精品解析：湖北省武汉市江岸区2023-2024学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

2023~2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　） 表1 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 表2 视力 性别 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 表3 智商 性别 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52 表4 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计 16 36 52 A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量 5. 已知，且满足，则（ ） A. 的最小值为48 B. 的最小值为 C. 的最大值为48 D. 的最大值为 6. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 7. 某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（ ） A. 120种 B. 144种 C. 168种 D. 216种 8. 已知定义在上的函数，设的极大值和极小值分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ） 参考公式：， A. 当时， B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 C. ，时，成对样本数据的相关系数满足 D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足 10. 已知，且，则（ ） A. B. 使得 C. 可能大于0 D. 11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（ ） A. 序列是需要交换3次的序列 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为的导函数，则的值为______. 13. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，非空集合， （1）若时，求； （2）是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不恶在，请说朋理由. 16. 树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩和物理成绩，得到一些统计数据：，其中分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩，与的相关系数. （1）求关于的线性回归方程； （2）从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间的人数的数学期望. 附：①回归方程中： ②相关系数 ③若，则 ④ 17. 已知等差数列的前项利为，数列的前项和为. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，求. 18. （1）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为，设移动次后质点位于位置. （i）求随机变量的概率分布列及； （ii）求； （2）若轨道上只有这个位置，质点向左或右移动一个单位的概率都为，若在0处，则只能向右移动；现有一个质点从0出发，求它首次移动到的次数的期望. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明时，； （3）若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式的求解方法求集合A，再由对数函数的性质解不等式求得集合B，结合并集的概念即可得答案. 【详解】因为，， 因此，. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布求方差公式得到方程，求出，从而得到. 【详解】由题意得，解得， . 故选：B 4. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　） 表1 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 表2 视力 性别 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 表3 智商 性别 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52 表4 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计 16 36 52 A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式分别计算得观察值，比较大小即可得结果. 【详解】根据公式分别计算得：A.; ; ; 选项D的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 5. 已知，且满足，则（ ） A. 的最小值为48 B. 的最小值为 C. 的最大值为48 D. 的最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，所以， 所以， 当且仅当时取等，此时，故A正确. 故选：A 6. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【详解】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 7. 某医院要派2名男医生和4名女医生去， ，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求， ，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（ ） A. 120种 B. 144种 C. 168种 D. 216种 【答案】D 【解析】 【分析】先求出2名男医生到3地的可能结果，再安排4名女医生，结合分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】设2名男医生分别为甲、乙， 若乙去，则甲可能去 或，有2种结果； 若乙去 ，则甲可能去 或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去 或，有2种结果， 共有6种结果； 将4名女医生分配到， ，三个地方，分为211三组， 可能的结果有种， 所以满足题意的有种结果. 故选：D 8. 已知定义在上的函数，设的极大值和极小值分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数求出，结合韦达定理用表示，再求出指数函数的值域得解. 【详解】， 令，显然函数的图象开口向下，且， 则函数有两个异号零点， 不妨设，有， 而恒成立，则当或时，， 当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 又当时，恒成立， 当时，恒成立，且， 于是的最大值， 最小值， 于是， 由，得 ，，则， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ） 参考公式：， A. 当时， B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 C. ，时，成对样本数据的相关系数满足 D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相关系数的正负、绝对值大小与变量相关性之间关系可知AB正误；根据，，代入相关系数和最小二乘法公式中，可知CD正误. 【详解】对于A，当时，变量和变量正相关，则，A正确； 对于B，当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当，时，对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误； 对于C，当，时，不变且， ，C正确； 对于D，当，时，不变且， ，D正确. 故选：ACD. 10. 已知，且，则（ ） A. B. 使得 C. 可能大于0 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，据已知条件变形即可证明；对于B，根据已知得，得，即可证明；对于C，据已知条件变形即可证明；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论. 【详解】对于A，由及， 得，所以， 又，所以，A正确； 对于B，由及，得，所以，得， 所以，得，B错误； 对于C，由及，得，所以， C错误. 对于D，由，得，所以. 因为，，所以，所以，D正确. 故选：AD. 11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（ ） A. 序列是需要交换3次的序列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，不妨设序列的n个元素为，由题意可判断A中序列交换次数；再根据等差数列前项和公式即可判断B；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C；利用累加法求出通项公式即可判断D. 【详解】对A，序列，比较，无需交换位置，比较，需要交换1次位置，得到新序列，比较，无需交换位置，最后比较，需要交换1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A错误； 对B，不妨设序列的n个元素为，交换次数最多的序列为， 将元素n冒泡到最右侧，需交换次次， 将元素n-1冒泡到最右侧，需交换次次， ， 故共需要， 即最大交换次数，故B正确； 对C，只要交换1次的序列是将中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有个这样的序列，即，故C正确； 对D，当n个元素的序列顺序确定后，将元素n+1添加进原序列， 使得新序列（共n+1个元素）交换次数也是2， 则元素n+1在新序列的位置只能是最后三个位置， 若元素n+1在新序列的最后一个位置， 则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有个）， 若元素n+1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换， 故原序列交换次数为1（这样的序列有个）， 若元素n+1在新序列的倒数第三个位置， 则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个）， 因此，， 所以，显然， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：在解与数列新定义相关的题目时，理解新定义是解决本题的关键. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为的导函数，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案. 【详解】因为，而表示6个因式相乘， 在6个因式中，有2个选，1个，3个选 所以的展开式中含有项为， 所以中含有项的系数为. 故答案为：. 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为互斥，所以， 所以 ， 解得，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，非空集合， （1）若时，求； （2）是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不恶在，请说朋理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由分式不等式化简，即可由交集的定义求解， （2）将问题转化为⫋，即可列不等式求解. 【小问1详解】 集合 当时，非空集合 【小问2详解】 假设存在实数，使得是的必要不充分条件， 则⫋，即⫋，则，解得. 故存在实数，使得是的必要不充分条件. 16. 树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩和物理成绩，得到一些统计数据：，其中分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩，与的相关系数. （1）求关于的线性回归方程； （2）从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间的人数的数学期望. 附：①回归方程中： ②相关系数 ③若，则 ④ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用公式，求得，得到，即可得到回归方程； （2）根据题意，得到，求得，结合正态分布，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：由题中数据可得，， 由，可得， 可得，所以回归方程为. 【小问2详解】 解：由，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以物理成绩位于区间的人数的数学期望为. 17. 已知等差数列的前项利为，数列的前项和为. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，由等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程，求出首项和公差，得到通项公式，再利用求出的通项公式； （2）变形得到，错位相减法求和， 【小问1详解】 设的公差为，由题设得， 解得 ，所以， 当时，，也符合上式， 所以； 【小问2详解】 ， ， 记①， 则②， ②-①得，， 故， 所以. 18. （1）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为，设移动次后质点位于位置. （i）求随机变量的概率分布列及； （ii）求； （2）若轨道上只有这个位置，质点向左或右移动一个单位的概率都为，若在0处，则只能向右移动；现有一个质点从0出发，求它首次移动到的次数的期望. 【答案】（1）（i）分布列见解析，0；（ii）0；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意分析出随机变量可能取值，根据独立重复试验概率公式计算相应的概率，从而得出分布列；质点向右移动的次数设为随机变量Y，则Y服从二项分布，则随机变量可以用Y表示，从而求得； （2）根据题意先设首次从到的步数期望为，从而得出，再由求和，由可得. 【详解】（1）（i）可能取值为， ， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 2 4 P ； （ii）设质点次移动中向右移动的次数为，显然每移动一次的概率为，则， ，所以. （2）设首次从到的步数期望为，则有， 所以，可得. 又小球在0处，只能向前移动到1，则有， 所以， 又有，则. 【点睛】关键点点睛：（1）关键是分析出该问题属于独立重复试验，分析求解即可；（2）关键是设首次从到的步数期望为，从而构造出，分析出且，即可求解. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明时，； （3）若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）证明：令， 当时，；当时，， 当时，，即， 原不等式等价于， 为上的减函数，， 只需证明，即， 令， 当时，，当时，， 原不等式成立． （3） 【解析】 【分析】（1）求导即可得到函数的单调区间； （2）令，即可得到，原不等式化为，再结合函数的单调性，即可化为，然后构造函数，求导即可证明； （3）根据题意，由（2）中的结论可得符合题意，然后证明当时，不符合题意，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，；当时，， 的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）知,又， ， 原不等式在上恒成立． 当时，令． ， 在内必有零点，设为，则， ， ，而， 综上所述实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $