精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年度下学期 初二数学期末试题202507 考生注意： 1．本科为闭卷考试，考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 3．请将答案填写在答题卡指定的位置． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式一定属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于正比例函数 ，下列结论不正确的是（ ） A. 点在函数 的图象上 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过原点 D. 图象经过第二、四象限 3. 据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ） A. 6，14 B. 22.5，14 C. 22.5，23 D. 22，23 4. 如图，已知点，将线段 向左平移三个单位长度，则线段 扫过的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 5. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中， ，， ，借助尺规在上确定一点P，则 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（ ） A. 20 B. 5 C. 4 D. 2 8. 如图，在中，， ，，是的中点， 是 上一点，连接、．将沿翻折，点 落在上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形 为正方形．为对角线上一点，连接，过点 作，交 的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分 ．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 12. 如图，四边形 是菱形，与相交于点 ，添加一个条件：_______，可使它成为正方形． 13. 如图，直线和直线相交于点，__________． 14. 如图，点 是矩形 的对角线的中点，是边的中点．若 ， ，则线段的长为_______． 15. 甲、乙、丙三名运动员最近几次射击成绩的平均数（单位：环）与方差（单位：环）如表所示．其中成绩好且发挥稳定的运动员是______． 甲 乙 丙 平均数 8.8 9.2 9.2 方差 1.6 1.6 2.4 16. 已知矩形 ，E为中点，F为线段 上一点，连接 、，若，，．则的长为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以 为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线l的垂线交 轴于点；以 为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交 轴于点；以 为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交 轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是________． 三、解答题（共69分） 18. 化简计算： （1） （2） 19. 如图，直线与 轴交于点，与 轴交于点 ，直线与 轴交于点，与直线交于点． （1）求的值； （2）请根据图象直接写出时， 的取值范围； （3）求 的面积． 20. 2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段 所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 21. 2025年，“人形机器人”“ ”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生的信息技术水平进行测试，现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析(得分用 表示，且得分为整数，共分为5组．组：， 组：， 组：，组：， 组： )下面给出了部分信息： 九年级被抽取的学生测试得分中 组的所有数据为： ， ，， ， ， ，， ． 八年级被抽取学生测试得分统计表 组别 分数/分 频数 九年级被抽取学生测试得分扇形统计图 平均数 众数 中位数 八年级 分 分 分 九年级 分 分 分 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______________，______________，______________； （2）在测试中等级为 及 以上说明学生对人工智能的关注与了解程度就达标．该校八、九年级共有学生 人，估计该校八、九年级中达标的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为该校八年级和九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度较好？请说明理由． 22. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）计算：； （3）若，求的值． 23. 如图，在中，，，点D为内一点，且 ，， ． （1）求 的长； （2）求图中阴影部分的面积． 24. 综合与实践： 折叠问题是初中数学中的一个几何题型．折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕所在的直线是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题． 问题情境： 如图1，在长方形纸片中，， ，，点P是线段上的动点，连接 ，是由 沿 翻折所得到的图形． （1）如图2，连接，当点Q落在上时，的长为__________． 深入探究： （2）如图3，点M是 的中点，连接．当点Q落在上时，求的长． 拓展应用： （3）如图4，点M是 的中点，连接 ，． ①的最小值为__________； ②当是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 25. 综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线 ．若，请直接写出m的值及直线 的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期 初二数学期末试题202507 考生注意： 1．本科为闭卷考试，考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 3．请将答案填写在答题卡指定的位置． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式一定属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 关于正比例函数 ，下列结论不正确的是（ ） A. 点在函数 的图象上 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过原点 D. 图象经过第二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，根据，可得y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限，据此可判断A、D，求出当时和当时的函数值即可判断B、C． 【详解】解：A、在 中，当时，，则点不在函数 的图象上，原说法错误，符合题意； B、在 中，，则y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、在 中，当时，，则原函数的图象经过原点，原说法正确，不符合题意； D、在 中，，则图象经过第二、四象限，原说法正确，不符合题意；   故选：A ． 3. 据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ） A. 6，14 B. 22.5，14 C. 22.5，23 D. 22，23 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现最多的数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】解：根据图表可知：23出现次数最多，则众数为23； 共有30双鞋， 中位数是地15、16个数的平均数， 中位数是． 故答案为：C． 4. 如图，已知点，将线段 向左平移三个单位长度，则线段 扫过的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据平移的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵点，将线段 向左平移三个单位长度， ∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形， ∴线段 扫过的面积为， 故选：B． 5. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据二次根式的性质进行化简判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、的被开方数为负数，故B错误；       C、，故C错误；        D、，故D正确；        故选：D． 6. 如图，在中， ，， ，借助尺规在上确定一点P，则 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 【详解】解：，， ，， 是直角三角形， 作于H， 由题意， 平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（ ） A. 20 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 8. 如图，在中，， ，，是的中点， 是 上一点，连接、．将沿翻折，点 落在上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设 ，则：， 在 中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 9. 将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 10. 如图，已知四边形 为正方形．为对角线上一点，连接，过点 作，交 的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分 ．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作于点H，于点L，由正方形的性质得，垂直平分，则，因为平分，所以，再推导出，进而证明，得，所以，可判断①正确；由四边形是矩形，，证明四边形是正方形，可判断②正确；再证明，得，可判断③正确；可证明，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点H，于点L，则， ∵四边形 是正方形， ∴，，垂直平分， ∵E为上一点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形，故②正确； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ，故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分 ， 故④正确． 故选：D． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识． 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，根据分式分母不为0，得出，即可得解． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为：且． 12. 如图，四边形 是菱形，与相交于点 ，添加一个条件：_______，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】解：∵四边形 是菱形，， ∴四边形 是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，直线和直线相交于点，__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，由直线和直线相交于点，则，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵直线和直线相交于点， ， ，则， 故答案为：1． 14. 如图，点 是矩形 的对角线的中点，是边的中点．若 ， ，则线段的长为_______． 【答案】 5 【解析】 【分析】先证明 是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由矩形的性质即可求出 的长． 【详解】解：四边形 是矩形， ， 是矩形 的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 15. 甲、乙、丙三名运动员最近几次射击成绩的平均数（单位：环）与方差（单位：环）如表所示．其中成绩好且发挥稳定的运动员是______． 甲 乙 丙 平均数 8.8 9.2 9.2 方差 1.6 1.6 2.4 【答案】乙 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：由表知乙、丙射击成绩的平均数相等，且大于甲的平均数， ∴从乙、丙中选择一人参加竞赛， ∵乙的方差较小， ∴乙发挥稳定， ∴选择乙参加比赛． 故答案为：乙． 16. 已知矩形 ，E为中点，F为线段 上一点，连接 、，若，，．则的长为________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据矩形的性质可得，再分两种情况：①当点靠近点时，②当点靠近点 时，过点作于点，利用勾股定理求出 的长，然后利用线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵矩形 中，，， ∴， ∵ 为中点， ∴． ①如图1，当点靠近点时，过点作于点， 则四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ②如图2，当点靠近点 时，过点作于点， 同理可得：， ∴， ∴， ∴ ； 综上，的长为2或4， 故答案为：2或4． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以 为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线l的垂线交 轴于点；以 为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交 轴于点；以 为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交 轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用、等腰直角三角形的判定与性质以及点的坐标规律问题，确定，……的变化规律是解题关键．过点作轴于点，依次求出的坐标，找出规律即可获得答案． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意，点的坐标为，以 为圆心，为半径画弧，交直线于点， ∴， ∵，……均在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得， 同理可得，， …… ∴，， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 三、解答题（共69分） 18. 化简计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，去绝对值，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的除法法则、乘法法则化简，再加减即可求解； （2）根据零指数幂的定义、去绝对值、负整数指数幂化简，再加减即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，直线与 轴交于点，与 轴交于点 ，直线与 轴交于点，与直线交于点． （1）求的值； （2）请根据图象直接写出时， 的取值范围； （3）求 的面积． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）将代入求解即可； （2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果； （3）根据题意确定，得出 ，结合图象根据求解即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， 根据图象得：当时，的图象在下方，即此时， ∴ 的取值范围是． 【小问3详解】 解：∵直线与 轴交于点，与 轴交于点 ， ∴当时，；当时， ； ∴， ∵， ∴ ， 由（1）得， ∴． 20. 2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段 所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】（1）小丽，小明 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：小丽的速度： 小明的速度：，， 【小问2详解】 解：（h），（h）， 设 线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得， 【小问3详解】 解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得 ， ， ， 解得，代入， ， 离山庄的路程为． 21. 2025年，“人形机器人”“ ”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生的信息技术水平进行测试，现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析(得分用 表示，且得分为整数，共分为5组．组：， 组：， 组：，组：， 组： )下面给出了部分信息： 九年级被抽取的学生测试得分中 组的所有数据为： ， ，， ， ， ，， ． 八年级被抽取学生测试得分统计表 组别 分数/分 频数 九年级被抽取学生测试得分扇形统计图 平均数 众数 中位数 八年级 分 分 分 九年级 分 分 分 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______________，______________，______________； （2）在测试中等级为 及 以上说明学生对人工智能的关注与了解程度就达标．该校八、九年级共有学生 人，估计该校八、九年级中达标的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为该校八年级和九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度较好？请说明理由． 【答案】（1）、 、 （2）估计该校八、九年级中达标的学生共有 人 （3）九年级学生对人工智能的关注与了解程度较好，理由： 由表知，九年级学生成绩的中位数大于八年级， 所以九年级学生成绩的高分人数多于八年级， 故九年级学生对人工智能的关注与了解程度较好． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图中获取信息，理解相关概念是解题的关键． （1）根据中位数、众数的概念求解即可； （2）总人数乘以样本中 级及以上人数所占比例即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解： ， 九年级 组人数为 % 人，组人数为 % 人， 组人数为 % 人， 九年级被抽取的学生测试得分中 组的所有数据为： ， ，， ， ， ，， ． ∴ ， 所以其成绩的第、个数据分别为 、， 故答案为：、 、 ； 【小问2详解】 人， 答：估计该校八、九年级中达标的学生共有 人； 【小问3详解】 略 22. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据题意可直接进行分母有理化； （2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可； （3）先分母有理化，可得，可得，然后再进行代值求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 23. 如图，在中，，，点D为内一点，且 ，， ． （1）求 的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求出 的长即可； （2）先根据勾股定理判断出是直角三角形，再根据解答即可． 【小问1详解】 解：，， ． ； 【小问2详解】 ，，，， 即， 是直角三角形，， ． 24. 综合与实践： 折叠问题是初中数学中的一个几何题型．折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕所在的直线是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题． 问题情境： 如图1，在长方形纸片中，， ，，点P是线段上的动点，连接 ，是由 沿 翻折所得到的图形． （1）如图2，连接，当点Q落在上时，的长为__________． 深入探究： （2）如图3，点M是 的中点，连接．当点Q落在上时，求的长． 拓展应用： （3）如图4，点M是 的中点，连接 ，． ①的最小值为__________； ②当是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②或4 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到 ，根据勾股定理得到，根据轴对称的性质得到，求得； （2）由点是的中点，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，求得，连接，根据勾股定理得到； （3）①通过，可得出 点的运动轨迹，是以点为圆心， 4 为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的 点为最短的长度； ②通过分类讨论，来求得对应的 的坐标即可． 【详解】解：（1）∵四边形 是矩形， ， ， ， ∵是由 沿 翻折所得到的图形， ， ， 故答案为：； （ 2 ）∵点是的中点， ， ， ， ∵是由 沿 翻折所得到的图形， ， ， 连接， ， ， ； （3）如图2， ①∵， ∴ 点的运动轨迹，是以为圆心， 4 为半径的圆弧， ∴的最小值在的连线上，如图，即为所求， ∵是中点，， ， ， 故答案为：； ②如图， 设，则， ， 当时，， ， ， ； 当时，如图，若点 在上， 则， ， ， ， ， ； 综上，的长为或 4 ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 25. 综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线 ．若，请直接写出m的值及直线 的函数解析式． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）的长的最小值为；（3），直线的函数解析式为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）求出，得，又，故是等腰直角三角形； （2）当时，的长最小，证明，得，再用勾股定理得，故的长的最小值为； （3）过 作交于 ，过 作轴，过 作于，过 作于，设，把代入得：，解得，知直线 解析式为 ，可得，证明，可得，故 ，可求得，再用待定系数法即得直线的函数解析式为． 【详解】（1）证明：在 中，令得，令得， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）解：当时，的长最小，如图： ， ， ， ， ， ， ． ∴的长的最小值为； （3）解：过 作交于 ，过 作轴，过 作于，过 作于，如图： 设， 把代入得：， 解得， ∴直线 解析式为 ， 在 中，令得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的函数解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $