精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区盘锦市第一完全中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

盘锦市第一完全中学2024-2025学年度第一学期九年级 第三次质量检测数学试卷 试卷满分：120分答题时间：120分钟 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 2. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 某校在学校科技节宣传活动中，科技活动小组将着重介绍2023年度十大科技新词，将其中4个标有“百模大战”，3个标有“墨子巡天”，2个标有“数智生活”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（　　） A. 摸出“百模大战”小球的可能性最大 B. 摸出“墨子巡天”小球的可能性最大 C. 摸出“数智生活”小球的可能性最大 D. 摸出三种小球的可能性相同 4. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（   ） A.                                         B.                                         C.                                         D. 5. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为(　　) A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线为（） A. B. C. D. 8. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交边于点E，再以A为圆心，长为半径画弧，交边于点F，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（） A. 1 B. C. 2 D. 10. 在平面直角坐标系中，已知点A（－2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2－2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A. ＜a≤或a≥1 B. a≥或a＜ C. ≤a≤1且a≠0 D. a≤或a≥1 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为_________． 12. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是____________________． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴负半轴上，直线交y轴于点C，若，的面积为6，则k的值为___________． 14. 某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，其销售量相应增加2件．当降价___________元时，该服装店的销售利润最大． 15. 如图，在和中，，，，，，与所在的直线相交于点F，将绕点C在平面内旋转，当点F与点D重合时，线段的长为______． 三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以探究“购买、销售葡萄的方法”为主题，展开学习．某超市准备从A市场和B市场购买葡萄． A市场的优惠方式：葡萄的售价为18元/千克，无论购买多少千克均不打折． B市场的优惠方式：葡萄的售价为20元/千克，若一次购买5千克以上，超过5千克的部分打折销售． 在B市场购买葡萄的部分小票统计如下．（精确到1千克） 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 … 付款金额/元 20 40 60 80 100 118 136 154 … （1）若该超市在B市场一次购买5千克以上的葡萄，超过5千克的部分打几折？ （2）当超市需要购买20千克葡萄时，请通过计算说明，选择哪个市场比较划算？ （3）该超市决定从A市场购进葡萄，如果超市以28元/千克销售，平均每天可以售出100千克，为了尽快减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量会增加10千克．问该超市降价多少元时，每天的销售利润为840元？ 18. 在辽宁省中招改革方案中，将劳动教育纳入中考考试科目，某校为了了解学生劳动教育课程的学习情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用x表示，分为四个等级，其中D等级为优秀，；；；．），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在C等级的全部数据为： 82、81、83、84、84、81、86、88、87、89． 抽取的八年级学生成绩在B、C等级的全部数据为： 76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78.9 a 79 八年级 78.9 85 85 请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）直接写出a的值，并求扇形统计图中等级“B”对应扇形的圆心角的度数； （2）若该校七、八年级一共有600名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ （3）若七、八年级各有两名同学测试成绩为满分，学校准备从这四名满分同学中随机抽取两名同学代表学校参加区里劳动能力比赛，请用画树状图或列表的方法求出所抽中的两名同学恰好为同一年级的概率． 19. 邓州杏山地质公园位于河南省邓州市西南约50公里处，紧邻丹江口水库南水北调渠首，面积32.5平方公里．公园地质景观及自然景观为原始状态，是一座集岩溶地貌、典型底层剖面和地质构造为主，水体为辅、人文和生态相互辉映的综合性公园（如图1）．双休日期间，小明携带测量工具随妈妈到杏山地质公园游览，为测量杏山主峰的高度，如图2，小明在坡角为的斜坡C处测得峰顶A的仰角为，沿斜坡CD走到平坦地面上点D处，测得峰顶A的仰角为． （1）求主峰到地面的高度AB（结果保留整数，参考数据） （2）妈妈借助手机某项功能得到杏山主峰海拔为，所测水平地面的海拔为，请你算出小明测量主峰高度的误差，并帮助他提一条减小误差的方法． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是直线上方的抛物线上一点（点P不与点B，C重合），过点P作轴交直线于点D，求线段长的最大值． 21. 如图，是的直径，C，D是上两点，，过C作交的延长线于E． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 22. 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． （1）如图1，若四边形是正方形， ①求证：； ②当G是中点时，________________度； （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________． 23. 已知函数，记该函数图像为G． （1）当时， ①已知在该函数图像上，求n的值； ②当时，求函数G的最大值； （2）当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若时，求m的值； （3）当时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B作交直线与点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘锦市第一完全中学2024-2025学年度第一学期九年级 第三次质量检测数学试卷 试卷满分：120分答题时间：120分钟 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，正确判别视图是解题的关键，确定出三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同， 故选A． 2. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入一元一次方程得，然后解一次方程即可．解题的关键是理解和掌握：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：． 故选：D． 3. 某校在学校科技节宣传活动中，科技活动小组将着重介绍2023年度十大科技新词，将其中4个标有“百模大战”，3个标有“墨子巡天”，2个标有“数智生活”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（　　） A. 摸出“百模大战”小球的可能性最大 B. 摸出“墨子巡天”小球的可能性最大 C. 摸出“数智生活”小球的可能性最大 D. 摸出三种小球的可能性相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断事件发生可能性的大小，掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式计算摸出三种小球的概率，即可得出答案． 【详解】解：∵九个小球中4个标有“百模大战”，3个标有“墨子巡天”，2个标有“数智生活”， ∴P（摸出“百模大战”小球）； P（摸出“墨子巡天”小球）； P（摸出“数智生活”小球）， ∵， ∴摸出“百模大战”小球的可能性最大． 故选：A． 4. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（   ） A.                                         B.                                         C.                                         D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】 解：连接BC， 由题意可得：OB=OC=BC， 则△OBC是等边三角形， 故sin∠AOC=sin60°=． 故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键． 5. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象的平移规则． 根据函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”，求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线为：． 故选：C． 8. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选C 9. 如图，在矩形中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交边于点E，再以A为圆心，长为半径画弧，交边于点F，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的定义、矩形的性质、圆锥的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图可知，为的平分线，结合矩形的性质可得，则，再利用勾股定理求出的长，利用弧长公式求出的长，可知的长即为该圆锥底面的周长，根据圆周长公式可得答案． 【详解】解：由作图可知，为的平分线， ∵四边形为矩形， 由勾股定理得，， 设该圆锥底面半径为， 则， 解得， ∴该圆锥底面半径为1． 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，已知点A（－2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2－2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A. ＜a≤或a≥1 B. a≥或a＜ C. ≤a≤1且a≠0 D. a≤或a≥1 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当时，，求出的取值范围；当时，求出直线的解析式，联立方程组，由判别式△和函数经过点结合求出的取值范围． 【详解】解：当时，时，时，， ，解得， 当时，设直线的解析式为， ， ， ， 联立方程组， ， △， ， ， 当时，， ，此时抛物线与线段有两个不同的交点， ， 综上所述：或时，抛物线与线段有两个不同的交点， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，过点作轴于点，证明，推出，，可得结论．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：过点作轴于点， ∵，， ∴，， 由旋转可知： ，，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：，，共2种， ∴所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为 ． 故答案为：． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴负半轴上，直线交y轴于点C，若，的面积为6，则k的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积．根据三角形的面积公式可得，进而求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 14. 某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，其销售量相应增加2件．当降价___________元时，该服装店的销售利润最大． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设降价元，总利润为元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设降价元，总利润为元，由题意，得： ， 整理，得：， ∴当时，的值最大； 故答案为：15． 15. 如图，在和中，，，，，，与所在的直线相交于点F，将绕点C在平面内旋转，当点F与点D重合时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】如图1，证明，得，得出，，由勾股定理求出的长，设，则，，由勾股定理列方程，求得，从而可求出的长；如图2，同理可得结论． 【详解】如图1， 在和中， ，，， ． 又， ， ． ，． ， ， 在中，， ， 在中，， ∴． ， 设，则，． 在中，， ． 解得，（舍）． ； 如图2， 在和中，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 同理，， 设，，则， 在中，， ， 解得，（舍）， ． 综上所述，的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查三角函数的计算、相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，利用分类讨论的思想是解题的关键． 三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）0 【解析】 【分析】（1）用配方法求解即可； （2）先根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的意义和特殊角的函数值化简，再算加减． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【点睛】本题考查了解一元二次方程，算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的意义和特殊角的函数值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 17. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以探究“购买、销售葡萄的方法”为主题，展开学习．某超市准备从A市场和B市场购买葡萄． A市场的优惠方式：葡萄的售价为18元/千克，无论购买多少千克均不打折． B市场的优惠方式：葡萄的售价为20元/千克，若一次购买5千克以上，超过5千克的部分打折销售． 在B市场购买葡萄的部分小票统计如下．（精确到1千克） 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 … 付款金额/元 20 40 60 80 100 118 136 154 … （1）若该超市在B市场一次购买5千克以上的葡萄，超过5千克的部分打几折？ （2）当超市需要购买20千克葡萄时，请通过计算说明，选择哪个市场比较划算？ （3）该超市决定从A市场购进葡萄，如果超市以28元/千克销售，平均每天可以售出100千克，为了尽快减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量会增加10千克．问该超市降价多少元时，每天的销售利润为840元？ 【答案】（1）超过5千克的部分打9折 （2）选择在A市场购买比较划算 （3）该超市降价4元时，每天的销售利润为840元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设超过5千克的部分打x折，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）根据题意及（1）可直接进行计算即可； （3）设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元，由题意可得方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：设超过5千克的部分打x折，由题意得： ， 解得：， 答：超过5千克的部分打9折． 【小问2详解】 解：由题意得： 在A市场所需费用为（元）； 在B市场所需费用为（元）； 答：选择在A市场购买比较划算． 【小问3详解】 解：设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元；由题意可得： ， 解得：（舍去）； 答：该超市降价4元时，每天的销售利润为840元． 18. 在辽宁省中招改革方案中，将劳动教育纳入中考考试科目，某校为了了解学生劳动教育课程的学习情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用x表示，分为四个等级，其中D等级为优秀，；；；．），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在C等级的全部数据为： 82、81、83、84、84、81、86、88、87、89． 抽取的八年级学生成绩在B、C等级的全部数据为： 76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78.9 a 79 八年级 78.9 85 85 请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）直接写出a的值，并求扇形统计图中等级“B”对应扇形的圆心角的度数； （2）若该校七、八年级一共有600名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ （3）若七、八年级各有两名同学测试成绩为满分，学校准备从这四名满分同学中随机抽取两名同学代表学校参加区里劳动能力比赛，请用画树状图或列表的方法求出所抽中的两名同学恰好为同一年级的概率． 【答案】（1）， （2）132名 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位线、用样本估计总体，用画树状图或列表的方法求概率，解题的关键是数形结合，画出树状图； （1）根据中位线定义进行求解，用扇形统计图中等级“B”的百分比乘即可得出答案； （2）用样本估计总体即可； （3）先画出树状图，再求概率． 【小问1详解】 解：∵七年级25名学生的测试成绩中排在第13位的是82分， ∴， 八年级25名学生中，等级为“B”的有5名学生， ， 答：扇形统计图中等级“B”对应扇形的圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：七年级25名学生中有5名学生优秀， 八年级25名学生中优秀学生人数为：（人）， （名）， 答：估计该校七、八年级大约共有132名学生劳动能力达到优秀； 【小问3详解】 解：根据题意，可以画出如下的树状图： ∵由树状图可以看出，所有可能出现的结果共12种，这些结果出现的可能性相等，两人为同一年级的有4种， P（两人为同一年级）． 19. 邓州杏山地质公园位于河南省邓州市西南约50公里处，紧邻丹江口水库南水北调渠首，面积32.5平方公里．公园地质景观及自然景观为原始状态，是一座集岩溶地貌、典型底层剖面和地质构造为主，水体为辅、人文和生态相互辉映的综合性公园（如图1）．双休日期间，小明携带测量工具随妈妈到杏山地质公园游览，为测量杏山主峰的高度，如图2，小明在坡角为的斜坡C处测得峰顶A的仰角为，沿斜坡CD走到平坦地面上点D处，测得峰顶A的仰角为． （1）求主峰到地面的高度AB（结果保留整数，参考数据） （2）妈妈借助手机某项功能得到杏山主峰海拔为，所测水平地面的海拔为，请你算出小明测量主峰高度的误差，并帮助他提一条减小误差的方法． 【答案】（1）主峰到地面高度AB约为；（2）误差：2m，见解析． 【解析】 【分析】（1）过点C作于点F，作于点G，设AB为x，然后在中运用三角函数求得CG、DG,再用x表示出BD、AB、AF、CF,最后根据三角函数列方程求出x即可； （2）用杏山主峰海拔减去主峰高度和水平地面的海拔即可求出误差，减小误差的主要方法为多次测量求平均值． 【详解】解：（1）过点C作于点F，作于点G， 设AB为x，在中，BF= 在中， 在中,CF=BG=DG+BD=+x，AF=AB-BF=x-40 ， 即， 解得：． 答：主峰到地面高度AB约为m； （2）误差：（m） 减小误差，合理即可：如多次测量，取测量数据的平均值． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，灵活应用三角函数以及理解海拔的概念成为解答本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是直线上方的抛物线上一点（点P不与点B，C重合），过点P作轴交直线于点D，求线段长的最大值． 【答案】（1） （2）当时，有最大值为4 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将的长转化为二次函数求最值即可． 正确的求出函数解析式，掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，当时，， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得：， ∴直线BC的表达式为； 设点P的坐标为，则点D的坐标为， 则． ∵， ∴当时，有最大值为4． 21. 如图，是的直径，C，D是上两点，，过C作交的延长线于E． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ． ， ， ． 交延长线于E， ， ， ． ， 为半径， 是的切线； （2）4． 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练运用切线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理求出，进而推出，根据平行线的性质求出，再根据切线的判定定理即可得解； （2）连接，解直角三角形求出，根据直角三角形的性质求出，解直角三角形求出，再根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 （2）如图，连接， 为的直径， ， ， ． ． 的半径为，， 在中，， ， ． ， ， ． 又， ， ． 在中，， ， ， ． ，， ． 又，， ， , ， ． 22. 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． （1）如图1，若四边形是正方形， ①求证：； ②当G是中点时，________________度； （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________． 【答案】（1） ①证明：∵正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ②67.5 （2） （3）或或2 【解析】 【分析】（1）①正方形的性质结合即可得证；②连接，先证明垂直平分，进而得到，利用等边对等角进行求解即可； （2）取的中点，连接，三角形的中位线，得到，设，证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点为直角顶点和点为直角顶点，两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 取的中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验：是原方程的解， ∴； 【小问3详解】 ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点为直角顶点时，如图： 设， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：或； 经检验或是原方程的解， ∴或； 当点为直角顶点时，如图：过点作， 则：，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上： 或或． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 23. 已知函数，记该函数图像为G． （1）当时， ①已知在该函数图像上，求n的值； ②当时，求函数G的最大值； （2）当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若时，求m的值； （3）当时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B作交直线与点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，求m的值． 【答案】（1）①，②函数G的最大值为；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，①把点代入求解即可；②根据二次函数的性质可进行求解； （2）由题意可得如图所示，然后可得，是等腰直角三角形，则有，进而代入求解即可； （3）由题意可得如图所示，则有，然后可得，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，进而易证，然后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ①∵在该函数图像上， ∴； ②由题意得：当时，函数G的解析式为，当时，函数G的解析式为， ∵， 当时，则， ∴当时，函数G有最大值，即为； 当时，则有函数G的最大值为， ∵， ∴当时，函数G的最大值为； （2）由当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，可得点Q必定落在的函数图象上，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得：， ∵， ∴； （3）①当时，由题意可得如图所示，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D， ∴， 令y=0，则有，解得：， ∵， ∴， 由题意得：，四边形DOEC是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； ②当时，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示： ∴令y=0，则有，解得：， ∴， 同理可得， ∴，化简得：， 解得：（舍去）； 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $