精品解析： 吉林省长春市南关区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年吉林省长春市南关区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式的值为0，则x的值为（    ） A. B. C. D. 2. 某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（    ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 麒麟990是华为研发的新一代手机处理器，采用工艺制造．已知，则数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如果工作人员以固定的速度排水，并在深水区留下一定高度的水方便后续的泳池清理，则下面能表示水的深度厘米与时间分的关系的图象大致是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ）     A. B. C. D. 6. 下列对于一次函数的描述错误的是（    ） A. y随x的增大而减小 B. 图象经过点 C. 图象与直线相交 D. 图象可由直线向上平移3个单位得到 7. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，于点，若，，则的长为（    ） A. B. 4 C. D. 8. 已知点和点均在反比例函数是常数，的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 无法确定的正负 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分式与的最简公分母是____________． 10. 已知点A坐标为，若轴且，则第二象限的点B的坐标为______． 11. 已知，则____． 12. 如图，在矩形中，将沿翻折得到，交于点．若，则______度． 13. 绘画比赛中，某位选手在创意、表现力、视觉效果三项的得分为92、98、若依次按照、、的百分比确定最终得分，则这位选手的最终得分是______分． 14. 如图，正方形的边长为，是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结，于，给出下面五个结论：①；②；③；④的周长是；⑤的面积是上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 18. 如图，在中，、是上的两点且，连结、求证： 19. 为了推广当地的动植物公园，园区负责人设计了A、B两种玩偶，与工厂对接后各用9000元购进了两种玩偶成品．已知一个B玩偶是一个A玩偶价格的倍，购进的两种玩偶数量共500个．求购进A、B两种玩偶的单价各是多少元？ 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，在线段上取点，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点 （1）求这两个函数的解析式； （2）若点的横坐标为，求的面积． 21. 为了丰富班级的“阅读角”，八年级某班发起图书征集活动，将同学们上交的书籍情况制成了如图所示尚不完整的统计图．请根据以下信息，解答下列问题： （1）这个班级有______人，请你补全条形统计图； （2）学生捐书数量的众数是______本，中位数是______本； （3）为了丰富“阅读角”的书目类别，在统计完学生的捐书情况后，老师也参与了捐书．若学习委员将老师捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则老师的捐书数量最少是______本． 22. 如图，在矩形中，是一条对角线． （1）用圆规和无刻度直尺作的垂直平分线，分别交、、于点、、，连结、（保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是菱形． 23. 某科技馆在节假日期间对15周岁以下的青少年免费开放．为了保证展馆秩序，科技馆采取了网上分时预约制的方式进行限流，保证展馆内实时人数不超过1200人，如图是某天科技馆开始营业后，馆内实时人数人与科技馆开放时间小时之间的函数关系．在科技馆闭馆前的内，将不再允许游客进入． （1）求闭馆前内游客离开的速度； （2）当时，求y与x的函数关系式； （3）当科技馆人数超过800人时，科技馆将会增加各展馆的安保员以保障游客能安全地进行参观，直接写出这一天展馆需要增加安保员的时长共有______小时． 24. 若一次函数的图象经过点、点的坐标为，点的横坐标为 （1）求的值； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为，求的值； （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴． ①若矩形的周长是，求的值； ②若线段与矩形只有一个公共点，的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省长春市南关区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式的值为0，则x的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得； 故选：A． 2. 某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（    ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了选择合适的统计量，根据题意要了解成绩的波动情况，需选择反映数据离散程度的统计量． 【详解】解：老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的方差． 故选：D． 3. 麒麟990是华为研发的新一代手机处理器，采用工艺制造．已知，则数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4. 如图是某游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如果工作人员以固定的速度排水，并在深水区留下一定高度的水方便后续的泳池清理，则下面能表示水的深度厘米与时间分的关系的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象，在做题时要明确游泳池上宽下窄，因此函数的图象也不相同． 由于游泳池不规则，上面宽，下面窄，因此在相同时间内上半部分下降缓慢，图象比较平稳．下半部分下降快，图象比较陡，据此即可解答． 【详解】解：由图知游泳池上宽下窄，深度h和放水时间t的比不一样，前者慢后者快，并在深水区留下一定高度的水方便后续的泳池清理 分析各选项知只有A正确． 故选：A 5. 如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：添加，能判定四边形是平行四边形的是，理由如下： ， 又， 四边形是平行四边形， 只有B选项符合题意，其他选项不能判定四边形是平行四边形， 故选：B． 6. 下列对于一次函数的描述错误的是（    ） A. y随x的增大而减小 B. 图象经过点 C. 图象与直线相交 D. 图象可由直线向上平移3个单位得到 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了一次函数的性质；根据一次函数的性质、点的坐标、直线相交条件及平移规律逐一分析选项即可． 【分析】解：A． 一次函数的斜率，故随增大而减小，描述正确； B． 将代入函数得，故图象经过点，描述正确； C． 直线与的一次项系数均为，两直线平行，无交点，描述错误； D． 直线由向上平移3个单位得到，描述正确． 综上，错误的选项是C． 故选：C． 7. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，于点，若，，则的长为（    ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长．利用菱形的面积公式，即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 已知点和点均在反比例函数是常数，的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 无法确定的正负 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数图象的性质．根据题意得到，则，进一步分析即可即可得到答案． 【详解】解：∵点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上， ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分式与的最简公分母是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可求出答案． 【详解】解：分式与的分母分别是，， 故最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 10. 已知点A坐标为，若轴且，则第二象限的点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知垂直于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据垂直于x轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． 【详解】解：点A坐标为，且轴， 点B的横坐标为， 设点， ， ， 或， 点B在第二象限， 点B的坐标为， 故答案为： 11. 已知，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先整理得出，再代入进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，将沿翻折得到，交于点．若，则______度． 【答案】57 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，根据矩形，得，由平行线的性质得，根据折叠的性质，得，所以． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质，得， ． 故答案为：． 13. 绘画比赛中，某位选手在创意、表现力、视觉效果三项的得分为92、98、若依次按照、、的百分比确定最终得分，则这位选手的最终得分是______分． 【答案】94 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：这位选手的最终得分是分， 故答案为： 14. 如图，正方形的边长为，是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结，于，给出下面五个结论：①；②；③；④的周长是；⑤的面积是上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，线段垂直平分线的性质，二次根式，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． ①根据线段垂直平分线的性质即可对该结论进行判断；②设与相交于点，连接，设，则，由勾股定理求出得，利用勾股定理求出，得，设，则，在和中，由勾股定理得，则，由此得得，进而得，则，由此可判定和全等得，再由勾股定理求出，由此可对该结论进行判断；③由三角形的面积公式，进而可依据判定和全等，和全等得，进而得，由此可对该结论进行判断；④根据得，由此可对该结论进行判断；⑤根据得的面积是，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①是线段的垂直平分线， ， 故结论①正确； ②设与相交于点，连接，设，如图所示： 是线段的垂直平分线， ， 四边形是正方形，且边长为， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， 故结论②不正确； ③由三角形的面积公式得：， ， ， 于， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ， ， 故结论③正确； ④， ， 的周长是， 故结论④正确； ⑤， 的面积是：， 故结论⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．首先根据负指数幂、平方、绝对值、立方根的定义计算出算式中的各部分，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 【答案】（1）如图①：四边形即为所求； （不唯一）． （2）如图②：四边形即为所求； （不唯一）． （3）如图③：四边形即为所求； （不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可． （2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可． （3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，、是上的两点且，连结、求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出由平行四边形的性质推出，得到，由，得到，即可证明，推出 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 19. 为了推广当地的动植物公园，园区负责人设计了A、B两种玩偶，与工厂对接后各用9000元购进了两种玩偶成品．已知一个B玩偶是一个A玩偶价格的倍，购进的两种玩偶数量共500个．求购进A、B两种玩偶的单价各是多少元？ 【答案】购进A玩偶的单价是30元，购进B玩偶的单价是45元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设购进A玩偶的单价是x元，则购进B玩偶的单价是元，利用数量=总价单价，结合各用9000元购进的两种玩偶数量共500个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即购进A玩偶的单价，再将其代入中，即可求出购进B玩偶的单价． 【详解】解：设购进A玩偶的单价是x元，则购进B玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元） 答：购进A玩偶的单价是30元，购进B玩偶的单价是45元． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，在线段上取点，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点 （1）求这两个函数的解析式； （2）若点的横坐标为，求的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）利用解析式分别求出、的坐标，再利用三角形面积公式代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， ， ， 反比例函数解析式为， 由条件可得，解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 在中，当时，， ， 在中，当时，， ， 21. 为了丰富班级的“阅读角”，八年级某班发起图书征集活动，将同学们上交的书籍情况制成了如图所示尚不完整的统计图．请根据以下信息，解答下列问题： （1）这个班级有______人，请你补全条形统计图； （2）学生捐书数量的众数是______本，中位数是______本； （3）为了丰富“阅读角”的书目类别，在统计完学生的捐书情况后，老师也参与了捐书．若学习委员将老师捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则老师的捐书数量最少是______本． 【答案】（1）60，图形见解析 （2）1，2 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，加权平均数，众数和中位数，关键是掌握众数和中位数的定义以及加权平均数的计算公式． （1）用捐3本的人数除以3本所占百分比即可； （2）从条形统计图中，由众数和中位数的定义即可得出结论； （3）求出加权平均数，再根据老师捐赠后平均数增大得出结论． 【小问1详解】 解：人， 这个班有人， 故答案为：； 捐4本书的人有：人， 补全条形统计图： 【小问2详解】 解：从图形看，这组数据中出现最多的是1， 这组数据的众数是1本； 把数据从小到大排列后，第，位数都是2， 这组数据的中位数是本， 故答案为：1，2； 【小问3详解】 解：这60名学生捐书数量的平均数为：， 老师捐赠书之后平均数增大了， 老师的捐书数量最少是本， 故答案为： 22. 如图，在矩形中，是一条对角线． （1）用圆规和无刻度直尺作的垂直平分线，分别交、、于点、、，连结、（保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由线段垂直平分线的性质可得，证明，可得，则，可知四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 证明：直线为线段的垂直平分线， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 23. 某科技馆在节假日期间对15周岁以下的青少年免费开放．为了保证展馆秩序，科技馆采取了网上分时预约制的方式进行限流，保证展馆内实时人数不超过1200人，如图是某天科技馆开始营业后，馆内实时人数人与科技馆开放时间小时之间的函数关系．在科技馆闭馆前的内，将不再允许游客进入． （1）求闭馆前内游客离开的速度； （2）当时，求y与x的函数关系式； （3）当科技馆人数超过800人时，科技馆将会增加各展馆的安保员以保障游客能安全地进行参观，直接写出这一天展馆需要增加安保员的时长共有______小时． 【答案】（1）800人/小时 （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查了根据图象获取信息，写出函数关系式是解题的关键． （1）根据游客离开的速度=游客的减少量所用时间列式计算即可； （2）当时，求出游客增加的速度，从而写出y与x的函数关系式即可； （3）写出当时，y与x的函数关系式，分别求出当、时，当时，对应x的值并求差即可． 【小问1详解】 人/小时， 闭馆前内游客离开的速度为800人/小时． 【小问2详解】 当时，游客增加的速度为人/小时， 则， 当时，y与x的函数关系式为 【小问3详解】 当时，当时，得，解得， 当时，y与x的函数关系式为， 当时，得，解得， 小时， 这一天展馆需要增加安保员的时长共有5小时． 故答案为： 24. 若一次函数的图象经过点、点的坐标为，点的横坐标为 （1）求的值； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为，求的值； （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴． ①若矩形的周长是，求的值； ②若线段与矩形只有一个公共点，的取值范围是______． 【答案】（1） （2）或 （3）①或②或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，确定矩形与线段有一个交点的临界位置是解题的关键． （1）将点代入，即可求的值； （2）分两种情况讨论：当时，；当时，； （3）①由题可知、点关于原点对称，则，再由轴，分别求出，所以，根据矩形的周长公式可得，求出的值即可； ②确定矩形与线段有一个交点的临界位置：当点在上时，当点在上时，当点在上时，分别求出的值，再结合图形确定的取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入， ， 解得； 【小问2详解】 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述：或； 【小问3详解】 是矩形的对角线， 、点关于原点对称， ， 轴， ， ， 矩形的周长， ， 当时，， 解得； 当时，， 解得舍； 当时，， 解得； 综上所述：或； ②当点在上时，， 解得，线段与矩形只有一个公共点； 时， 当点在上时，， 解得， 时，线段与矩形只有一个公共点； 当点在上时，， 解得， 时，线段与矩形只有一个公共点； 综上所述：或或时，线段与矩形只有一个公共点； 综上所述：或或， 故答案为：或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $