专题 2.6 有理数的混合运算和近似数（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年七年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.6 有理数的混合运算和近似数 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）有理数混合运算的法则 1 【题型1】基本混合运算 1 【题型2】 运用运算律简化计算 3 【题型3】 含多层括号的运算 4 【题型4】 含绝对值的混合运算 7 【题型5】 有理数混合运算的应用——算“24”点 9 【题型6】有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算 10 知识点（二）近似数 12 【题型7】近似数 12 二．同步练习 14 【基础巩固（16题）】 14 【能力提升（16题）】 21 【中考真题6题】 28 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）有理数混合运算的法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 【题型1】基本混合运算 【解题方法】（1）有乘方算乘方；（2）乘除运算（从左到右）；（2）算加减. 【例题1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先算乘方，再算乘法，最后算加减，如果有括号，要先做括号内的运算． 解： ． 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 解： ． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据行乘方的有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的，进行计算即可． 解： ． 【变式3】（24-25七年级上·北京·期中）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 解： ． 【题型2】 运用运算律简化计算 【解题方法】用乘法分配律展开 【例题2】（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：（1） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先利用有理数的乘法分配律和有理数的乘法运算法则求解，然后计算加减即可； 解：（1） ； 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，计算原式的倒数，即可得到答案．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 解： ， ． 【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则，运算律，倒数的应用，是解题的关键 （1）先计算式的倒数，除法化为乘法后，利用乘法分配律展开计算，最后即得； （2）先算乘方，再算括号内的乘法，再用乘法分配律展开，最后计算减法． 解： （1）解：∵ ， ∴． （2）解： ． 【题型3】 含多层括号的运算 【解题方法】（1）去小括号；（2）再算中括号内的乘加；（3）最后算乘除加减. 【例题3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）41；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则，运算律，倒数的应用，是解题的关键 （1）先算乘方，再算括号内的，再乘法，最后计算加法； （2）先算乘方，再算括号内的乘法，再用乘法分配律展开，最后计算减法． （1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，计算原式的倒数，即可得到答案．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 解： ， ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，根据运算顺序先算括号里面的，算乘方算乘除，再算加减，进而得到结果即可； 解：， ， ， ， ． 【变式3】（21-22七年级上·天津和平·期中）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （3）根据乘法分配律简便计算． （1）解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2）解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3）解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程． 【题型4】 含绝对值的混合运算 【解题方法】先算绝对值，再按顺序运算. 【例题4】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）计算： （1） 【答案】（1） 【分析】本题考查有理数的混合运算，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 解：（3）解：原式 ． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的相关计算，熟知有理数的相关计算法则是解题的关键．按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 解： ． 【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 （1）． （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； 解：（1）解： ； （2）解： ； 【题型5】 有理数混合运算的应用——算“24”点 【例题5】（24-25六年级上·山东烟台·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ （2）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ （3）从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 【答案】（1）抽取到2张卡片上的数字分别是6和4，24；（2）抽取到2张卡片上的数字分别是6和，最小的商是；（3）见分析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从中抽2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为24即可． 解：（1）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和4， 最大乘积为：； （2）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和， 最小的商为：； （3）（答案不唯一）当抽取到4张卡片上的数字分别是、3、4和 运算式子为：； ． 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的式子解答即可． 解： ； ． 故答案为：或（答案不唯一）． 【题型6】有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算 【例题6】（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，这是一个计算程序． （1）若输入的值为1，求输出的值． （2）若输入的值为，直接写出输出的值． 【答案】（1）输出的值为；（2） 【分析】本题考查了程序流程图，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）将1代入，得，将代入，得．然后输出即可； （2）由，可知输出的值仍为． 解：（1）解：将1代入，得， 将代入，得． ∴输出的值为； （2）解：∵， ∴输出的值仍为． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可． 解：第1次输入的，则输出， 第2次输入的，则输出， 第3次输入的，则输出， 第4次输入的，则输出， 第5次输入的，则输出， 第6次输入的，则输出， 第7次输入的，则输出， ， 可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现， ∴， ∴第2012次输出的结果为3， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的乘方，读懂程序流程图，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．先将代入计算出结果为，再将代入计算，其结果大于10，由此即可得． 解：由程序图得：当时，， 当时，， 所以当输入的值为时，输出的值为26， 故答案为：26． 知识点（二）近似数 一个近似数的精确度可用四舍五入法表述。一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。 【题型7】近似数 【例题7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 【答案】 【分析】根据近似数的精确度进行求解即可． 解：（）（精确到）； （）（精确到十分位） ； （）（精确到）； （）（精确到个位）； （）（精确到）； （）（精确到千分位）； 故答案为：；；；；；． 【点拨】此题考查了近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，熟练掌握近似数与精确度的概念是解题的关键． 【变式1】（2024七年级上·云南·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可，掌握近似数的有关知识是解题的关键． 解：近似数精确到百分位，故①错误； ∵万， ∴近似数万精确到百位，故②错误； 近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，故③错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的表示方法是解题的关键；精确到哪一位，则把后面与其相邻的数位上的数字四舍五入得到近似数；由题意，把百分位的数四舍五入即可． 解：用四舍五入法对取近似数，精确到十分位结果是， 故答案为： 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）最接近4.08万的整数是（   ） A．4.081万 B．40801 C．40891 D．40809 【答案】B 【分析】本题考查数的大小比较，可以先4.08万改写成用“个”作单位的数，再把各选项的数分别与4.08万相减，差最小的最接近4.08万． 解：4.08万，4.081万 因为， ， ， ， ， 所以最接近4.08万的整数是40801． 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算，逐项分析判断，即可求解． 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及倒数的意义，由倒数的意义可知，进而可求出结果. 解：∵， ∴， ∴. 故选A. 4．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 解： ． 故选：A． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列计算不正确的有（    ）个 ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．利用有理数的混合运算法则对各式逐一计算即可得到答案． 解：①，原计算错误； ②，原计算错误； ③，原计算错误； ④，原计算错误， ∴不正确的有4个， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·河南商丘·期末） ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和绝对值后，再计算加减法即可． 解： 故答案为： 7．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 解： ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算： ． 【答案】/6.5/ 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行乘方运算和化简绝对值，然后相加减，即可获得答案． 解：原式． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·广东广州·期中） ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，有理数乘法计算，根据有理数的乘方计算法则和乘法计算法则求解即可． 解：，， 故答案为：；． 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于8即可． 解：开始输入的数为0， 解：返回继续运算； 输出结果； 故答案为∶ 三、解答题 11．（24-25七年级上·北京·期中）计算 （1） ； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）根据有理数的乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25七年级下·北京·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用有理数乘法的分配律计算即可得； （2）先计算大括号内的加减法、乘方、化简绝对值，再计算加减法即可得． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（2025六年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先计算乘除运算，再算加减运算即可求出值； （2）先算乘方，再利用乘法分配律计算即可求出值； 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键； （1）按照先算乘方、再算乘除、最后计算加减的运算顺序求解即可； （2）先计算乘方、乘法分配律，再计算加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 15．（23-24七年级上·广东河源·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先利用有理数乘法法则化简，再加减即可； （2）先计算绝对值和括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25七年级上·福建福州·期中）计算： （1）； （2） 【答案】（1）51；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先算乘方，再算乘除，后算加减； （2）先算括号和绝对值，并把除法转化为乘法，再算乘法，后算加减． 解：（1）原式 ； （2）原式 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查带乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键； 根据带乘方的有理数的混合运算法则即可求解； 解：； 故答案为：B 2．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据乘方的意义和有理数的乘法进行运算即可键． 解：原式， 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 解：A、，原运算正确，故不符合题意； B、，，原运算错误，故符合题意； C、，原运算正确，故不符合题意； D、，原运算正确，故不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（24-25六年级上·山东济宁·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加法可判断①；根据有理数的乘法可判断②；根据乘方及减法运算可判断③；根据有理数乘除运算可判断④．掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键． 解：①，故结论①正确； ②，故结论②错误； ③，故结论③错误； ④，故结论④错误， ∴正确的个数是个． 故选：A． 5．（23-24七年级上·河北沧州·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁、四位同学分别做了一道有理数运算题， 甲； 乙：； 丙：； 丁：． 其中正确的同学是（    ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算，据甲乙丙丁的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 解：，故甲的做法是错误的； ，故乙的做法是错误的； ，故丙的做法正确； ，故丁的做法错误； 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查绝对值，乘方，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．根据乘法以及绝对值进行计算即可． 解：原式， 故答案为： 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）用四舍五入法将取近似数精确到十分位是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数精确的条件是解题的关键．根据“四舍五入”即可得到答案． 解：根据四舍五入， 取近似数精确到十分位是， 故答案为：． 8．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】11 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 解： ， 故答案为：11． 9．（2022七年级上·广东惠州·竞赛）计算：  = . 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 解： 故答案为： 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算： ． 【答案】289 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后就散加减即可，有括号先计算括号，同级运算从左到右依次计算即可． 解：原式 ． 故答案为：289． 三、解答题 11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先计算乘除运算，再算加减运算即可求出值； （2）先算乘方，再利用乘法分配律计算即可求出值； 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（23-24七年级上·重庆·期中）计算． （1） （2） 【答案】（1）23；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先除法转换为乘法，利用乘法分配律简算即可； （2）先把小数化分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可； 解：（1）解：原式 = = =； （2）解：原式 = = =． 13．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键； （1）先计算乘除，再计算加减即可求解； （2）按照有理数的混合运算法则求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： 15．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则． （1）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解题； （2）先利用乘法分配律运算，然后加减解题； （3）先运算绝对值、括号和乘方，然后运算乘除，最后加减解答即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）8；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可； 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解． 解：， 故选：D． 【点拨】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键． 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 【答案】B 【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可． 解：选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位． 选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位． 选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位． 选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位． 故选：B． 3．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 4．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【分析】通过计算，可以推出结果． 解： … ，，， 故选：C． 【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 二、填空题 5．（2023·湖北随州·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】先算乘方，再计算乘法，最后算加减． 解：． 故答案为：0． 【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握运算法则． 6．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 6200 9313 【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解． 解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200； 根据题意，，，，，则， ∴， ∴， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被10整除， ∴， ∴满足条件的M的最大值为9313， 故答案为：6200，9313． 【点拨】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.6 有理数的混合运算和近似数 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）有理数混合运算的法则 1 【题型1】基本混合运算 1 【题型2】 运用运算律简化计算 1 【题型3】 含多层括号的运算 2 【题型4】 含绝对值的混合运算 2 【题型5】 有理数混合运算的应用——算“24”点 3 【题型6】有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算 3 知识点（二）近似数 4 【题型7】近似数 4 二．同步练习 4 【基础巩固（16题）】 5 【能力提升（16题）】 6 【中考真题6题】 8 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）有理数混合运算的法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 【题型1】基本混合运算 【解题方法】（1）有乘方算乘方；（2）乘除运算（从左到右）；（2）算加减. 【例题1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算： 【变式3】（24-25七年级上·北京·期中）计算：． 【题型2】 运用运算律简化计算 【解题方法】用乘法分配律展开 【例题2】（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：（1） 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算 （1） （2） 【题型3】 含多层括号的运算 【解题方法】（1）去小括号；（2）再算中括号内的乘加；（3）最后算乘除加减. 【例题3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算 （1） （2） 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）计算： ． 【变式3】（21-22七年级上·天津和平·期中）计算： （1） （2） （3） 【题型4】 含绝对值的混合运算 【解题方法】先算绝对值，再按顺序运算. 【例题4】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）计算： （1） 【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 （1）． （2）； 【题型5】 有理数混合运算的应用——算“24”点 【例题5】（24-25六年级上·山东烟台·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ （2）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ （3）从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【题型6】有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算 【例题6】（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，这是一个计算程序． （1）若输入的值为1，求输出的值． （2）若输入的值为，直接写出输出的值． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ． 知识点（二）近似数 一个近似数的精确度可用四舍五入法表述。一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。 【题型7】近似数 【例题7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 【变式1】（2024七年级上·云南·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）最接近4.08万的整数是（   ） A．4.081万 B．40801 C．40891 D．40809 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 4．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）（　　） A．0 B． C． D． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列计算不正确的有（    ）个 ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（24-25七年级下·河南商丘·期末） ． 7．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算： ． 8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算： ． 9．（24-25七年级上·广东广州·期中） ； ． 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·北京·期中）计算 （1） ； （2） 12．（24-25七年级下·北京·期末）计算： （1） （2） 13．（2025六年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 14．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）计算： （1）； （2）． 15．（23-24七年级上·广东河源·期中）计算： （1）； （2）． 16．（24-25七年级上·福建福州·期中）计算： （1）； （2） 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·山东济宁·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（23-24七年级上·河北沧州·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁、四位同学分别做了一道有理数运算题， 甲； 乙：； 丙：； 丁：． 其中正确的同学是（    ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 二、填空题 6．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算的结果为 ． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）用四舍五入法将取近似数精确到十分位是 ． 8．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 9．（2022七年级上·广东惠州·竞赛）计算：  = . 10．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算： ． 三、解答题 11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 12．（23-24七年级上·重庆·期中）计算． （1） （2） 13．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： （1） （2） 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： （1） （2） 15．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 16．（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算 （1） （2） （3） （4） 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 3．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 4．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 二、填空题 5．（2023·湖北随州·中考真题）计算： ． 6．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$