1 1.2集合的基本关系课时练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章　§1　1.2 集合的基本关系 一、选择题 1．下列关系式正确的是( ) A．∈Q B．{2}＝{x|x2＝4} C．{a，b}＝{b，a} D．∅∈{2 024} 2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( ) A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2 C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3 3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( ) A．M ⫋ N B．N ⫋ M C．M＝N D．M，N的关系不确定 4．集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}，则集合A的非空子集的个数为( ) A．4 B．8 C．7 D．6 5．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则a的取值范围是( ) A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2} 6．已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|x－5<0}，则P与Q的关系为( ) A．P ⫋ Q B．Q ⫋ P C．P＝Q D．不确定 7．已知集合A＝{x|1<x<2 024}，B＝{x|x≤a}，若AB，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a≥2 024} B．{a|a>2 024} C．{a|a≥1} D．{a|a>1} 8．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( 　 ) A．1∈A B．B⊆A C．(1,1)∈B D．∅∈A 9．(多选题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( 　 ) A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集 B．若S为封闭集，则一定有0∈S C．封闭集一定是无限集 D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集 二、填空题 10．下列命题： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅. 其中正确的是 　. 11．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为 　. 12．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B⊆A，则实数m＝ 　. 13．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是 　. 14．已知集合M＝{x|ax2＋2x－1＝0}，若M有两个子集，则a的值是___. 三、解答题 15．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求m的值． 16．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系． 17．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值． 18．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由． . 第一章　§1　1.2 集合的基本关系 一、选择题 1．下列关系式正确的是( ) A．∈Q B．{2}＝{x|x2＝4} C．{a，b}＝{b，a} D．∅∈{2 024} [解析]　是无理数，A不正确；{x|x2＝4}＝{－2,2}，B不正确；由集合元素的性质知，C正确；集合{2 024}与∅的关系是包含与被包含关系，不是属于与不属于关系，D不正确．故选C. 2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( ) A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2 C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3 [解析]　由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴∴故选A. 3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( ) A．M⫋N B．N ⫋M C．M＝N D．M，N的关系不确定 [解析]　由题意，得N＝{0,1}，故N ⫋M.故选B. 4．集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}，则集合A的非空子集的个数为( ) A．4 B．8 C．7 D．6 [解析]　集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}＝{0,1,2}，共有23＝8个子集，其中非空子集有7个．故选C. 5．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则a的取值范围是( ) A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2} [解析]　∵A⊆B，∴a≥2，故选D. 6．已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|x－5<0}，则P与Q的关系为( ) A．P ⫋ Q B．Q ⫋ P C．P＝Q D．不确定 [解析]　∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}， ∴利用数轴判断P、Q的关系． 如图所示， 由图可知，PQ.故选A. 7．已知集合A＝{x|1<x<2 024}，B＝{x|x≤a}，若AB，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a≥2 024} B．{a|a>2 024} C．{a|a≥1} D．{a|a>1} [解析]　∵AB，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示． 由图可知，a≥2 024.故选A. 8．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( 　 ) A．1∈A B．B⊆A C．(1,1)∈B D．∅∈A [解析]　B＝＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y＝x上，故选BC. 9．(多选题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( 　 ) A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集 B．若S为封闭集，则一定有0∈S C．封闭集一定是无限集 D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集 [解析]　A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S.同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0}⊆T＝{0,1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB.故选AB. 二、填空题 10．下列命题： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅. 其中正确的是 ④　. [解析]　∅不是其自身的真子集，所以④正确． 11．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为 M＝P　. [解析]　∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P. 12．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B⊆A，则实数m＝ 3　. [解析]　∵B⊆A，∴m2＝6m－9，∴m＝3. 13．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是 {(1,2)}，{(－3,4)}　. [解析]　集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}． 14．已知集合M＝{x|ax2＋2x－1＝0}，若M有两个子集，则a的值是_0或－1__. [解析]　因为M有两个子集，所以方程ax2＋2x－1＝0只有一个解或两个相等的解．当a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0只有一个解x＝，符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋2x－1＝0有两个相等的解，则Δ＝0，即Δ＝4＋4a＝0，解得a＝－1. 三、解答题 15．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求m的值． [解析]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}． ∵BA，∴当B＝∅时，m＝0符合题意； 当B≠∅时，方程mx＋1＝0的解为x＝－，则－＝－3或2，∴m＝或－. 综上可知，m的值为0或或－. 16．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系． [解析]　E＝{x|＝0}＝{0}． 下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论． 由方程x2－(a－1)x＝0得x＝0或x＝a－1. ①当a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F. ②当a≠1时，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，EF. 综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF. 17．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值． [解析]　由题意得①或② 解①，得或 经检验不合题意，舍去，符合题意． 解②，得经检验不合题意，舍去， 综上得 18．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由． [解析]　(1)当P＝∅时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m<0，所以m>. (2)当P≠∅时，易得Q＝{－1，－4,1}． ①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，易得P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集； ②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，易得P＝{－4,7}，不是集合Q的一个子集； ③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，易得P＝{1,2}，不是集合Q的一个子集． 综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$