专题01 一元二次方程及其解法（专项训练）数学湘教版九年级上册

专题01 一元二次方程及其解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的定义……………….....………...……………………………....……1 题型二、配方法解一元二次方程 1 题型三、公式法解一元二次方程 2 题型四、因式分解解一元二次方程 2 题型五、十字相乘法解一元二次方程 3 题型六、换元法解一元二次方程 3 题型七、一元二次方程中的新定义型问题 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程的定义 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，1 B．1， C．7，1 D．，1 3．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 题型二、配方法解一元二次方程 4．用配方法解方程，方程应变形为（   ） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027． 6．已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（    ） A．6 B．9 C．2 D． 7．解方程： (1)； (2)． 题型三、公式法解一元二次方程 8．下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 9．用公式法解方程，其中根的判别式的值是（   ） A． B． C．12 D．8 10．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 11．解方程： (1) (2) 题型四、因式分解解一元二次方程 12．方程的解是(　　) A． B． C． D． 13．已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 14．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 15．（25-26九年级上·广东·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 题型五、十字相乘法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·四川泸州·期中）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(    ) A．8 B．11 C．8或10 D．8或11 18．已知一元二次方程的两个根分别是菱形的一对角线长和边长，则该菱形的周长为（   ） A． B．或 C． D． 题型六、换元法解一元二次方程 19．若，则的值是（   ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 20．已知实数满足，则的值为（　　） A．或1 B．或6 C．6 D．1 21．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 22．阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： (1)在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； (2)解方程：． 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 23．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　） A．10 B．4 C．4或 D．4或或10 24．对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（    ） A．1或 B．或7 C． D． 25．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东临沂·期中）方程的根为（   ） A． B． C． D． 2．方程的根是（   ） A． B． C．或 D．或 3．用配方法解方程，方程应变形为（　　） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·湖南岳阳·期末）把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 5．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A．0 B．5 C． D．5或 7．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 8．对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（    ） A． B．或6 C． D．1或 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·云南·期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 二、填空题 11．已知一元二次方程，则它的两个根是， ． 12．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）已知关于的方程的一个根是1，则 ． 13．（21-22九年级上·陕西榆林·期末）一元二次方程的解为 ． 14．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，若，则x的值为 ． 15．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若正数a是关于x的一元二次方程的一个实数根，是关于x的一元二次方程的一个实数根，则a的值为 ． 16．（24-25九年级上·吉林·期末）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 17．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）我们规定：对于实数，满足，若，则的值为 ． 18．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x是实数，且满足，则的值为 ． 三、解答题 19．（14-15八年级下·浙江·期末）选择适当的方法解方程 (1)； (2)． 20．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长． 21．阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程． ，，， ．解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)已知代数式对应的方程解为和5，则代数式分解后为_____，的值为_____； (2)将代数式分解因式． 22．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程及其解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的定义……………….....………...……………………………....……1 题型二、配方法解一元二次方程 2 题型三、公式法解一元二次方程 4 题型四、因式分解解一元二次方程 5 题型五、十字相乘法解一元二次方程 7 题型六、换元法解一元二次方程 8 题型七、一元二次方程中的新定义型问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程的定义 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． 一元二次方程是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、没有说明，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，1 B．1， C．7，1 D．，1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数和常数项分别是，1， 故选：D． 3．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的a值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 题型二、配方法解一元二次方程 4．用配方法解方程，方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．常数项移到方程的右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 5．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先将方程中常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，即可求出． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ∴， 故选：B． 6．已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（    ） A．6 B．9 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，再根据题意得出，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先将常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）， ， ， ， ， ，． 题型三、公式法解一元二次方程 8．下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据各个方程判断最适合的方法即可得解，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解此题的关键． 【详解】解：A、最适合用直接开平方法，故不符合题意； B、最适合用直接开平方法，故不符合题意； C、最适合用公式法，故符合题意； D、最适合用直接开平方法，故不符合题意； 故选：C． 9．用公式法解方程，其中根的判别式的值是（   ） A． B． C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式的确定．代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B． 10．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 11．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用公式法解一元二次方程即可； （2）直接运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 所以， 所以． （2）解：， ， 所以， 所以． 题型四、因式分解解一元二次方程 12．方程的解是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法得出，解方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， 可得或， 解得：， 故选：A． 13．已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 根据因式分解法可直接进行求解． 【详解】解：A、由方程解得，，故不符合题意； B、由方程解得，，故符合题意； C、由方程解得，，故不符合题意； D、由方程解得，，故不符合题意； 故选：B． 14．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题重点考查​一元二次方程的解法（因式分解法）​，​​通过移项提取公因式 进行因式分解是解题的关键． 将方程整理为标准形式后因式分解求解． 【详解】解：原方程化为，即，即， 所以或， 解得或， 故选：C． 15．（25-26九年级上·广东·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可． （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， 移项：， ∴， ∴或， 解得：． 题型五、十字相乘法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接根据十字相乘法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 17．（24-25九年级上·四川泸州·期中）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(    ) A．8 B．11 C．8或10 D．8或11 【答案】B 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得或， 当时，2，2，4不能构成三角形，舍去； 当时，此三角形的周长为， 故选：B． 18．已知一元二次方程的两个根分别是菱形的一对角线长和边长，则该菱形的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解一元二次方程可得两根，再分成当对角线为，菱形边长为时，和对角线为，菱形边长为时两种情况考虑，可得菱形的边长为，进而可求解． 【详解】解：解一元二次方程， 可得：，， ∵方程两个根分别是菱形的一对角线长和边长， ∴当对角线为，菱形边长为时，，符合要求， 当对角线为，菱形边长为时，，不符合要求， ∴根据三角形三边关系，可得菱形的边长为， ∴菱形的周长为：． 故选：A． 题型六、换元法解一元二次方程 19．若，则的值是（   ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及换元法、因式分解法解一元二次方程等知识，采用换元法转化成一元二次方程求解是解决问题的关键．令，将条件中的等式转化为一元二次方程，采用十字相乘法因式分解求解即可得到答案． 【详解】解：令， 则可化为， 即， ， 解得或， ， ，即的值是， 故选：D． 20．已知实数满足，则的值为（　　） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查换元法解一元二次方程以及完全平方数的非负性．解题运用了换元的思想，将设为t，把原方程转化为关于t的一元二次方程，简化计算；解题关键是通过换元降次，同时要注意利用完全平方数的非负性对求出的t的值进行取舍；易错点是容易忽略完全平方数的非负性，误将不符合条件的t值保留． 首先观察到方程中多次出现，所以采用换元法，设，将原方程转化为．然后用因式分解法解这个关于t的一元二次方程，得到或．接着，因为，而一个数的平方是非负的，所以t不能为负数，舍去，最终得到，即可得的值． 【详解】设，则原方程可化为． 得． 则或， 解得或． 又因为，一个数的平方是非负数，所以． 不符合要求，舍去，所以，即的值为1． 故选：D． 21．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【答案】B 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 22．阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： (1)在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； (2)解方程：． 【答案】(1)转化 (2)或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握利用换元法解一元二次方程的方法是解题的关键. （1）根据换元法解一元二次方程的过程及意义，即可得出结论； （2）设，则原方程可化为，解方程求出值，进而得出的值. 【详解】（1）解：在原方程得到方程的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 故答案为：转化． （2）设，则原方程可化为， 解之得：，， 当 时，无解； 当 时，， 解得：，． ∴原方程的解为或． 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 23．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　） A．10 B．4 C．4或 D．4或或10 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，， 故选：B． 24．对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（    ） A．1或 B．或7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 25．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴， 整理，得， 解得或， 故选C． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东临沂·期中）方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握开平方法是解本题的关键．两边直接开平方即可得解． 【详解】解：， 两边直接开平方得：，， 故选：C． 2．方程的根是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法． 利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解：由得， ， ， ∴或， ∴或， 故选：D． 3．用配方法解方程，方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，首先把常数项移到等号的右边，可得：，把方程的两边同时加上，把等号左边凑成完全平方式，可得：，再把等号左边的用完全平方公式分解因式，可得：． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加上得：， 分解因式得：． 故选：C． 4．（22-23九年级上·湖南岳阳·期末）把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ， 故选A． 5．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A．0 B．5 C． D．5或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．将根代入方程，求出k的可能值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解，即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴． 故选：C 7．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，由条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵， ∴． 故选：A 8．对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（    ） A． B．或6 C． D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义下实数的运算，由新定义运算得出，再解一元二次方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， 解得：，， ∴等式中的x值为或6， 故选：B． 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解及其解法，整理方程，把代入，结合可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵关于的一元二次方程有实数根， 整理得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．（24-25八年级下·云南·期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程． 根据运算程序可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴ 解得，． 故选C． 二、填空题 11．已知一元二次方程，则它的两个根是， ． 【答案】4 【分析】根据因式分解法直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，， 故答案为：4； 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法． 12．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；分和分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，， 可得：，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 把代入得， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， 综上所述，或 故答案为：或． 13．（21-22九年级上·陕西榆林·期末）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先通过移项将方程右边化为0，再提取公因式，把方程转化为两个一次方程求解． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 14．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程；根据新定义以及已知条件，可得，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若正数a是关于x的一元二次方程的一个实数根，是关于x的一元二次方程的一个实数根，则a的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解一元二次方程，解答本题的关键是求出m的值，此题难度一般；首先根据题意得到①和②，根据①②求出m的值，进而解一元二次方程可求出a的值． 【详解】解：正数a是关于x的一元二次方程的一个根， ①， 关于x的方程一元二次方程的一个根， ②， 由①②可得， ， 或， 是正数， ， 故答案为： 16．（24-25九年级上·吉林·期末）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 17．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）我们规定：对于实数，满足，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的新定义，因式分解法进行解一元二次方程，先理解新定义，再得出，整理得，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即， 整理得， ∴， 解得， 故答案为：或． 18．已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程，先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 则原方程可变形为： ， ， 或 解得，， 则，， 当时，，故该方程无实数根， 当时，，故该方程有两根实数根， 所以， 故答案为：3． 三、解答题 19．（14-15八年级下·浙江·期末）选择适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 20．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长． 【答案】16 【分析】先利用因式分解法求出x的值，再根据三角形的三边关系求解即可．本题考查的是因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， 当时，，不能构成三角形； 当时，，能构成三角形，此时三角形的周长． 综上所述，三角形的周长为． 21．阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程． ，，， ．解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)已知代数式对应的方程解为和5，则代数式分解后为_____，的值为_____； (2)将代数式分解因式． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了在实数范围内分解因式，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据求根法可得因式分解的结果为，再把展开即可求出k的值； （2）先仿照题意得到一元二次方程，利用公式法求出方程的解，再结合题意可得答案． 【详解】（1）解：∵代数式对应的方程解为和5， ∴代数式因式分解为， ∴，即； （2）解：令， ，，， ， 解得，； ． 22．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $