精品解析： 内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在端午节道来之前，双十中学高中部食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是（　　） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【详解】因为众数是数据中出现次数最多的数， 所以学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数； 故选D 【点睛】本题考查了统计量的有关知识，解题的关键在于掌握各统计量的定义；首先，根据题意可知学校食堂最关注的为数据中出现次数最多的数；然后，依次寻找各选项中哪个统计量表示数据中出现次数最多的数，即为正确选项． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A、原式＝，所以A选项错误； B、原式＝，所以B选项错误； C、原式＝2，所以C选项错误； D、原式＝，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，由题意根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，即可求出的范围． 【详解】解：由题意可知， ， 解得：． 故选：B． 5. 若，则代数式的值为（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解． 【详解】解：． 故选：C 【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算． 6. 如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设相交于点，连接，根据即可证明，可得到，然后可求得的长，从而可求得的面积，最后利用正方形的面积减去和的面积进行计算即可． 【详解】设相交于点，连接， 由已知得： 由旋转的性质可知：， ∴ 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质、特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关性质与定理、证得是解本题的关键． 7. 已知与x轴，y轴分别交于和，则当时，x的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与不等式，利用数形结合是解题的关键．充分利用图形，直接从图上得出x的取值范围． 【详解】解：当时，函数图象位于x轴左方， 根据函数图象可得：时， 故选：D． 8. 将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质．分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， ∵当正比例函数经过点A时，，当经过点C时， ， ∴直线与正方形有公共点，k的取值范围是， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知一次函数，y随x的增大而减小，且图像交于x的正半轴，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】y随x增大而减小，那么k−2＜0，图象交于x轴的正半轴，k＞0据此解答． 【详解】解：由y＝−2x＋kx＋k得到：y＝（k−2）x＋k． 根据题意，得k−2＜0且k＞0， 解得0＜k＜2． 故答案是：0＜k＜2． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． 10. 如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据裁去的两个小正方形的面积可求出这两个小正方形的边长，进而可求出大正方形的面积，再用大正方形的面积减去裁去的两个小正方形的面积即可得到阴影面积． 【详解】解：由题意得，裁去的两个小正方形的边长分别为， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影面积为， 故答案为：． 11. 在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，斜中半定理，得到，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是得到时，的值最小． 12. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，除法运算，再合并即可． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 14. 在全民读书月活动中，某校随机调查了40名同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题，直接写出结果． （1）这次调查获取的样本数据的众数是　 　． （2）这次调查获取的样本数据的中位数是　 　． （3）若该校共有1200名学生，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有　 　人． 【答案】（1）40元；（2）50元；（3）300． 【解析】 【分析】（1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断； （2）中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断； （3）求得调查的总人数，然后利用1200乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解． 【详解】（1）观察可知这次调查获取的样本数据中30出现的次数最多，故众数是30； （2）共调查了40名同学，从小到大排序后位于第20、第21位置的两个数据都是50，所以这次调查获取的样本数据的中位数是50； （3）调查的总人数是：6+12+10+8+4＝40（人）， 则估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有：1200×＝300（人） 故答案为（1）30；（2）50；（3）300． 【点睛】此题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 15. 如图，在中，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是________． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ∴四边形是平行四边形； （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，，则，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 添加条件：，理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价20元，售价25元．乙商品每件进价30元，售价40元． （1）若甲、乙两种商品共购进100件，设购进甲商品x件，销售完此两种商品的总利润为y元，求出y与x的函数关系式． （2）该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品． （3）若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣5x+1000 （2）至少购进甲种商品20件 （3）若售完这些商品，商家可获得最大利润是900元 【解析】 【分析】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品（100﹣x）件，根据“总利润＝甲商品的利润+乙商品的利润”即可得出y关于x的函数关系式； （2）设至少购进甲种商品x件，根据该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围； （3）根据一次函数的性质找出一次函数的单调性，结合x的取值范围即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设购进甲商品x件，则购进乙商品（100﹣x）件， ∴y＝（25﹣20）x+（40﹣30）（100﹣x）＝﹣5x+1000． 【小问2详解】 解：设至少购进甲种商品x件， 依题意得：20x+30（100﹣x）≤2800， 解得：x≥20． 答：至少购进甲种商品20件． 【小问3详解】 解：对于y＝﹣5x+1000， ∵k＝﹣5＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝20时，y取最大值，最大值为900． 答：若售完这些商品，商家可获得最大利润是900元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次不等式，根据数量关系列出函数关系式或不等式是解题的关键． 17. 已知一次函数的图象经过点且与正比例函数的图象相交于点，求： （1）的值； （2）求一次函数的表达式； （3）请你画出这两个函数的图象，并判断当取何值时，； （4）求这两个函数图象与轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）2 【解析】 【分析】（1）把交点坐标代入正比例函数，计算即可求解． （2）用待定系数法把，代入，建立方程组求解即可． （3）用描点法描点画图即可． （4）利用函数与x轴的交点坐标求出三角形的底长，再运用三角形的面积公式建立等式即可求解． 【详解】解：（1）将代入，得． （2）将代入 解得． 所以一次函数的表达式为：． （3）根据题意可得： ∴由图象可知，当时，． （4）分别与轴的交点坐标为， 所以两个函数图象与轴围成的三角形的面积． 【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数交点问题，涉及到用待定系数法求函数解析式、描点法画函数图像、数形结合比较函数值大小、三角形的面积公式等知识点，熟知以上知识是解答此题的关键． 18. 操作：将一把三角尺放在如图①的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究： (1)如图②，当点在上时，求证：. (2)如图③，当点在延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）过点P作MN//BC，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP； （2）过点作于,交于点，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP； 【详解】(1)证明：过点作，分别交于点，交于点， 则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形． ∴NP=NC=MB ∵∠BPQ=90° ∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ， ∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°， 在△QNP和△BMP中， ∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM ∴△QNP≌△PMB（ASA）， ∴PQ=BP． (2)成立. 过点作于,交于点 在正方形中, ∴ ∴是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在根据正方形的性质得到判定全等三角形的条件，进而得到结论成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在端午节道来之前，双十中学高中部食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是（　　） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 4. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 若，则代数式的值为（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 6. 如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知与x轴，y轴分别交于和，则当时，x的取值为（ ） A. B. C. D. 8. 将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知一次函数，y随x的增大而减小，且图像交于x的正半轴，则k的取值范围是_______． 10. 如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是___________． 11. 在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 12. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算：； （2）计算： 14. 在全民读书月活动中，某校随机调查了40名同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题，直接写出结果． （1）这次调查获取的样本数据的众数是　 　． （2）这次调查获取的样本数据的中位数是　 　． （3）若该校共有1200名学生，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有　 　人． 15. 如图，在中，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是________． 16. 某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价20元，售价25元．乙商品每件进价30元，售价40元． （1）若甲、乙两种商品共购进100件，设购进甲商品x件，销售完此两种商品的总利润为y元，求出y与x的函数关系式． （2）该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品． （3）若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？ 17. 已知一次函数的图象经过点且与正比例函数的图象相交于点，求： （1）的值； （2）求一次函数的表达式； （3）请你画出这两个函数的图象，并判断当取何值时，； （4）求这两个函数图象与轴围成的三角形的面积． 18. 操作：将一把三角尺放在如图①的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究： (1)如图②，当点在上时，求证：. (2)如图③，当点在延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $