所以， 又平面，平面，所以，同理， 因为，平面， 所以平面， 则点的轨迹为平面与球的截面圆周， 设正方体的棱长为，则，解得，正方体内切球半径为2,连接，，， 如下图，在对角面中， ， 到平面的距离即到平面的距离为， ， 又，， 设到平面的距离为，则，， 得到平面的距离为， 所以截面圆的半径， 则点的轨迹长度为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题考查空间的几何体中的轨迹问题，解题关系是确定平面，得点的轨迹为平面与球的截面圆周，为了求截面圆半径，需求得球半径和球心到截面的距离，这个距离我们利用体积法求解． 类型三、内切外接与折叠综合问题 一、平面图形翻折为空间图形问题 1.解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征． 2.解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”． （1）与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变； （2）与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变． 二、解决折叠问题的步骤 第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； 第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； 第三步：利用判定定义和性质定理进行证明。 例3．在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】利用勾股定理逆定理证明，由面面垂直的性质得到平面，求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，为的中点， 则有，， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面. 所以平面， 又为等腰直角三角形，所以其外接圆的半径， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是证明平面，再由直棱锥的外接球的模型计算外接球的半径. 变式3-1．在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详解】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据球心的性质确定位置，并求出二面角的平面角的范围为关键. 变式3-2．已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为 【答案】 【分析】由题设共圆，进而确定，找到△，四边形外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设且，求外接球半径最小值，即可得结果. 【详解】由点均在球的球面上，且共圆（不与重合）， 所以（不与重合）， 又为等腰直角三角形，为斜边，即有， 如上图，、、都为直角三角形，且， 由平面图到立体图知：，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可得面平， 将翻折后，的中点分别为△，四边形外接圆圆心， 过作平面，过作面，它们交于，即为外接球球心，如下图示， 再过作平面，交于，连接，则为矩形， 综上，，，则为中点， 所以，而，， 令且，则，故，， 所以球半径， 当时，，故球表面积的最小值为. 故答案为： 变式3-3．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持则点的轨迹的面积为 .    【答案】 【分析】取中点，由题可得平面，设点轨迹所在平面为，则轨迹为平面截三棱锥的外接球的截面圆，利用球的截面性质求截面圆半径即得. 【详解】取中点，连接，则， ，平面，所以平面， 又因为，则， 作于，设点轨迹所在平面为， 则平面经过点，且， 设三棱锥外接球的球心为，半径为，的中心分别为， 可知平面平面，且四点共面， 由题可得， 在Rt中，可得， 又因为，则， 易知到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为. 故答案为：.    【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 变式3-4．如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，易得，过作交于，则为的中点，过作交于，则为二面角的平面角，求得的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线，过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径得解. 【详解】在图1中，延长AD、BC交于点，如图所示： 因为，且，所以， 即，所以， 所以是边长为4的等边三角形， 所以D、C分别为、的中点，所以， 所以， 易知. 过作交于，则为的中点， 过作交于，则为二面角的平面角. 所以. 记为外接球球心，半径为的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线， 过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，其截面如下： 则，所以， 所以球的表面积为. 故选：D. 变式3-5．如图1，在直角梯形中，，，，，，点E，F分别为边，上的点，且，.将四边形沿折起，如图2，使得平面平面，点M是四边形内（含边界）的动点，且直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】60π 【分析】先结合线面角的定义与已知条件可得，从而知，过点作于点，根据三棱锥的体积公式，将条件转化为取得最大值，再结合勾股定理确定点的位置，然后利用补形法求外接球的半径即可． 【详解】翻折前，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 同理可得，即为直线与平面所成的角， 因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等， 所以， 而，， 所以，即， 设，则， 过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 即点到平面的距离为， 因为三棱锥的体积，且为定值， 所以要使三棱锥的体积取得最大值，则需取得最大值， 设，，则， 由勾股定理知，，， 所以，， 消去整理得，，，， 当时，取得最大值12，即取得最大值，此时点在线段上，且， 所以，，两两垂直， 所以三棱锥的外接球就是以，，为邻边构成的长方体的外接球， 所以， 所以外接球的半径， 所以当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 一、填空题 1．已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为 . 【答案】 【分析】根据正三棱锥的性质结合图形，利用比例关系求出内切圆的半径，再求出侧面切点所在圆的半径，即可求出 【详解】如图，    设正三棱锥内切球的半径为，为内切球与侧面的切点，为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为， 为等边三角形， , ,, , , , 即 , ，解得， , 由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故, 由余弦定理可得， 所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据正棱锥性质、正三角形的性质，利用相似三角形，求出内切球的半径，是解决问题的关键，属于中档题. 2．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，得出棱柱的内切球的半径为，利用数量积的运算得，再求出范围，即可求出结果. 【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为， 所以，得到，又正三棱柱的高为2， 所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心， 又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面的两个切点，设为， 则， 又点是正三棱柱表面上的动点， 当与（或）重合时，的值最小，此时， 由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大， 连接，并延长交于，则， 此时，得到， 则的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于把向量的数量积转化为线段和长度问题. 3．如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】已知三棱锥外接球球心到每个顶点的距离都是相同，等于外接球半径，在平面上，三角形外接圆圆心为外心（直角三角形的外心为斜边中点），是该三角形边中垂线的交点，过该交点作三角形所在平面的垂线，该垂线上的所有点到三角形的顶点距离相同，故我们只需用该方式，找两个面的垂线，其交点为外接球球心，然后计算其半径即可. 【详解】先分别作,中点，连接； 再过点在平面内作垂线，与相交于点,相交于点； 分别过点作平面,平面垂线，相交于点,连接，如图所示. 由题可知，二面角的平面角为,点分别为的外心，故为该三棱锥外接球球心，为外接球半径， 可得，， 所以 在中， 所以, 所以, 由正弦定理可知 因为， 所以 因为 所以有 所以外接表面积为 故答案为： 【点睛】思路点睛：球外接球相关的所有问题，只需要找到外接球的球心。然后求出半径；找外接球球心的一般方法，就是找出相关三角形的外接圆圆心，然后过圆心作该三角形所在平面的垂线，外接球球心一定在该垂线上，所以当我们作两个垂线时，有交点，交点为外接球球心. 4．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】先过作平面的平行面从而确定点的轨迹，再确定三棱锥体积取最大时的位置，进而找到球心所在方位即可求解. 【详解】如图，当点位于的中点时，取中点G，连接， 则由正方体性质有， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又且都在面，所以平面平面， 又面，所以平面， 所以的轨迹是以的中点为端点的线段， 因为， 所以当F点离平面距离最远时三棱锥体积最大， 此时，点与的中点重合， 取中点O，连接，则由正方体性质可得平面， 所以三棱锥的外接球球心在所在直线上， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，球心为， 则 于是，， 所以外接球半径为， 所以. 故答案为：. 5．已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为 . 【答案】 【分析】把平面展开到与底面共面的的位置，根据图形可知当四点共线时，空间四边形的周长最小，进而求得各边长，由正弦定理可求得外接圆的半径，在三棱锥中确定球心位置根据勾股定理即可求得外接球半径，可得其体积. 【详解】把平面展开到与底面共面的的位置，延长到，使得，则（如下图所示）， 因为的长度为定值，故只需最小，即四点共线， 易知，，可得， 所以，， 由正弦定理可得外接圆的半径， 设外接圆圆心为，则三棱锥外接球的球心一定在过且与平面垂直的直线上，如下图所示： 因为到点的距离相等，所以， 即三棱锥外接球的半径为， 所以外接球的体积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将展开到与底面共面的的位置，确定出空间四边形的周长最小时点的具体位置，求得三棱锥的各边长进而求出外接球半径即可求出体积. 6．已知长方形纸片中，，点，分别是边，上的动点，且，将长方形纸片沿进行翻折，使得，连接，，得到一个三棱柱，如图．已知三棱柱的体积是10，当三棱柱的外接球的表面积取得最小值时，的面积是 ．      【答案】 【分析】分别取的中点，连接，取的中点，由直三棱柱和直角三角形的性质可得点为三棱柱的外接球球心，设，，，由已知可得外接球半径，再利用均值定理和函数单调性即可求解. 【详解】由题可知三棱柱是直三棱柱，分别取的中点，连接， 取的中点，由可得，，则点到三棱柱的六个顶点的距离都是相等， 因此点G是三棱柱的外接球的球心，      设，，，则，解得， 又因为， 所以三棱柱的外接球的半径， 若三棱柱的外接球的表面积取到最小值，只需外接球的半径取到最小值，即取最小值， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 又因为函数和在上单调递减， 所以在上单调递减， 从而当时，取到最小值， 即三棱柱的外接球的表面积取到最小值，此时的面积为. 故答案为： 二、单选题 7．已知一个棱长为2的正方体，点是其内切球上两点，是其外接球上两点，连接，且线段均不穿过内切球内部，当四面体的体积取得最大值时，异面直线与的夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，分析当四面体的体积取得最大时，的位置关系，作出异面直线所成的角，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径， 依题意知，最长为，最长为内切球的直径2， 由三角形面积公式，若为定值时，时面积最大， 画出图形如图所示，其中分别是所在正方形的中心，是内切球与外接球的球心，    由正方体性质知，，，， 又，故此时四面体的体积取得最大， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线与所成的角， 在中，， 由余弦定理得 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是依题意画出符合的图形，再利用等体积法找到体积最大时，异面直线的夹角，再利用余弦定理求解. 8．已知四边形是边长为5的菱形，对角线（如图1），现以为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置.棱，的中点分别为E，F，且四面体的外接球球心落在四面体内部（不含边界，如图2），则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据四面体的侧面及底面外接圆的圆心来确定球心的位置，设角结合长度关系可得，进而可得范围. 【详解】 由题意可知△的外心在中线上， 设过点的直线⊥平面,可知平面, 同理△的外心在中线上, 设过点的直线⊥平面，则平面, 由对称性知直线的交点在直线上. 根据外接球的性质,点为四面体的外接球的球心. 由题意得, 而 所以. 令,显然, 所以. 因为， 所以， 又，所以，即. 综上可知. 故选：A. 【点睛】与几何体外接球有关的模型要熟记： （1）正方体的外接球半径是对角线的一半； （2）长方体的外接球半径是对角线的一半； （3）正四面体的外接球半径是棱长的倍； （4）“汉堡”模型（直棱柱型）的外接球半径为，其中为高，为底面外接圆的半径. 三、解答题 9．已知正四棱锥（如图所示）的高为3，底面边长为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球，，，…，，，…，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切.    (1)求正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小； (2)求球的表面积； (3)求放入的所有球的体积之和. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义找到二面角的平面角，利用边长关系即可求解. （2）根据相切结合图形特征建立等量关系，解方程可求出球的半径，利用球的表面积公式可得结果. （3）根据题意可得，进而得到，利用数列是等比数列可求所有球的体积之和. 【详解】（1）如图，四棱锥中，为底面正方形的中心，    则底面，取的中点，连接， 则，且， 则为侧面与底面所成角，设侧面与底面所成角为，则， ∵底面，∴. 在中，， ∴，即正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为. （2）设球与侧面相切于点，则点在线段上，且， 记球的半径为，由（1）可知， ∴， ∴，即，解得 ∴球的表面积为. （3）记球的半径为，体积为，设四棱锥的高为， 根据（2）可知， 设，则， ∴，两式相减可得，即， ∵，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴， 当时，，故所有球的体积之和为. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是分析出数列是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式结合极限的概念可得结果. 10．如图，在中，，斜边，半圆的圆心在边上，且与相切，现将绕旋转一周得到一个几何体，点为圆锥底面圆周上一点，且． （1）求球的半径； （2）求点到平面的距离； （3）设是圆锥的侧面与球的交线上一点，求与平面所成角正弦值的范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）在直角三角形中，由特殊角及边长即可得出答案； （2）利用等体积转化即可； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与向量用向量法. 【详解】由，斜边，， 设切点为，连接，，又， ，， 所以圆锥中球的半径就是半圆的半径，即为. （2）在三棱锥中，设到平面的距离为 在中，， 在等腰三角形中, ，取中点，连，所以 所以 ，由（1）知， 由于，所以 即 . （3） 如图建立空间直接坐标系，则，， ，设在面上的射影与的正方向的夹角为，所以，， ，，， 设平面的法向量， 由，∴， 设与平面所成角为, 则 【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法、用空间向量解决线面角的问题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 多面体与球内切外接问题 目录 典例详解 类型一、外接球问题 类型二、内切球问题 类型三、内切外接与折叠综合问题 压轴专练 类型一、外接球问题 若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面 体的外接球问题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置 问题，其中球心位置的确定是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论： 结论1： 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。 结论2 ：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。 结论3 ：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。 结论4： 正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。 结论5 ：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。 例1．在四面体中，，若该四面体的体积为4，则该四面体的外接球的表面积为 ． 变式1-1．三棱锥中，，，，那么三棱锥外接球的表面积的最小值是 ． 变式1-2．如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积为 .    变式1-3．如图，在四面体中，，，，平面平面BCD，则四面体外接球的表面积为 ． 变式1-4．在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 变式1-5．在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 变式1-6．在三棱锥中，底面ABC，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 ． 变式1-7．如图，已知在直三棱柱中，F为的中点，E为棱上的动点，，，，.当三棱锥的外接球的半径最小时，直线EF与所成角的余弦值为 .    类型二、内切球问题 若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。 并非所有多面体都有内切球，下面介绍几种常见多面体内切球问题： 1. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。 2. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。 例2．已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为 . 变式2-1．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如下图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且，则该几何体外接球的体积为 ．    变式2-2．一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为 ． 变式2-3．已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 变式2-4．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，，若，当四面体体积最大时，则该四面体的内切球半径为 ． 变式2-5．有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，且，，，均与球相切，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 变式2-6．已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 类型三、内切外接与折叠综合问题 一、平面图形翻折为空间图形问题 1.解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征． 2.解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”． （1）与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变； （2）与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变． 二、解决折叠问题的步骤 第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； 第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； 第三步：利用判定定义和性质定理进行证明。 例3．在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 . 变式3-1．在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 变式3-2．已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为 变式3-3．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持则点的轨迹的面积为 .    变式3-4．如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式3-5．如图1，在直角梯形中，，，，，，点E，F分别为边，上的点，且，.将四边形沿折起，如图2，使得平面平面，点M是四边形内（含边界）的动点，且直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 . 一、填空题 1．已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为 . 2．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 3．如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 ． 4．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 . 5．已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为 . 6．已知长方形纸片中，，点，分别是边，上的动点，且，将长方形纸片沿进行翻折，使得，连接，，得到一个三棱柱，如图．已知三棱柱的体积是10，当三棱柱的外接球的表面积取得最小值时，的面积是 ．      二、单选题 7．已知一个棱长为2的正方体，点是其内切球上两点，是其外接球上两点，连接，且线段均不穿过内切球内部，当四面体的体积取得最大值时，异面直线与的夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 8．已知四边形是边长为5的菱形，对角线（如图1），现以为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置.棱，的中点分别为E，F，且四面体的外接球球心落在四面体内部（不含边界，如图2），则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 9．已知正四棱锥（如图所示）的高为3，底面边长为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球，，，…，，，…，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切.    (1)求正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小； (2)求球的表面积； (3)求放入的所有球的体积之和. 10．如图，在中，，斜边，半圆的圆心在边上，且与相切，现将绕旋转一周得到一个几何体，点为圆锥底面圆周上一点，且． （1）求球的半径； （2）求点到平面的距离； （3）设是圆锥的侧面与球的交线上一点，求与平面所成角正弦值的范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$