精品解析：湖北省武汉市五校联合体2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度下学期高二年级期未考试 数学试卷 考试时间：2025年6月26日下午14：30-16：30试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 的极值点有3个 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 3. 近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（ ） A. 28 B. 30 C. 33 D. 35 4. 如果随机变量，则约等于（ ）（注：） A. 0.210 B. 0.0228 C. 0.0456 D. 0.0215 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（ ） A. 1740种 B. 1760种 C. 1800种 D. 1860种 7. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 1139 B. 1140 C. 1329 D. 1330 8. 关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列，下列命题正确的有（ ） A. 若为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 B. 若为正项等比数列，则为等差数列 C. 满足：，则 D. 已知为的前项积，若，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若三个事件两两独立，则满足 B. 若，，且，则相互独立 C. 若事件满足，，，则 D. 给定事件，且，则 11. 三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，拐点处的切线方程为 B. 当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 记数列的前项和为，且，则________. 14. A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数单调性. 17. 已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 18. 甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响． （1）时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求； （2）时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算 的值； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在区间上的值域 （2）若，试判断函数是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由； （3）若函数有三个不同的零点，，）．求a的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期高二年级期未考试 数学试卷 考试时间：2025年6月26日下午14：30-16：30试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 的极值点有3个 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 3. 近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（ ） A. 28 B. 30 C. 33 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】求出、，根据回归直线方程必过样本中心点，代入计算可得. 【详解】依题意，， 又回归直线方程过点，所以， 解得. 故选：C. 4. 如果随机变量，则约等于（ ）（注：） A. 0.210 B. 0.0228 C. 0.0456 D. 0.0215 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布对称性结合原则直接计算即可求解. 【详解】由题得，， . 故选：B. 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【详解】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 6. 某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（ ） A. 1740种 B. 1760种 C. 1800种 D. 1860种 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】若A、B不值班，值班安排有种； 若A、B只有一人不值班，值班安排有种； 若A、B都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有1860种. 故选：D. 7. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 1139 B. 1140 C. 1329 D. 1330 【答案】C 【解析】 【分析】由的展开通项为，在展开式中含项的系数分别为 、、，根据组合式求和即可. 【详解】因为的展开通项为， 所以的展开式中含项的系数分别为 、、，其系数和为， 则， 其中，，，依次类推， 得出. 故选：C. 8. 关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过同构构造，利用单调性脱去外层，转化为简单的参数分离与最值分析. 【详解】由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列，下列命题正确的有（ ） A. 若为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 B. 若为正项等比数列，则为等差数列 C. 满足：，则 D. 已知为的前项积，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】分以及，结合等比数列的求和公式，即可判断A；由等比数列的定义判断B；根据特例判断C；根据等差数列的定义及通项公式判断D. 【详解】对于A，当时，， 显然，，，是以为首项，以为公比的等比数列； 当时，， ， 所以，，则，，，成等比数列，公比为，故A正确； 对于B，设等比数列的公比为，则， 则是个常数，所以为等差数列，故B正确； 对于C，依题意，，它不满足，故C错误； 对于D，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以，且也满足，故D正确； 故选：ABD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若三个事件两两独立，则满足 B. 若，，且，则相互独立 C. 若事件满足，，，则 D. 给定事件，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据独立事件的定义及条件概率的性质可判断各选项正误. 【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，A错误； 对于B， ，即，所以相互独立，B正确； 对于C，由，，则，， ，则0.4， 又，则， ，则 ，C正确； 对于D，当互斥时，； 当不互斥时，，D错误. 故选：BC. 11. 三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，拐点处的切线方程为 B. 当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题设定义求得，再利用导数的几何意义即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又由，得到，解得或， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C正确， 对于D，由，可得， 即，显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值得到，，相加即可求解. 【详解】中， 令得①， 令得②， 式子得. 故答案为：. 13. 记数列的前项和为，且，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数列的周期为8，计算得解. 【详解】时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，， 所以数列是周期为8的周期数列， 且， 所以，. 故答案为：. 14. A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用全概率公式，构造概率递推公式，再由数列中的递推求通项思想即可. 【详解】经过第一次操作得：，， 经过第二次操作得：；. 根据全概率公式可知：， ， 两式相加可得， 则：，时，， 所以，， 因为，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能； （2）分布列： X 0 1 2 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解; （2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关． 【小问2详解】 由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为， 所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人， 可知可取0,1,2， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 16. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. （2）对分类讨论，确定导数符号，得出单调性. 【小问1详解】 当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 17. 已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和的关系可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求. 【小问1详解】 由题可得，所以. 当时，. 当时，. 因为不满足上式，. 【小问2详解】 由（1）知，. 当时，. 当时，， 所以 . 又满足上式，. 18. 甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响． （1）时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求； （2）时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算 的值； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：由全概率公式得， 则， 当时，，， ， 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）分析条件概率的意义，计算结果. （2）根据给定的信息直接写出结果. （3）利用由全概率公式求出及，再利用作商法并结合基本不等式推理得证. 【小问1详解】 表示在前3局比赛中甲胜1局的条件下甲最终胜利的概率， 已知共5局比赛，此种情形下，甲要取得最终胜利，必须保证最后2局均胜利， 所以 . 【小问2详解】 当时，共进行且）局比赛， 前局，甲胜的局数不足局，即使再胜2局，甲也不能获胜， 因此； 前局，甲已胜局，最后2局需要全胜，甲才能获胜， 因此； 前局，甲已胜局，最后2局甲至少胜1局，就能获胜， 因此； 前局，甲已胜至少局，甲必胜，因此. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在区间上的值域 （2）若，试判断函数是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由； （3）若函数有三个不同的零点，，）．求a的取值范围； 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数导函数求出单调性，进一步求出值域. （2）求出函数导函数，讨论在不同取值范围内的单调性. （3）根据题意，当时，不符合题意，故只需讨论时的取值情况. 【小问1详解】 当时，，其定义域为（0,+∞）. 对求导得，当且仅当时取等号． 所以在区间[1,3]上单调递增. 又. 所以在区间上的值域为. 【小问2详解】 由题意，，且， ∴． 令， 1°当时，， 则恒成立，在上单调递增，此时不存在极值； 2°当时，，存在两个零点和，且， 当和时，；当时， 所以，在和上单调递增，在上单调递减 此时存在极值，其中，极大值点，极小值点 综上所述，当时，不存在极值； 当时，存在极值，极大值点，极小值点. 【小问3详解】 易得，故1是的零点之一． 1° 当时，，当，恒成立， 在上单调递增，此时只有一个零点，不符合条件； 2° 当时，由（1）知，在上单调递增，此时只有一个零点，不符合条件； 3° 当时，由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减， 其中，所以，， 又， 存在的值，使得， 所以，时，，时，， ，使得， 有三个零点，且， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $