精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下学期初二数学期末试题 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 2. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的概念，求解即可，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、是最简二次根式，故符合题意； C、由，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ） A. 5 B. 7 C. 3.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可． 【详解】解: ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵的平分线交边于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般． 4. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数（为常数且）和一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故A选项正确，C选项错误； 当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，B、D选项错误；． 故选：A． 5. 学校男子篮球队的12位队员的身高如下表： 身高（单位：cm） 176 178 180 181 人数 1 5 4 2 这12位队员身高的中位数是（ ） A. 176cm B. 178cm C. 179cm D. 180cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，理解中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解： ，第六，七位队员身高分别是178cm，180cm， 位队员身高的中位数是， 故选：C． 6. 如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设， ∴由折叠的性质可得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 7. 如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，，则菱形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 40 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的对角线互相垂直平分得到，则由勾股定理可得，进而得到，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线相交于点O，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出中边上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键． 【详解】解：设中边上的高为， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为， 故选：B． 9. 如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了函数图像的有关性质，理解题意明白自变量与因变量之间的关系是解题的关键． 分析铁块的运动轨迹，分为三段，完全在水里、一部分在水里、完全在水面三段，即可求解． 【详解】解：根据题意，在实验中有3个阶段， ①铁块在液面以下，液面的高度不变； ②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低； ③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变； 分析可得，B符合描述； 故选：B． 10. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则以下结论：①；②：③；④由点，，，构成的四边形是菱形，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，证明得到，，得到是的中位线，，进而得到，，即可判断①；由菱形的性质得，进而由得到即可判断②；由得，由得，即可得到，据此可判断③；连接，易得四边形是平行四边形，再证是等边三角形，得到，即可判定④；掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴，， ∴是的中位线，， ∴，， ∴，故①错误； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故⑧正确； 连接，如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 四边形是菱形，故④正确； ∴正确的结论为②③④，共有个， 故选：． 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧交于另一点，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作垂线，根据平行四边形的性质，推出，作图可知，三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由作图可知， ∴， ∴； 故答案为：20． 12. 有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简和运算是解题的关键． 先求出正方形的边长，即可求出剩余木板的面积． 【详解】解：由题意得两个正方形的边长为，， ∴剩余木板的面积为， 故答案为：15． 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数与一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式组的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，根据图象求得，的值，在代入不等式组即可求解，利用数形结合的数学思想是解题关键． 【详解】解：由图象可知正比例函数与一次函数交于点， 则将代入得，，即正比例函数为， 将代入得，，解得：，即一次函数为， 则解不等式组得，， ∴关于x的一元一次不等式组的解集是， 故答案为：． 14. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求方差，根据题意计算两组数据的方差，即可求解． 【详解】解：甲组：、、、、，平均数为 乙组：、、、、．平均数为 ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件：_____，使四边形为矩形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定； 根据已知可得四边形是平行四边形，然后添加可得四边形为矩形． 【详解】解：添加条件， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 故答案为：． 16. 在矩形中，，，为矩形一边的中点，的平分线交边于点，则的长为_____． 【答案】6或2或 【解析】 【分析】分点E在上，点E在上，点E在上，三种情况分类讨论，点E在上时，根据，平分，得到，根据，得到，推出，得到的长；当点E在上时，过点F作于点G，连接，根据，求出的长，根据，得到，证明，推出，根据，得到的长；当点E在上时，根据，得到的长，证明，推出，过点F作于点H，根据勾股定理，求的长． 【详解】解：在矩形中，，，∠， 设，则， 当点E在上时，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    当点E在上时，过点F作于点G，连接， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即；    当点E在上时， ∵点E是中点， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 综上，的长为6或2或．    故答案为：6或2或 【点睛】本题主要考查了矩形，线段中点，角平分线，全等三角形，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，线段中点的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，运用勾股定理计算． 17. 如图，已知直线L：交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线L上点，，，…在x轴的正半轴上，若，，，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字规律型、一次函数图象与性质、等腰直角三角形的性质，根据题意求得，根据等腰三角形的性质可得，即，从而求得，进而求得，，总结出规律，即可求解． 【详解】解：∵交y轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵若，，，…均为等腰直角三角形， ∴，， ⋯， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共69分） 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，先展开，再去括号合并同类项，化简后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 已知E，F分别是的边，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的周长等知识点，掌握相关定理是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，结合利用点、分别是、的中点得到，从而得证； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，从而利用平行四边形周长公式计算即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，． 点、分别是平行四边形的边、的中点， ，， ， 又，即， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ，，是的中点． ， 平行四边形的周长． 20. 如图，四边形中，，过点A作于点E，E恰好是的中点，若． （1）直接写出四边形的周长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据30度的角所对直角边是斜边的一半可得，结合E是的中点即可求解 （2）连接，由勾股定理逆定理可得是直角三角形，根据即可求解． 【小问1详解】 解： ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴ ∴四边形的周长： 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，， ∴ 21. 某校八年级全体同学参加了爱心捐款活动，该校随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图： （1）求出本次抽查的学生人数，并将条形统计图补充完整； （2）捐款金额的众数是___________元，中位数是_____________； （3）请估计全校八年级1000名学生，捐款20元的有多少人？ 【答案】（1）50人， 补全条形统计图图形如下： （2）10，12.5；（3）140人. 【解析】 【分析】（1）有题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数； （2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将50人的捐款总额除以总人数可得平均数，求出第25、26个数据的平均数可得数据的中位数； （3）由捐款20元的人数占总数的百分数，依据全校八年级1000名学生，即可得到结论． 【详解】解：（1）本次抽查的学生有：14÷28%=50（人）， 则捐款10元的有50-9-14-7-4=16（人）． （2）由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10元； 中位数是（元）， 故答案为：10，12.5； （3）1000×=140（人）， ∴全校八年级1000名学生，捐款20元的大约有140人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22. 在同一路线上，依次有、、三地，甲、乙两人分别从，两地去同一城市，他们离地的路程（千米）随时间（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1），两地的路程为__________千米： （2）求乙离地的路程（千米）关于时间（时）的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） （3）求甲、乙两人在途中相遇时距离地多少千米？ （4）直接写出甲出发多长时间在行驶途中与乙相距10千米． 【答案】（1）30 （2） （3）当甲、乙两人在途中相遇时距离B地的路程为45千米 （4）甲出发1时或2小时，两人相距10千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用待定系数法求出一次函数解析式． （1）根据函数图象中的数据可以解答本题； （2）根据图中数据，用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出甲离地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式，再联立方程组，解方程组即可； （4）依题意，两人相距10千米，进行分类讨论，列出方程计算即可． 【小问1详解】 解：依题意，两地的路程为30千米， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：设乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是， 则， 解得， ∴乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是把代入得：， 解得， ∴甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是， 联立方程组得， 解得， 则当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程为千米， ∴甲、乙两人在途中相遇时离B地的路程为千米； 【小问4详解】 解：根据题意得，两人相距10千米，进行分类讨论， 可列方程为： 或， 解得或； 综上，甲出发1时，2时，在行驶途中与乙相距10千米． 23. 综合与实践 如图（1）在中，，，是边的中点，点是边的中点，过点做于点，与点，连接，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）线段与的关系为____________； （3）将四边形绕点顺时针旋转， ①当四边形旋转到如图（2）所示的位置时，请写出线段与的关系，并证明： ②旋转过程中，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的长为________． 【答案】（1） 证明：∵，，是边的中点， ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵点是边的中点 ∴ ∴ ∴ ∴矩形是正方形； （2）垂直且相等 （3） ①，，证明如下： 如图所示，延长交于点M，交于点N ∵ ∴ ∴ 由（2）得，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 综上所述，线段与的关系为，； ②或 【解析】 【分析】（1）首先得到，然后结合，得到四边形是矩形，然后证明出，得到，进而得到矩形是正方形； （2）根据题意证明出，进而得到，，然后利用三角形内角和定理得到； （3）①首先得到，然后同（2）证明出，进而得到，，然后利用三角形内角和定理得到； ②根据题意分两种情况讨论，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，延长交于点H ∵， ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 综上所述，线段与的关系为垂直且相等； 【小问3详解】 ①略 ②如图所示，当四边形是平行四边形时， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴此时点D，E，C在同一条直线上 ∵，图（1）中点是边的中点 ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴在中，； 如图所示，当四边形是平行四边形时， ∴ ∵ ∴点D，G，C三点在同一条直线上 ∵ ∴点A，D，E三点在同一条直线上 ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的长为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点，都在线段上（，不与、重合，与不重合），且，以为边在轴下方作正方形，设，正方形的周长为． （1）求直线的函数解析式； （2）当时，正方形的面积为_______； （3）求与之间的函数关系式； （4）当直线将正方形的分成面积相等的两部分时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）16 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合及正方形的性质，熟练的求解函数解析式，利用正方形的性质表示线段的长度是解决问题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得正方形的边长，即可求得正方形的面积； （3）分当和时，两种情况讨论，用分别表示出的长，利用正方形的周长公式即可求解； （4）当时，用表示出，，根据题意列出方程，即可求解；当时，同理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，∴点， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：16； 【小问3详解】 解：当时，如图， ∵， ∴， ∴正方形的周长为； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； 综上，； 【小问4详解】 解：当时，设，分别与直线交于点，如图， ∵， ∴点，点， ∵直线的解析式为， ∴点，点， ∵正方形， ∴， ∴，， ∵，， 由题意得， 整理得即， 解得（舍去）或； 当时，设，分别与直线交于点，如图， 同理，求得， 综上，当直线将正方形的分成面积相等的两部分时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期初二数学期末试题 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ） A. 5 B. 7 C. 3.5 D. 3 4. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数（为常数且）和一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 学校男子篮球队的12位队员的身高如下表： 身高（单位：cm） 176 178 180 181 人数 1 5 4 2 这12位队员身高的中位数是（ ） A. 176cm B. 178cm C. 179cm D. 180cm 6. 如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，，则菱形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 40 D. 20 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则以下结论：①；②：③；④由点，，，构成的四边形是菱形，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11. 如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧交于另一点，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为___________． 12. 有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为______． 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数与一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式组的解集是_________． 14. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”） 15. 如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件：_____，使四边形为矩形． 16. 在矩形中，，，为矩形一边的中点，的平分线交边于点，则的长为_____． 17. 如图，已知直线L：交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线L上点，，，…在x轴的正半轴上，若，，，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则点的坐标为______． 三、解答题（共69分） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知E，F分别是的边，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的周长． 20. 如图，四边形中，，过点A作于点E，E恰好是的中点，若． （1）直接写出四边形的周长； （2）求四边形的面积． 21. 某校八年级全体同学参加了爱心捐款活动，该校随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图： （1）求出本次抽查的学生人数，并将条形统计图补充完整； （2）捐款金额的众数是___________元，中位数是_____________； （3）请估计全校八年级1000名学生，捐款20元的有多少人？ 22. 在同一路线上，依次有、、三地，甲、乙两人分别从，两地去同一城市，他们离地的路程（千米）随时间（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1），两地的路程为__________千米： （2）求乙离地的路程（千米）关于时间（时）的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） （3）求甲、乙两人在途中相遇时距离地多少千米？ （4）直接写出甲出发多长时间在行驶途中与乙相距10千米． 23. 综合与实践 如图（1）在中，，，是边的中点，点是边的中点，过点做于点，与点，连接，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）线段与的关系为____________； （3）将四边形绕点顺时针旋转， ①当四边形旋转到如图（2）所示的位置时，请写出线段与的关系，并证明： ②旋转过程中，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的长为________． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点，都在线段上（，不与、重合，与不重合），且，以为边在轴下方作正方形，设，正方形的周长为． （1）求直线的函数解析式； （2）当时，正方形的面积为_______； （3）求与之间的函数关系式； （4）当直线将正方形的分成面积相等的两部分时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $