3.1.3函数的奇偶性课时练习-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.3.1函数的奇偶性 一、选择题 1．已知f (x)是奇函数，且f (a)＝－2，则f (－a)＝(　　) A．－2 B．2　　　 C．±2 D．0 2．下面为偶函数的是(　　) A．f (x)＝x2(x≥0) B．f (x)＝(x－1) C．f (x)＝0 D．f (x)＝|x|(x≤0) 3．设f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，则f (a＋b)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 4．下列函数为奇函数的是(　　) A．f (x)＝－|x| B．f (x)＝2－x C．f (x)＝ D．f (x)＝－x2＋8 5．已知f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f (1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 6．已知f (x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝(　　) A．21 B．－21 C．26 D．－26 7．(多选)勒热纳狄利克雷是德国著名的数学家，曾受业于高斯，他是解析数论的奠基者，也是现代函数概念的提出者，在数学、物理等诸多领域成就显著．以他名字命名的狄利克雷函数的解析式为D(x)＝下面关于函数D(x)的论断中不正确的是(　　) A．函数D(x)是奇函数 B．函数D(D(x))是偶函数 C．∀x，y∈R，D(x＋y)＝D(x)＋D(y) D．∃x∈R，D(D(x))＝0 二、填空题 8．若函数f (x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是_______． 9．设f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝x2＋1，则f (－2)＋f (0)＝________． 10．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f (3)＝0，则xf (x)<0的解集为________． 11．已知定义在非零实数上的奇函数f (x)，满足f (x)＋2f＝3x，则f (1)等于________． 12．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝2x－c，则c＝________，f (－2)＝________． 三、解答题 13．已知函数f (x)＝x2－2|x|－3． (1)求证：函数f (x)是偶函数； (2)画出函数f (x)的图象，并由图象直接写出函数f (x)的值域． 14．已知函数f (x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R，a为实数，判断f (x)的奇偶性． 15．已知函数y＝f (x)，x∈R，且当x≥0时，f (x)＝2x3＋2x－1． (1)若函数y＝f (x)是偶函数，求f (－2)． (2)y＝f (x)是否可能是奇函数？若可能，求f (x)的表达式；若不可能，说明理由． 答案解析 1．B　[f (－a)＝－f (a)＝2．] 2．C　[对于选项A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数； 又选项B中f (－1)＝0，而f (1)无意义，故选项B也是非奇非偶函数； 对于选项C，无论x取何值都满足f (－x)＝f (x)＝0．] 3．B　[因为f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数， 所以解得 所以f (x)＝－x3＋x，a＋b＝1， 则f (a＋b)＝f (1)＝－1＋1＝0．故选B．] 4．C　[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C．] 5．C　[∵f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1， ∴f (－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1． 又f (x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f (x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1， ∴f (1)＋g(1)＝1．] 6．B　[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f (－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13．又g(x)为奇函数， 所以g(3)＝－g(－3)＝－13， 于是f (3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．故选B．] 7．ACD　[A：函数D(x)的定义域为R，关于原点对称，若x为有理数，则－x也为有理数，有D(x)＝D(－x)＝1；若x为无理数，则－x也为无理数，有D(x)＝D(－x)＝0，所以函数D(x)是R上的偶函数，故A错误； B：当x为有理数时，D(x)＝1，则D(D(x))＝D(1)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，则D(D(x))＝D(0)＝1，所以当∀x∈R，均有D(D(x))＝1，则函数D(D(x))为偶函数，故B正确； C：当x＝y＝1时，D(x＋y)＝D(2)＝1，D(x)＝D(y)＝D(1)＝1，D(x)＋D(y)＝2，则D(x＋y)≠D(x)＋D(y)，故C错误； D：由选项B的分析可知，当∀x∈R，均有D(D(x))＝1，故D错误．故选ACD．] 8．2　[∵f (x)为偶函数，故m－2＝0， ∴m＝2．] 9．－5　[由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5，f (0)＝0， ∴f (－2)＋f (0)＝－5．] 10．{x|x<－3或x>3}　[如图，由题意可画出函数f (x)的函数图象． 当x>0，f (x)<0时，x>3； 当x<0，f (x)>0时，x<－3． 综上，x>3或x<－3．] 11．－3　[因为f (x)＋2f＝3x， 所以f (1)＋2f (－1)＝3， 因为f (x)为定义在非零实数上的奇函数， 所以－f (1)＝f (－1)， 即f (1)－2f (1)＝3， 所以f (1)＝－3．] 12．1　－3　[函数f (x)是定义在R上的奇函数， 且x≥0时，f (x)＝2x－c， 所以f (0)＝1－c＝0，所以c＝1，又当x≥0时，f (x)＝2x－1，所以f (2)＝3，又由函数f (x)为奇函数，则f (－2)＝－f (2)＝－3．] 13．解：　(1)证明：因为f (x)＝x2－2|x|－3， 所以f (－x)＝(－x)2－2|－x|－3＝x2－2|x|－3＝f (x)， 所以f (－x)＝f (x)， 所以f (x)是偶函数． (2)f (x)的图象如下： 所以f (x)的值域为[－4，＋∞)． 14．解：　当a＝0时，f (x)＝x2＋|x|＋1， 此时f (－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f (x)，故函数f (x)为偶函数． 当a≠0时，因为f (a)＝a2＋1，f (－a)＝a2＋2|a|＋1， 显然，f (－a)≠±f (a)，所以此函数既不是奇函数也不是偶函数． 综上，当a＝0时，f (x)为偶函数；当a≠0时，f (x)既不是奇函数也不是偶函数． 15．解：　(1)若y＝f (x)是偶函数， 应有f (－2)＝f (2)．而f (2)＝2×23＋22－1＝19， 因此f (－2)＝19． (2)若y＝f (x)是奇函数，当x<0时，应有 f (x)＝－f (－x)＝－[2(－x)3＋2－x－1]＝2x3－2－x＋1． 此外，当x＝0时， f (x)＝2×03＋20－1＝0＝－f (－x)． 因此，y＝f (x)可能是奇函数，此时 f (x)＝ 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $$