专题03 一元二次方程的压轴题（压轴题专项训练）数学湘教版九年级上册

专题03 一元二次方程的压轴题 目录 1 类型一、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 1 类型二、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题 3 类型三、一元二次方程的实际应用 5 7 类型一、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 口诀：先写根关系，再列方程组。 1. 把方程化为标准形式 ax²+bx+c=0，标出两根 x₁、x₂。 2. 用韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 3. 根据题意“和=某值”“积=某值”或“x₁²+x₂²=某值”列式，代入得关于参数的方程。 4. 解出参数后，用判别式 Δ≥0 验证即可。 例1．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 变式1-1．一元二次方程两根分别为且（） (1)若此方程一根为1，则__________； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证：． 变式1-2．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 变式1-3已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 类型二、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题 读定义→标根关系→套韦达定理 把新定义转化为“两根和、积等于某参数”，写成x₁+x₂=A，x₁x₂=B；用韦达定理得-b/a=A，c/a=B，解出参数；回代原定义检验Δ≥0，舍增根。 例2．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 变式2-1．约定：当点的横坐标和纵坐标均为整数时，称这个点为整点，若关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，则点称为该方程的“”点，经过点的直线称为该方程的一条“”线． (1)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (2)关于x的一元二次方程的两实根为．该方程是否存在一条“”线为，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； (3)关于x的一元二次方程的两实根为．若该方程的“”点为整点，请求出所有满足条件的m的值． 变式2-2．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为， ，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 变式2-3．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”． (1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标。 类型三、一元二次方程的实际应用 口诀：审设列解检答。 1. 审题：找等量关系，如面积、利润、距离。 2. 设未知数 x，列一元二次方程 ax²+bx+c=0。 3. 用因式分解或公式法求根，舍负根。 4. 检验：根须符合实际意义（长度>0、人数为整数等）。 5. 写出答案并带单位。 例3．如图，已知正方形与正方形，，分别是，的中点，当点落在线段上时，点恰好在上．记正方形的面积为，正方形的面积为，则 ． 变式3-1．小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 变式3-2 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 变式3-3 如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 一、解答题 1．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 2．阅读下列范例，按要求解答问题． 例：已知实数、、满足，，求、、的值． 解法1：由已知得，①．② 将①代入②，整理得．③ 由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ，即．而，，， 将代入④，得．，即．，． 解法2：，、设，．① ，．② 将①代入②，得． 整理，得，即．，． 将、的值同时代入①，得，．，． 以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解． 以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决． 下面给出两个问题，解答其中任意一题： (1)用另一种方法解答范例中的问题． (2)选用范例中的一种方法解答下列问题： 已知实数、、满足，，求证：． 3．若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 4．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 6．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 7．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 8．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 9．根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 10．如图，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)点在上时_______（用含的代数式表示） (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当被的边分成面积为的两部分时，求的值． (4)连结，当与的边平行时，直接写出的值． 11．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程的压轴题 目录 1 类型一、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 1 类型二、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题 6 类型三、一元二次方程的实际应用 15 24 类型一、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 口诀：先写根关系，再列方程组。 1. 把方程化为标准形式 ax²+bx+c=0，标出两根 x₁、x₂。 2. 用韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 3. 根据题意“和=某值”“积=某值”或“x₁²+x₂²=某值”列式，代入得关于参数的方程。 4. 解出参数后，用判别式 Δ≥0 验证即可。 例1．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 变式1-1．一元二次方程两根分别为且（） (1)若此方程一根为1，则__________； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证：． 【答案】(1)6 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握了一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用表示，再根据已知条件即可求证． 【详解】（1）解：∵一元二次方程两根分别为，其中一根为， ∴将代入，则， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 解得：，； （3）解：当，且， ① ② ①－②得： 即 因， ∴， ∴ 由题知： ∴即，故． 变式1-2．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或； （2）∵方程有两个实根，， ∴， ∴， 解得：或， 当，方程化为：， ∴，满足条件； 当，方程化为：，此时，舍去； 故； （3）∵方程有两个实根，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或（舍去）， 当时，原方程化为：， 此时，满足题意， ∴． 变式1-3已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 类型二、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题 读定义→标根关系→套韦达定理 把新定义转化为“两根和、积等于某参数”，写成x₁+x₂=A，x₁x₂=B；用韦达定理得-b/a=A，c/a=B，解出参数；回代原定义检验Δ≥0，舍增根。 例2．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或 ， 故②不正确； ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 变式2-1．约定：当点的横坐标和纵坐标均为整数时，称这个点为整点，若关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，则点称为该方程的“”点，经过点的直线称为该方程的一条“”线． (1)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (2)关于x的一元二次方程的两实根为．该方程是否存在一条“”线为，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； (3)关于x的一元二次方程的两实根为．若该方程的“”点为整点，请求出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）根据题意，求出；再根据，得到，则，化简为，解得：或，检验是否符合题意即可； （3）解关于x的一元二次方程，得或，根据一元二次方程的定义及新定义得到且，；根据该方程的“”点为整点，可得，都是整数，令（为整数，且）且（为整数，且），求出的值为：，或，进而得到 或或，即可求解出m的值，再代入检验即可． 【详解】（1）解：根据题意：， ∴； （2）解：存在， ∵关于x的一元二次方程的两实根为， ∴， ∴； ∵， ∴， 根据题意得：， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，则， ∵， ∴，符合题意； 当时，，则， ∵， ∴，不符合题意； 综上，； （3）解：解关于x的一元二次方程， ， 解得：或， ∵，即， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵该方程的“”点为整点， ∴，都是整数， ∵，， ∴，都是整数， 令（为整数，且）且（为整数，且）， ∴（为整数，且）且（为整数，且）， ∴且， ∴的值为：，或， ∴或或， ∴或或（舍去）， 当时，，，且，符合题意； 当时，，，且，符合题意； 综上，满足条件的m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究，理解定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 变式2-2．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为， ，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想及数形结合的思想解决问题． （1）依据题意，关于x的一元二次方程为，计算判别式，进而可以判断得解； （2）依据题意，由可得，故，，则该一元二次方程的衍生点，再令，进而可以得解； （3）依据题意，结合图象，直线与x轴交于点A，可得，又M在直线上，可得在直线上，刚好和的边交于点（，又令，则，从而，结合，进而可以得解； （4）依据题意，由直线，过定点，从而两个根为再由根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的衍生点为． 令，， ∴； （3）解：如图，直线与x轴交于点A， 当，则， ∴ ∴， 又M在直线上， ∴在直线上，刚好和的边交于点． 令，则， ∴， ∴． ∴； （4）解：由题意，∵直线， ∴过定点， ∴两个根为， ∴， ∴ ∴，即． 变式2-3．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”． (1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标。 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）设正比例函数图象上“创新点”的坐标为，得到，据此计算即可求解； （2）设点A的坐标为，根据题意得，由题意，解得，得到反比例函数的解析式为，点A的坐标为，设点是反比例函数图象上的“创新点”，求得点B，C的坐标分别为，，由面积与的面积相等，得到，分两种情况讨论即可求解； （3）利用根与系数的关系求得，根据题意求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设正比例函数图象上“创新点”的坐标为， 根据题意得， 解得，则， ∴正比例函数图象上“创新点”的坐标为； （2）解：设点A的坐标为， 根据题意得，整理得， ∵点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为， 设点是反比例函数图象上的“创新点”， 根据题意得， 消去并整理得， 解得，， ∴，， ∴点B，C的坐标分别为，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵面积与的面积相等， ∴， 可设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 在中，令，则， 将直线向下平移4个单位的直线， 直线与双曲线的交点为， 此时也满足面积与的面积相等， 联立得， 解得或， 将或分别代入， 得或， ∴或， 综上，点M的坐标为或或； 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 类型三、一元二次方程的实际应用 口诀：审设列解检答。 1. 审题：找等量关系，如面积、利润、距离。 2. 设未知数 x，列一元二次方程 ax²+bx+c=0。 3. 用因式分解或公式法求根，舍负根。 4. 检验：根须符合实际意义（长度>0、人数为整数等）。 5. 写出答案并带单位。 例3．如图，已知正方形与正方形，，分别是，的中点，当点落在线段上时，点恰好在上．记正方形的面积为，正方形的面积为，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，过点作，的延长线交于点，设，，则，，，，，， 证明和全等得，，则，进而得，证明是线段的垂直平分线，则，在中，由勾股定理得，整理得，解这个关于的方程得，则，由此得正方形的面积 ，正方形的面积，据此即可得出的值． 【详解】解：连接，过点作，的延长线交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形都是矩形， 设，，则，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得：， 解这个关于的方程得，或（不合题意，舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴正方形的面积， ∵， ∴正方形的面积， ∴， 故答案为：． 变式3-1．小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 【答案】(1)小琴的父母今年共收获蜜梨35000kg (2)每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为600元 【分析】根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程，求出的值，进而求出总产量； 由于降价，日销售量增加，用含有的代数式表示每斤的销售利润和日销售量，根据日销售利润可列方程求解，注意结果的合理性. 【详解】解：由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 当时，． 故小琴的父母今年共收获蜜梨kg． 设每千克零售价应降价元，才能使得每天的销售利润为元． 由题意，得， 解得． 为了加快销售速度， 应该舍去0.5，选降价1 元。 故每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为元． 【点睛】一元二次方程及应用，列出合理的方程是解题的关键，分析数量关系则显得尤其重要，降价使日销售量和每斤的销售利润发生变化，尤为注意. 变式3-2 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)3； (2)； (3)不存在，理由见解析； (4)1或3． 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 变式3-3 如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 【答案】(1) (2)，底面正三角形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）设裁去的正方形边长为，由题意得：，再解一元二次方程即可； （2）延长交于点，由题意可设，设，在中，，则，那么，在中，，，则，过点作于点，则，则，而，则，解得，再代入①即可求解． 【详解】（1）解：设裁去的正方形边长为， 由题意得：， 解得：或（不合题意，舍）， 答：裁去的正方形边长； （2）解：延长交于点， ∵等边， ∴， 由矩形可得： ∴设， 由题意得：四边形为矩形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴由勾股定理得：， ∵ ∴ ∵， ∴ 过点作于点，则， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等， ， ∴， 将代入， 则 解得：， ∴等边三角形边长为． 一、解答题 1．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【答案】(1)，，，6 (2)； (3)3 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； （2）解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 2．阅读下列范例，按要求解答问题． 例：已知实数、、满足，，求、、的值． 解法1：由已知得，①．② 将①代入②，整理得．③ 由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ，即．而，，， 将代入④，得．，即．，． 解法2：，、设，．① ，．② 将①代入②，得． 整理，得，即．，． 将、的值同时代入①，得，．，． 以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解． 以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决． 下面给出两个问题，解答其中任意一题： (1)用另一种方法解答范例中的问题． (2)选用范例中的一种方法解答下列问题： 已知实数、、满足，，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】此题考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，解决本题的关键是掌握用换元法构造一元二次方程． （1）此题可以利用方程组的知识建立起与之间的关系，根据非负数的性质解答； （2）利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答． 【详解】（1）解：由已知等式消去，得， 即， ， 故，， 于是由，得， 故，； （2）证明：由已知得① ② 将①代入②得， ③ 由①③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ， 化简得， 而， ． 将代入④， 解得， ， ． 3．若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【答案】(1) (2)、 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点， （1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小明同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、； （3）∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为． 4．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 【答案】(1)不是， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）解方程后，对比两根与 “倍根方程”的定义即可，再将和分别代入，联立两式可解值． （2）十字相乘法解出方程的两个根，再根据倍根方程的定义可得或，求解即可． （3）由根与系数关系得，，消掉，即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程， 解得：， ∵和不是二倍关系， ∴不是“倍根方程”， ∵是“倍根方程”， ∴将和分别代入上式可得，，， 解得：， 故答案为：不是，． （2）解：原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：之间满足的关系． 理由：设一个根为，则另一个根为，由根与系数关系得，， ∴，， ∴，即． ∴之间满足的关系． 6．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1)①1.5，；② (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数，是方程    的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ； 故答案为：； （2）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 7．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 8．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键. 9．根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 【答案】（1）40；（2）；（3） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）由储物位置的底面尺寸判断即可； （2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可； （3）根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；； 故答案为：40； （2）设裁去小长方形的宽为，长为， 则， 解得：（舍去），； 则体积为； （3）由题意可得阴影部分的长为， 储物盒的底面长为， 则需要裁出的正方形为图中③，④两块， 裁出的正方形的边长为， 底面的宽为， ． 答：储物盒的底面积为． 10．如图，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)点在上时_______（用含的代数式表示） (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当被的边分成面积为的两部分时，求的值． (4)连结，当与的边平行时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)当与的边平行时，或或或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据题意表示出，即可求解； （2）分当落在上时，当在上时，得出四边形是矩形，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）同（2）分两种情况讨论，根据题意得出或；或，建立方程解方程，即可求解； （4）根据题意，分四种情况讨论，找到等量关系，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中， ∴ ∴ ∵在上的速度为每秒1个单位， ∴重合时， ∵在上的速度变为每秒个单位， ∴ 故答案为：． （2）解：如图所示，当落在上时， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴，则 ∴ 解得： 如图， 当在上时， 同理可得四边形是矩形，，则 ∴ ∵ ∴ 解得： 综上所述，当点落在的边上时，或 （3）解：如图所示，当在上时，设，交于点，此时 在中，，，则 ∴ ∵，则 ∴ ∴， 依题意或 ∴ 解得：或（舍去） 或 解得：（舍去） 如图，当在上时，设，交于点，此时 在中， ∴， 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 依题意或 ∴ 解得：或（舍去） 或 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 （4）解：如图所示，当在上时，设，交于点，交于点，连接，此时 当时， ∴ ∴，则 由（3）可得， ∴ ∵，则 在中，，则 ∴ ∴ ∴ 解得： 如图所示， 时，在上时，此时 延长交于点， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得： 如图，当时，在上时，此时 延长交于点， 同理可得，即 ∵， ∴ 解得： 如图，当时，在上时，此时，设交于点，交于点， ∵， ∴ 依题意，， ∴， ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中， 又∵ ∴ 解得： 综上所述，当与的边平行时，或或或． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 11．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1)当时的长度能为，理由见解析 (2)的面积能为，理由见解析 (3)， 【分析】（1）由题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． 【详解】（1）解：的长度能为，理由如下： 根据题意可知：，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， 当时的长度能为； （2）解：不能，理由如下： 设运动秒后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， 的中点为 ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解答本题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$