专题07 解直角三角形应用中的基本模型（压轴题专项训练）数学湘教版九年级上册

专题07 解直角三角形应用中的基本模型 目录 1 类型一、母子型 1 类型二、背靠背型 7 类型三、实物模型 11 20 类型一、母子型 口诀：遇母子直角，先定公共锐角，三角函数一步出。 1. 作高CD，得∠A公共；在Rt△ACD中写sinA=CD/AC，在Rt△ABC中写sinA=BC/AB。 2. 两式相等即CD/AC=BC/AB，交叉得CD=AC·BC/AB。 3. 余弦、正切同理，知二求一。 例1．某综合实践活动小组尝试通过利用无人机（无人机限高米）测算某山体的海拔高度当无人机位于海拔高度为米的处，测得与山顶处的仰角为，活动小组设计了如下两种方案请选择其中一种测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）（参考数据：，，） 测量示意图 方案说明 方案一 当无人机从处垂直上升米到达处时，测得与山顶处的仰角为． 方案二 当无人机从处水平后退米到达处时，测得与山顶处的仰角为． 变式1-1．为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼）前面的楼的高度．如图，他首先在间的点M处架了测角仪，测得楼楼顶D的仰角为已知米，测角仪距地面米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼楼顶D的仰角为，米，请求出楼的高度．（参考数据：，，）． 变式1-2．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点C处，测得点C距地面70米，测得楼底A的俯角为，楼顶C的俯角为，求大楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）． 变式1-3如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）． 类型二、背靠背型 口诀：背靠背，共边高，三角函数套两遍。 1. 画公共边BC，两侧各作垂线得两直角△ABD与ACD，共高AD。 2. 在左△用tanB=AD/BD，右△用tanC=AD/CD，两式相除得BD/CD=tanC/tanB。 3. 已知BC=BD+CD，设AD=h，列h/tanB+h/tanC=BC，解h，再求各边。 例2．如图，地在地的正东方向，有大山阻隔，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，则地到地之间高铁线路的长是 （结果保留整数）．（参考数据：；；．） 变式2-1．如图，无人机飞到某大桥桥面的正上方，与桥面相距600米的点处悬停，此时测得的俯角分别为和，则桥面的长是 米．（，结果保留整数） 变式2-2．徐州市苏宁中心广场是我市地标性建筑，该项目的A塔楼高61层，是我市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在水平的彭城广场上进行测量和计算．当无人机飞行到C点处时，无人机距离地面，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角为，测得该塔楼顶端处点A的仰角为．假定点A，B，C，D，E都在同一平面内，求最高塔的高度（结果保留整数）（参考数据：，，） 变式2-3．2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，… 请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．） 类型三、实物模型 口诀：实物→直角三角形，标高角边。 1. 把实物抽象为直角三角形，标出仰角或俯角θ，地面边为邻边，高度为对边。 2. 用 tanθ=对/邻，列式求未知高或距。 3. 若需斜边，再用 sinθ=对/斜 或 cosθ=邻/斜。 4. 统一单位，结果取近似。 例3．【背景】图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持 【测量】如图2（甲），未装入纸张时，点落在上，此时，如图2（乙），装满纸张时，点落在上，此时 【计算】借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） (1)求夹纸板截线与扣板截线的长； (2)如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； (3)未装入纸张时，点到底板的距离为________． 变式3-1．如图1，落地灯的支撑杆垂直放于地面，为可绕点上下旋转的支架，为长度不变的挂绳，为落地灯的灯罩，始终与地面平行．已知米，米，当时，与地面之间的距离为米．为了让光线更舒适，现调节，使得，如图2，求此时与地面的距离．（参考数据：，，，） 变式3-2 随着传统能源的日益紧缺，太阳能路灯的应用将会越来越广泛．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器（测量角的仪器）的高度为米，点在水平地面的同一直线上，在点处安置测倾器，测得电池板顶端点的仰角，在与点相距米的点处安置测倾器，测得灯罩顶端点的仰角，点为灯臂与路灯立柱的连接点（点与在一条直线上），，测得米． (1)求电池板顶端点离地面的高度； (2)求灯臂的长度．（结果精确到，参考数据：） 变式3-3 钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人．图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线，图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在处任意旋转，为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度，传统的钓伞在连接点处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中、为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． (1)如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． (2)根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． (3)在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过1米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到米，参考数据：） 一、填空题 1．如图，小明在大楼米高即米的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度即为，点，，，，在同一个平面上，点、、在同一条直线上，且丄则山坡坡角即的度数等于 度；、两点间的距离等于 结果精确到米，参考数据：． 2．图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）． 3．新石器时代的河姆渡人为使房子与地面隔离而达到有效的防潮，建造了如图①所示的干栏式房屋，图②为其正面简易图，若米，在点处测得房檐处的俯角为，距离为米，则房屋的高度约为 米． 二、解答题 4．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 5．我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 6．综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） (1)求的度数； (2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 7．如图，某数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 8．举高灭火机器人是一种可代替消防救援人员进入危险区域进行灭火作业的特种机器人．如图1是一款举高灭火机器人的实物图，图2是其工作示意图，机器人底座可看作矩形，，伸缩臂，点和点在同一铅垂线上（即），，伸缩臂的最大长度为，图中的点均在同一竖直平面内，．当伸缩臂达到最大长度时，求举高灭火机器人的最高点到地面的距离．（参考数据：，，） 9．如图是贵阳花果园双子塔，是贵阳国际贸易中心的座和座，是贵州省第一高楼，也是全国已建成的最高双子塔．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的小星同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图，小星在小区门口点处测得其中一个塔的顶部的仰角为，然后在自家阳台上的点处测得顶部的仰角为，若小星家的阳台到地面的距离为，点到点的水平距离为，且、、三点共线，求的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 10．汝南县古称汝宁，城墙始建于明代，主要用于防御北城门（如图①）是古城墙的北人口，曾是进出县城的主要通道之一．城门建筑风格古朴，体现了明代的建筑特色．某数学兴趣小组想要用无人机测量汝南北城门的高度（垂直于水平地面），测量方案如图②所示，先将无人机垂直上升至距水平地面25m高的点处，在此处测得汝南北城门顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向向汝南北城门飞行m到达点，此时测得妆南北城门底端的俯角为，若在同一平面内，求汝南北城门的高度．（结果精确到m参考数据：） 11．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形环湖步道，如图，经勘测，点B在点A的南偏东方向，点C在点A的正东方，点D在点A的北偏东方向，点B在点C的南偏西方向，点D在点C的正北600米处．（参考数据：，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)小红与小方约定星期六早晨去锻炼，小红以每分钟120米的速度沿的路线快跑到点C，同时小方以每分钟75米的速度沿的路线慢跑去点C，请你通过计算判断小红和小方谁先到达点C？（时间精确到0.1）． 12．【问题背景】 陕西信息大厦是古城西安的地标性建筑之一，位于西安市碑林区西安市文化科技体育中心．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量陕西信息大厦的高度． 【解决问题】 张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角，然后沿移动96米到达D处（即米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角．已知，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求陕西信息大厦的高度．（结果保留根号） 13．2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟．小明看到这则新闻特别开心，小明家在地，奶奶家在地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示． 若已知，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算： （参考数据：，结果精确到个位） (1)大桥建成以后两地直接通行的距离； (2)求大桥建成发后与之前的路线相比，从地到地的路程将缩短约多少公里． 14．暮色初临，饥肠辘辘的小江在手机上点了晚餐订单．如图所示，小江家位于点A处，此时，外卖员小津正在位于点A处南偏东方向的饭店D处取餐，取餐后即刻前往A地送餐．然而，连接A与D的道路因施工被封锁，小津面临两条截然不同的送餐路线：和．已知，点B在点D的正西方，且处于点A的正南方，米；点C位于点D的正东方，且处于点A的东南方．（参考数据：，） (1)求C、D两地的距离；（结果保留根号） (2)如果外卖员小津的速度为5米/秒，请你帮小津算一算，哪条路最快到达目的地？（结果精确到0.1米） 15．如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解直角三角形应用中的基本模型 目录 1 类型一、母子型 1 类型二、背靠背型 7 类型三、实物模型 11 20 类型一、母子型 口诀：遇母子直角，先定公共锐角，三角函数一步出。 1. 作高CD，得∠A公共；在Rt△ACD中写sinA=CD/AC，在Rt△ABC中写sinA=BC/AB。 2. 两式相等即CD/AC=BC/AB，交叉得CD=AC·BC/AB。 3. 余弦、正切同理，知二求一。 例1．某综合实践活动小组尝试通过利用无人机（无人机限高米）测算某山体的海拔高度当无人机位于海拔高度为米的处，测得与山顶处的仰角为，活动小组设计了如下两种方案请选择其中一种测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）（参考数据：，，） 测量示意图 方案说明 方案一 当无人机从处垂直上升米到达处时，测得与山顶处的仰角为． 方案二 当无人机从处水平后退米到达处时，测得与山顶处的仰角为． 【答案】山体的海拔高度为米 【分析】选择方案一，结合图形，在中，得到米，在中，利用解直角三角形，求出的值，即可得到结果； 选择方案二，结合图形，在中，得到米，在中，利用解直角三角形，求出的值，即可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：选择方案一， 设米，则米， 在中，， 米， 米， 米， 在中，，， 故， 解得， 米， 米， 米， 米， 答：山体的海拔高度为米； 选择方案二， 在中，， 令米， 米, 米, 在中,,, ， 解得， 米， 米， 米， 米， 答：山体的海拔高度为米． 变式1-1．为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼）前面的楼的高度．如图，他首先在间的点M处架了测角仪，测得楼楼顶D的仰角为已知米，测角仪距地面米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼楼顶D的仰角为，米，请求出楼的高度．（参考数据：，，）． 【答案】25米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，过点N作于点G，延长，，交于点H，交于点，由题意，得四边形是矩形，，，则米．在中，，所以， （米），设米，则米．在中，，列方程可得结论． 【详解】解：如图，过点N作于点G，延长，，交于点H，交于点． 则四边形是矩形，，，米，米， （米）， 在中，， ， 在中，（米）， 设米， 在中，，即， 解得， 则（米）， 楼的高度为25米． 变式1-2．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点C处，测得点C距地面70米，测得楼底A的俯角为，楼顶C的俯角为，求大楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）． 【答案】大楼的高度约为49.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点E，则，根据题意可得：米，然后先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点E，则， 由题意得：米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴大楼的高度约为49.8米． 变式1-3如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． 如图所示，连接，过点作于点，，在中，，在中，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴旗杆的高度为． 类型二、背靠背型 口诀：背靠背，共边高，三角函数套两遍。 1. 画公共边BC，两侧各作垂线得两直角△ABD与ACD，共高AD。 2. 在左△用tanB=AD/BD，右△用tanC=AD/CD，两式相除得BD/CD=tanC/tanB。 3. 已知BC=BD+CD，设AD=h，列h/tanB+h/tanC=BC，解h，再求各边。 例2．如图，地在地的正东方向，有大山阻隔，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，则地到地之间高铁线路的长是 （结果保留整数）．（参考数据：；；．） 【答案】595 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．过点B作于点D，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及D的长，再在中求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点B作于点D， ∵B地位于A地北偏东方向，距离A地， ∴，， 在中，， ， ∵C地位于B地南偏东方向， ∴， 在中，， ∴． 答：A地到C地之间高铁线路的长为． 故答案为：595． 变式2-1．如图，无人机飞到某大桥桥面的正上方，与桥面相距600米的点处悬停，此时测得的俯角分别为和，则桥面的长是 米．（，结果保留整数） 【答案】1639 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点C作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴，， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴桥面的长约为1639米， 故答案为：1639． 变式2-2．徐州市苏宁中心广场是我市地标性建筑，该项目的A塔楼高61层，是我市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在水平的彭城广场上进行测量和计算．当无人机飞行到C点处时，无人机距离地面，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角为，测得该塔楼顶端处点A的仰角为．假定点A，B，C，D，E都在同一平面内，求最高塔的高度（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】266米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，由题意得四边形是矩形，则，解求出的长，解求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，，， ， 答：最高塔的高度约为266米． 变式2-3．2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，… 请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．） 【答案】25米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的性质得到，，利用求出，求出x的值，最后根据含30度角的直角三角形特征求出结果． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． 则四边形为矩形． ，． 设． 在中，，． ． ． 在中， ，． ， ． ， ． 解，得． 在中， ，， （米）． 答：背水坡的长为25米． 类型三、实物模型 口诀：实物→直角三角形，标高角边。 1. 把实物抽象为直角三角形，标出仰角或俯角θ，地面边为邻边，高度为对边。 2. 用 tanθ=对/邻，列式求未知高或距。 3. 若需斜边，再用 sinθ=对/斜 或 cosθ=邻/斜。 4. 统一单位，结果取近似。 例3．【背景】图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持 【测量】如图2（甲），未装入纸张时，点落在上，此时，如图2（乙），装满纸张时，点落在上，此时 【计算】借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） (1)求夹纸板截线与扣板截线的长； (2)如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； (3)未装入纸张时，点到底板的距离为________． 【答案】(1)长，长 (2)每张纸的厚度为 (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用及股定理．熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键；根据所得的的角，构造的直角三角形进行求解是解决本题的难点． （1）图甲中根据的长和的余弦值可得的长，图乙中易得，根据的长和的余弦值可得的长； （2）图丙中，设纸的上端与交于点，易得，进而根据的长和的余弦值可得的长，即可求得的长，除以30即为每张纸的厚度； （3）作于点，易得，作，可得，，设为 ，利用勾股定理求得的值，进而得到的长，即可求解． 【详解】（1）解：图甲中， ， ， ，， ， 图乙中， 由题意得：，，， ， ， 答：长，长； （2）解：图丙中，设纸的上端与交于点， ，， ，， ， ， ， 每张纸的厚度为：， 答：每张纸的厚度为； （3）解：作于点，则， ，， ， ， ， 作， ，， 设为 ，则 ， ， ， 在中，， ， 解得：（取正值）， ， ， 的长就等于点到底板的距离， 未装入纸张时，点到底板的距离为． 故答案为：． 变式3-1．如图1，落地灯的支撑杆垂直放于地面，为可绕点上下旋转的支架，为长度不变的挂绳，为落地灯的灯罩，始终与地面平行．已知米，米，当时，与地面之间的距离为米．为了让光线更舒适，现调节，使得，如图2，求此时与地面的距离．（参考数据：，，，） 【答案】与地面之间的距离为米． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 在图1和图2中作于点B，延长交于点F，交于点E，在图1中根据的长和的正弦值求得的长，进而求得点C到地面的距离，减去到地面的距离即为的长度；在图2中根据的长和的正弦值求得的长，减去的长度即为的长度，加上的长度即为此时与地面的距离． 【详解】解：如图1∶作于点B，延长交于点F，交于点E，则， ∵， ∴， ∵米， ∴（米）， ∵米， ∴点C到地面的距离为米， ∵与地面之间的距离为米， ∴（米）， 如图2：作于点B，延长交于点F，交于点E，则， ∵， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴与地面之间的距离为（米）． 答：与地面之间的距离为米． 变式3-2 随着传统能源的日益紧缺，太阳能路灯的应用将会越来越广泛．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器（测量角的仪器）的高度为米，点在水平地面的同一直线上，在点处安置测倾器，测得电池板顶端点的仰角，在与点相距米的点处安置测倾器，测得灯罩顶端点的仰角，点为灯臂与路灯立柱的连接点（点与在一条直线上），，测得米． (1)求电池板顶端点离地面的高度； (2)求灯臂的长度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，构造直角三角形求解是解题的关键． （1）延长交于点，证明四边形，为矩形，利用特殊角证明等腰直角三角形，解答即可． （2）先解直角三角形，再证明，列比例式解答即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ， 四边形，为矩形， 米，， ， ， 米， 米， 米． 答：电池板顶端点离地面的高度为米． （2）解：四边形为矩形， 米， 在中， ， ， ， ， 米， ， ， ，即：， 米， 答：灯臂长约为米． 变式3-3 钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人．图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线，图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在处任意旋转，为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度，传统的钓伞在连接点处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中、为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． (1)如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． (2)根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． (3)在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过1米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到米，参考数据：） 【答案】(1)米； (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，构造适当辅助线得到直角三角形是解题的关键． （1）过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，则可得四边形为矩形，则有；在中，由勾股定理求得，则可求得的值，在中，利用正弦函数关系则可求得； （2）延长交于点，由平行线分线段成比例定理得G点是中点；及中，利用三角函数分别求出，分点N在点E右侧、点N在点E左侧、点N与点E重合三种情况，即可求解； （3）过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，利用解直角三角形知识分别求出，由，即可求得h的范围． 【详解】（1）解：当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H， ， ， 四边形为矩形，米， ， ， 由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得米， 则， 在中，， 解得米； （2）解：延长交于点， ， ，即， 中，，则， ， 在中，， ，则， 当点N在点E右侧时，， 则， 当点N在点E左侧时，， 则， 当点N与点E重合时，，即， 综上所述，； （3）解：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R， 当时，都为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 由题可知：， ， 当时，解得： ， 即． 一、填空题 1．如图，小明在大楼米高即米的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度即为，点，，，，在同一个平面上，点、、在同一条直线上，且丄则山坡坡角即的度数等于 度；、两点间的距离等于 结果精确到米，参考数据：． 【答案】 米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、坡度，根据山坡的坡度，利用正切即可求出的度数；根据俯角的度数可以求出，从而可知是等腰直角三角形，即，在直角三角形中求出的长度，即为、两点间的距离． 【详解】解： 山坡的坡度即为， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作， 由题意可知，，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 米， 米． 故答案为：米． 2．图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）． 【答案】 / 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数值的计算是关键．如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，可证四边形是矩形，，，在中，米，米，由勾股定理即可求出此支点O到小竹竿的距离出；如图所示，过点作于点，交于点，根据解直角三角形的计算得到米，由即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵米，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 即点到小竹竿的距离为米； 如图所示，过点作于点，交于点， 由（1）可得，米，米，， ∴， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， ∴水桶水平移动的距离米． 故答案为：， 3．新石器时代的河姆渡人为使房子与地面隔离而达到有效的防潮，建造了如图①所示的干栏式房屋，图②为其正面简易图，若米，在点处测得房檐处的俯角为，距离为米，则房屋的高度约为 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，米，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为F， 由题意得：米，米，， ∴， 在中，（米）， ∴（米）， ∴房屋的高度约为3.54米， 故答案为：3.54． 二、解答题 4．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．延长交延长线于D点，作于M，求出（米），（米），在中，，（米），（米），即可得到． 【详解】解：延长交延长线于D点，作于M， 在中，，， ∴（米），（米）， 在中， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 在中，（米）． 5．我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1)入射角约为； (2)光斑移动的距离为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【详解】（1）如图，设法线为，则，   ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2） ，， ， ， 作，   ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 6．综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） (1)求的度数； (2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定和性质，一元一次不等式的应用等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作交与点D，则，由邻补角的定义得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． （2）根据题意可得出，解不等式即可求解． （3）过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，通过解和，分别求出和，然后相减即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作交与点D， 则， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴支架能承受的最大力F为， 则， 解得：， 则小桌板能放置物体的最大质量为． （3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 7．如图，某数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度约 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用．延长交直线于点C，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可得解． 【详解】解：延长交直线于点C，如图， ∵， ∴, ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故教学楼的高度约． 8．举高灭火机器人是一种可代替消防救援人员进入危险区域进行灭火作业的特种机器人．如图1是一款举高灭火机器人的实物图，图2是其工作示意图，机器人底座可看作矩形，，伸缩臂，点和点在同一铅垂线上（即），，伸缩臂的最大长度为，图中的点均在同一竖直平面内，．当伸缩臂达到最大长度时，求举高灭火机器人的最高点到地面的距离．（参考数据：，，） 【答案】举高灭火器机器人的最高点到地面的距离约为 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可得，，结合平行线的性质和三角函数可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如解图，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴举高灭火器机器人的最高点到地面的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质和三角形内角和，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．如图是贵阳花果园双子塔，是贵阳国际贸易中心的座和座，是贵州省第一高楼，也是全国已建成的最高双子塔．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的小星同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图，小星在小区门口点处测得其中一个塔的顶部的仰角为，然后在自家阳台上的点处测得顶部的仰角为，若小星家的阳台到地面的距离为，点到点的水平距离为，且、、三点共线，求的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】的高度约为 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 的高度约为． 10．汝南县古称汝宁，城墙始建于明代，主要用于防御北城门（如图①）是古城墙的北人口，曾是进出县城的主要通道之一．城门建筑风格古朴，体现了明代的建筑特色．某数学兴趣小组想要用无人机测量汝南北城门的高度（垂直于水平地面），测量方案如图②所示，先将无人机垂直上升至距水平地面25m高的点处，在此处测得汝南北城门顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向向汝南北城门飞行m到达点，此时测得妆南北城门底端的俯角为，若在同一平面内，求汝南北城门的高度．（结果精确到m参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握相关知识点，能构造直角三角形求解是解题的关键； 延长交延长线于C，先证明，然后在中，利用求出的长，再求的长即可． 【详解】如图，延长交延长线于C， 由题知，，，，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 答：汝南北城门的高度约为． 11．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形环湖步道，如图，经勘测，点B在点A的南偏东方向，点C在点A的正东方，点D在点A的北偏东方向，点B在点C的南偏西方向，点D在点C的正北600米处．（参考数据：，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)小红与小方约定星期六早晨去锻炼，小红以每分钟120米的速度沿的路线快跑到点C，同时小方以每分钟75米的速度沿的路线慢跑去点C，请你通过计算判断小红和小方谁先到达点C？（时间精确到0.1）． 【答案】(1)米 (2)小红先到达点 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，在中，求出， 在中， 求出，再利用是等腰直角三角形，得到的长，即可得到结果； （2）分别求出小红和小方两人的总路程，再结合两人的速度，得到所用的时间，即可得到结果． 【详解】（1）解：过点作于点， 根据题意， ， ， ∵在 中，米， ，(米) ， ∵在中， ， ， 米) ， (米)， ∵在中， ， ， ∴米， (米)， 答：的长为米； （2）解；小红先到达点，理由如下： 由（1）知在中， 米， (米) ， ∴小红路线的路程为(米)， ∵小红的速度为每分钟米， ∴小红所需时间为(分钟)， ∵在中，米，， ∴(米)， 小方的路线路程为(米)， 小方的速度为每分钟米， ∴小方所需时间为(分钟)， ∵， ∴小红先到达点． 12．【问题背景】 陕西信息大厦是古城西安的地标性建筑之一，位于西安市碑林区西安市文化科技体育中心．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量陕西信息大厦的高度． 【解决问题】 张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角，然后沿移动96米到达D处（即米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角．已知，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求陕西信息大厦的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，灵活运用解直角三角形进行计算是解题的关键． 根据垂直定义可得，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：， ， ∴和均为直角三角形． 设米，则米， ，， ，． ∴，解得：， ∴ ， 陕西信息大厦的高度AB为米． 13．2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟．小明看到这则新闻特别开心，小明家在地，奶奶家在地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示． 若已知，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算： （参考数据：，结果精确到个位） (1)大桥建成以后两地直接通行的距离； (2)求大桥建成发后与之前的路线相比，从地到地的路程将缩短约多少公里． 【答案】(1)205公里 (2)51公里 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用； （1）过点作于点，如图所示，则，求解，，，从而可得答案； （2）在中，求解，再利用线段的和差可得答案. 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示，则， ∵， ∴在中， ， ， ∵， ∴在中，， ∴； 答：两地直接通行的距离约为205公里． （2）解：∵，， ∴在中，， ∴， 答：大桥建成以后，从地到地的路程将缩短约51公里． 14．暮色初临，饥肠辘辘的小江在手机上点了晚餐订单．如图所示，小江家位于点A处，此时，外卖员小津正在位于点A处南偏东方向的饭店D处取餐，取餐后即刻前往A地送餐．然而，连接A与D的道路因施工被封锁，小津面临两条截然不同的送餐路线：和．已知，点B在点D的正西方，且处于点A的正南方，米；点C位于点D的正东方，且处于点A的东南方．（参考数据：，） (1)求C、D两地的距离；（结果保留根号） (2)如果外卖员小津的速度为5米/秒，请你帮小津算一算，哪条路最快到达目的地？（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)最快到达目的地 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． （1）解，得到(米)，在中，根据等腰三角形的判定得到(米)，然后由求解； （2）解，得米，又因为米，从而求出送餐路线：的距离为(米)，送餐路线：的距离为(米)，根据速度一样，比较两种路线的长度即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，，， ∴在中，(米)， 在中， ∴， ∴(米)， ∴ (米)， 答：C、D两地的距离为米． （2）解：在中，∵(米) ∴(米) ∵(米) ∴送餐路线：的距离为(米)， 送餐路线：的距离为(米)， ∵外卖员小津的速度为5米/秒，， ∴最快到达目的地． 15．如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$