精品解析：吉林省长春市第二实验学校教育集团2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

吉林省第二实验学校教育集团2024-2025学年度 下学期八（2）年级期末考试数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 如图，实数在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，掌握无理数的大小估算是解题的关键．先判断出的取值范围，即可求解． 【详解】解：， ， 点符合题意． 故选：C． 4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”． 5. 如图，在电线杆离地面高度为的A处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键． 本题中已知中的角、，利用即可解答． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，解得：． 故选：C． 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 8. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格图得出，利用勾股定理求出的长，再根据同角的余角相等证明，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 10. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：由于两点关于轴对称，则其横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：点和点关于轴对称， ∴， 故答案是：4． 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 13. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为坝高为，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡比的定义可得，即可得，再结合勾股定理可得答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡比为， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用－坡度坡角问题、勾股定理，熟练掌握坡比的定义以及勾股定理是解答本题的关键． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． ①正确．只要证明，即可；②正确．由，推出，推出，由，推出，即；③错误，现有条件不足以证明；④正确．设，，则，由，有，即，可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 现有条件不足以证明③，故③错误； 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确结论①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练掌握运算顺序，二次根式的性质，合并同类二次根式，是解决本题的关键． （1）先算乘法，再根据二次根式的性质把每个根式的化简，然后合并即可； （2）根据平方差公式、完全平方公式以及二次根式的性质化简括号内的，然后去括号合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ． 17. 清明节假期期间，某电影院有三部影片可供顾客选择观看，分别为猫猫的奇幻漂流（记为A）、哪吒之魔童闹海（记为）、唐探1900（记为），小明和小红各随机从中购买一张电影票，用画树状图（或列表）的方法，求他们看同一部影片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件是解题的关键． 运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中他们选择的影片相同有3种等可能的情况， ∴P（小明和小红看同一部影片） 18. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】10． 【解析】 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人， 依题意得1+x+x（1+x）=121， ∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）． ∴每轮传染中平均一个人传染了10个人． 【点睛】此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 19. 如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长． 【答案】18 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出，代入求出DE、DF即可求出答案． 【详解】解：∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE＝FC，DF＝EC ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵AC＝8，BC＝12， ∴AF＝2，DF＝3 ∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6， ∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3 ∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18． 答：四边形DECF的周长是18． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出DE＝CF，DF＝CE，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力． 20. 已知：如图，在四边形中，，为对角线的中点，为的中点，为的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论． 【详解】证明：是中点，是中点， 是的中位线， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ， ， 是等腰三角形， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．注意：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 21. 图、图、图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图中画一个，使． （2）在图中画一个钝角，使． （3）在图中画一个锐角，使． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了借助网格作图，解决本题的关键是借助网格构造直角三角形，利用网格求出直角三角形的边长，再利用正切的定义求出角的正切值． 借网格作，，则； 借助网格构造，使，，则，点在线段上不与点、重合的任一点都有为钝角； 借助网格作，连接点与的中点，则，，则． 【小问1详解】 解：如图所示， 借网格作，， 则； 【小问2详解】 解：如下图所示， 借助网格构造，使，， 则， 点在线段上不与点、重合的任一点都有为钝角； 【小问3详解】 解：如下图所示， 借助网格作，连接点与的中点， 根据等腰三角形的三线合一定理可得：， 则，， 可得：． 22. 为了解某校九年级学生一周体育锻炼时长的情况，随机抽取了25名男生和25名女生，获得了他们某一周体育锻炼时长（单位：小时）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．抽取的25名男生这一周体育锻炼时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．抽取的25名男生这一周体育锻炼时长在这一组的是： 7　7.2　7.4　7.6　7.8 c．男生、女生这一周体育锻炼时长的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男生 7.4 m 女生 7 6.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）抽取的25名男生中，这一周体育锻炼时长超过平均数的人数为；抽取的25名女生中，这一周体育锻炼时长超过平均数的人数为，比较，的大小，并说明理由； （3）若该校九年级共有225名男生，估计该校一周体育锻炼时长不低于8小时的男生人数． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵男生的平均数为7.4 ∴ ∵女生的平均数为7.4，中位数是6.8 ∴有超过一半的女生体育锻炼时长低于平均数 ∴ ∴； （3）估计该校所有男生中一周体育锻炼时间不低于8小时的有99人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． （1）根据中位数的概念求解即可； （2）根据平均数和中位数得到，的大小，进而求解即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 ∵随机抽取了25名男生 ∴中位数为第13名学生的成绩 ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） ∴估计该校一周体育锻炼时长不低于8小时的男生人数有99人． 23. 【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积． 以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 【答案】 在正方形中， ， ， ∵点E是边的中点， ． ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，根据题意求得的值，从而得到和的面积比，利用正方形的性质求出的面积，进而求出的面积． 【详解】略 24. 如图，在中，，，，D为的中点，动点P在边上不与点A、B、D重合，过点P作的垂线交折线于点Q．以为邻边构造矩形． （1）的长为______； （2）当点Q落在上时，证明； （3）点P在运动的过程中，求线段长度的取值范围； （4）沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的的长． 【答案】（1） （2）见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，即可求解； （2）根据，即可得证； （3）根据题意，连接，则，得出；当时，最小，解直角三角形求出即可得出范围； （4）根据题意，分三种情况讨论，①当经过的中点时，②当重合时，③当经过的中点时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ， 故答案为：． 【小问2详解】 证明：∵， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，连接， 则， 当共线时，点M与点D重合， 此时， 故； 当时，最小， 此时，如图，点Q与点C重合，则； 综上，． 【小问4详解】 解：①当经过的中点时，符合题意，如图 ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ∵， ∴是等边三角形， ， ， ； ②当重合时，符合题意，如图， ； ③当经过的中点时，符合题意，如图 ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 综上所述，所有符合条件的的长为． 【点睛】本题考查了动点问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，矩形的性质，作垂线，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校教育集团2024-2025学年度 下学期八（2）年级期末考试数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 3. 如图，实数在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在电线杆离地面高度为的A处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 50 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 10. 若，则______． 11. 在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则______． 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 13. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为坝高为，则的长度为______． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程： （1） （2） 17. 清明节假期期间，某电影院有三部影片可供顾客选择观看，分别为猫猫的奇幻漂流（记为A）、哪吒之魔童闹海（记为）、唐探1900（记为），小明和小红各随机从中购买一张电影票，用画树状图（或列表）的方法，求他们看同一部影片的概率． 18. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 19. 如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长． 20. 已知：如图，在四边形中，，为对角线的中点，为的中点，为的中点．求证：． 21. 图、图、图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图中画一个，使． （2）在图中画一个钝角，使． （3）在图中画一个锐角，使． 22. 为了解某校九年级学生一周体育锻炼时长的情况，随机抽取了25名男生和25名女生，获得了他们某一周体育锻炼时长（单位：小时）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．抽取的25名男生这一周体育锻炼时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．抽取的25名男生这一周体育锻炼时长在这一组的是： 7　7.2　7.4　7.6　7.8 c．男生、女生这一周体育锻炼时长的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男生 7.4 m 女生 7 6.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）抽取的25名男生中，这一周体育锻炼时长超过平均数的人数为；抽取的25名女生中，这一周体育锻炼时长超过平均数的人数为，比较，的大小，并说明理由； （3）若该校九年级共有225名男生，估计该校一周体育锻炼时长不低于8小时的男生人数． 23. 【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积． 以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 24. 如图，在中，，，，D为的中点，动点P在边上不与点A、B、D重合，过点P作的垂线交折线于点Q．以为邻边构造矩形． （1）的长为______； （2）当点Q落在上时，证明； （3）点P在运动的过程中，求线段长度的取值范围； （4）沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $