专题26：勾股定理的逆定理（5大知识点+8大题型+真题检验） 暑假班预修提升课程-2025-2026学年八年级上册数学（沪教版2024）

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题26 勾股定理的逆定理 知识点一 勾股定理的逆定理 1.定理：如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 (1)如果用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形，则其中最长边所对的角是直角，不能简单地认为边所对的角必是直角.例如:当时,则边所对的角是直角，我们一般记作：大边对大角或者大角对大边，不要简单地用字母对应边. (2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”. 2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤 (1)找:确定三角形的最长边； (2)算:分别计算出最长边的平方与另两边的平方和; (3)比:通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； (4)判:作出结论,若相等,则说明这个三角形是直角三角形,否则不是直角三角形. 3.股定理与其逆定理的联系与区别 (1)勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论互换; (2)勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定 拓展 三角形的三边长分别是(其中是最长边) (1)若,则这个三角形是直角三角形; (2)若 ,则这个三角形是钝角三角形; (3)若,则这个三角形是锐角三角形. 知识点二 勾股数 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数 【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 2.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 3.勾股数的求法 ①倍数型勾股数： ②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数） 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 …… ③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数） 知识点三 勾股定理逆定理的应用 1.判定三角形是否直角三角形； 2.构造判断直角三角形，求三角形的边长、角度、面积 3.实际应用。 题型01：直角三角形的判定 【名师点拨】判定三角形为直角三角形的方法 (1)用角判断: ①两个锐角互余的三角形是直角三角形; ②有一个角是 90°的三角形是直角三角形. (2)用边判断:如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断 【例1】以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意； B. ， ∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意； C. ， ∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意； D. ， ∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【例2】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； B、设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（3k）2+（4k）2＝（5k）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； C、由∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练】 1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1) 6，8，10； (2) 5，12，13； (3) 8，15，17； (4) 4，5，6，其中能构成直角三角形的有 ( ) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】B 【详解】 (1)，符合勾股定理的逆定理； 符合勾股定理的逆定理； 符合勾股定理的逆定理； 不符合勾股定理的逆定理； 故选B. 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，则，进而可证明，则该三角形是直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 3.已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A．由，设，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意； B．由可得，能判定是直角三角形，符合题意； C．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意； D．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意． 故选：B． 题型02：在网格中判断直角三角形 【例3】如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 【跟踪训练】 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，试判断的形状并说明理由 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可． 【详解】是直角三角形，理由为： ∵ ∴ ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，能利用网格计算边长是解题的关键． 2．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解题． 【详解】解：A、三角形各边长为、、，，故该三角形为钝角三角形，符合题意； B、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； C、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； D、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 3.如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． (1)在图1中，画一个以为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； (2)在图2中，画一个以为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）画出腰长为的等腰三角形即满足题意； （2）画出直角边长为和的直角三角形即可，直角三角形面积为． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示： ． 题型03：勾股数 【名师点拨】判断勾股数的方法步骤是什么？ (1) 确定三个数是正整数; (2) 确定出最大数与另外两个较小的数,计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和; (3)进行比较,若相等,则是勾股数,否则不是 【例4】下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D． 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可． 【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意； D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 【例5】【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）； 当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）； 当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）． （1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝　　，弦＝　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形． 【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；当n＝9时，即可求出第四组勾股数； （2）根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行解答即可． 【解答】解：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）； 当n＝9时，（n2﹣1）＝40，（n2+1）＝41； ∴第四组勾股数是 （9，40，41）； 故答案为：（n2﹣1），（n2+1），（9，40，41）； （2）证明：∵a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数， （m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为边的△ABC是直角三角形． 【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形． 【跟踪训练】 1.下列各组数中不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．11，60，61 【分析】根据勾股数的定义：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数；据此解答即可． 【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数，不符合题意； B、42+52≠62，不是勾股数，符合题意； C、62+82＝102，是勾股数，不符合题意； D、112+602＝612，是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股数的定义，熟记定义是解本题的关键． 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 3.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　　． 【分析】它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二． 【解答】解：由题意得：a2+1442＝1452， a2＝1452﹣1442， a＝17． 故答案为：17． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理． 4.同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． （1）请你写出另外两组勾股数：6，　　，　　；7，　　，　　； （2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数 （Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数 ①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数； ②请你任选其中一个法则证明它的正确性． 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题． （2）①根据题干中法则Ⅰ解决此题． ②根据整式的运算以及勾股数的定义解决此题． 【解答】解：（1）勾股数分别为6，8，10；7，24，25． 故答案为：8，10；24，25． （2）①根据法则（I），则或． ∴k＝5或（不是奇数，舍去）． ∴k＝5． ∴＝13． ∴另外两个数为5、13． ②选择法则Ⅰ，证明过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝． ∴＝． 选择法则Ⅱ，证明过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝． ∴＝． 【点评】本题主要考查勾股数、勾股定理、整式的运算，熟练掌握勾股数、勾股定理、整式的运算是解决本题的关键． 5．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　　； （2）若第一个数用字母为奇数，且表示，那么后两个数用含的代数式分别表示为　　和　　，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 【解答】解：（1）11，60，61； （2）后两个数表示为和， ，，． 又，且为奇数，由，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：11，60，61． 7.满足方程的正整数、、，我们称它们为勾股数． （1）已知，，，请证明、、是一组勾股数； （2）求有一个数是16的一组勾股数． 【解答】解：（1）， ，，、、是一组勾股数． （2）若，则．可得，，或，，则，． 勾股数是63，16，65； 当，，，，，勾股数是20，12，16； 若，则，，，勾股数是16，34，30， 若，不存在，的值． 有一个数是16的一组勾股数是63，16，65或20，12，16或16，34，30． 题型04：利用勾股定理的逆定理求长度 【例6】如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， 解得：， ． 【跟踪训练】 1．（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为 　　cm． 【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【解答】解：∵52+122＝132， ∴此三角形是直角三角形， ∴它的最长边上的中线为． 故答案为：6.5． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 2.如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠问题，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，，再根据折叠得出，然后设，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 是直角三角形，， 是翻折而成， ， 设， ， 在中，，即， 解得． 故的长为3． 3.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4． （1）求证：∠BAC＝90°； （2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长． 【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝5，易求AC2+AB2＝25＝BC2，从而可知△ABC是直角三角形． （2）分三种情况：①当BP＝AB时；②当BP＝AP时；③当AP＝AB时；分别求出BP的长即可． 【解答】（1）证明：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AD⊥BC，AD＝2，BD＝1， ∴AB2＝AD2+BD2＝5， 又∵AD⊥BC，CD＝4，AD＝2， ∴AC2＝CD2+AD2＝20， ∵BC＝CD+BD＝5， ∴BC2＝25， ∴AC2+AB2＝25＝BC2， ∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形． （2）解：分三种情况： ①当BP＝AB时， ∵AD⊥BC， ∴AB＝＝， ∴BP＝AB＝； ②当BP＝AP时，P是BC的中点， ∴BP＝AB＝2.5； ③当AP＝AB时，BP＝2BD＝2； 综上所述：BP的长为或2或2.5． 【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4.如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又 是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 题型05：利用勾股定理的逆定理求角度 【例7】如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【跟踪训练】 1.如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 °． 【答案】135° 【分析】由已知可得AB=BC，从而可求得∠BAC的度数.设AB＝2x ，通过计算证明AC2+AD2=CD2，从而证得△ACD是直角三角形，即可得到∠DAC=90°，从而求得∠DAB的度数． 【详解】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°， ∴AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=45°， ∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x, ∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2 又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2 ∴AC2= CD2-AD2 ∵AC2+AD2=CD2 ∴△ACD是直角三角形， ∴∠DAC=90°， ∴∠DAB=45°+90°=135°． 故答案是：135°. 【点睛】此题主要考查学生对逆定理的理解和运用能力，正确得出∠DAC=90°是解题关键． 2.如图，在中，，，是内的一点，且，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键． 将绕点旋转，根据旋转的性质可得出，根据勾股定理可证出，从而可得出答案． 【详解】如图，将绕点旋转，得，连接， 由旋转的性质可知：，， ∴，，， ∴，且， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 题型06：利用勾股定理的逆定理求面积 【例8】如图，已知四边形中，，求四边形的面积. 【答案】234 【分析】 连接AC，如图，先根据勾股定理求出AC，然后可根据勾股定理的逆定理得出∠D=90°，再利用S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD求解即可． 【详解】 解：连接AC，如图，∵， ∴， ∵AD2+CD2=242+72=625，AC2=252=625， ∴AD2+CD2=AC2， ∴∠D=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=． 【点睛】 本题考查了勾股定理及其逆定理，属于常见题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【跟踪训练】 1.如图，在四边形中，．    (1)求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且，再分别求出，，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理．证明为直角三角形是解题关键． 2.如图，有一块四边形花圃，该花圃的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，根据勾股定理逆定理判定直角三角形，本题中判断是直角三角形是解题的关键． 连接，根据解直角求的长度，求证为直角三角形，根据四边形的面积面积面积即可计算． 【详解】如图，连接．      ， ， ， 在中，∵， ， 为直角三角形，且， ∴的面积， ∵四边形的面积． 故答案为：24． 3．如图所示的一块地，已知，，，，，求这块地的面积． 【解答】解：连接． ，，， ，为直角三角形 ， ， 这块地的面积． 4.已知：如图，四边形中，，，，，．求：四边形的面积． 【解答】解：过作，交于点， 又，四边形是平行四边形，，， ，， ，，是直角三角形，， 四边形的面积是：． 5.如图，中，已知，是上的一点，，，． （1）判断的形状并证明你的结论． （2）求的面积． 【解答】解：（1）是直角三角形，理由如下： ，是直角三角形． （2）设，则， 为直角三角形，，解得，． 题型07：利用勾股定理的逆定理证明 【例9】如图，、分别是正方形中和边上的点，且，，为的中点，连接、，问是什么三角形？请说明理由． 【解答】解：，，，， 为的中点，，， ，．．是直角三角形． 【例10】直角三角形中两个直角边为，，斜边为，斜边上的高为，那么，，为三边构成的三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【解答】解：根据题意可知：，， ，， ，三角形是直角三角形．故选：． 【跟踪训练】 1．如图，在中，为边上的高，，，，求证：是直角三角形． 【解答】证明：是边上的高，，，， ，，， ， 是直角三角形． 2.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长； （2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形． 【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC＝＝＝5； （2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5， ∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2， ∴△BCD是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键． 3.如图，在中，是边上的中线，且有． （1）探究是否为直角三角形； （2）证明你的结论． 【解答】解：（1）是直角三角形； （2）延长至，使得， 与互相平分，四边形是平行四边形 ，所以，所以为直角， 又四边形是平行四边形，，是直角三角形． 4．已知的三边为、、，且，，，试判定的形状． 【解答】解：，，，是直角三角形． 题型08：勾股定理逆定理的实际应用 【例11】如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， ， ， ， 方案一所修的管道较短． 【跟踪训练】 1.有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．    (1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由； (2)求出洞穴到点D的距离． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)120米 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理计算判断即可； （2）利用直角三角形的性质和面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质和面积公式，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 米，米，米， ， ， ， 即是直角三角形． （2）， ， （米）， 故洞穴到点D的距离是120米． 2.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)是直角三角形，详见解析 (2)2400元 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理求出即可； （2）求出空地面积，即可求出答案． 【详解】（1）是直角三角形， 理由：连接， 在Rt中，，米，米，由勾股定理得：（米）， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）该空地面积（平方米）， 即铺满这块空地共需花费(元)．. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理逆定理的应用，解答此题的关键是求出区域面积． 一、选择题 1．（2024兰生学校八年级练习）下列各组的三个数值，分别以它们为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理．若两条短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形．据此依次判断即可． 【详解】解：A：∵，∴不能构成直角三角形； B：∵，∴不能构成直角三角形； C：∵，∴能构成直角三角形； D：∵，∴不能构成直角三角形． 故选：C 2．（2023秋闵行区期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25 【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形． 【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形； C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，故△ABC为直角三角形； D、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形； 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 3．（2024黄浦区八年级期末）列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案． 【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； B、根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意； C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 4.（2024普陀区八年级期末）当n为正整数时，下列各组数：①3n，4n，5n；②，，；③2n﹣1，2n+1，2n+3．其中是勾股数的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：①∵（3n）2+（4n）2＝9n2+16n2＝25n2，（5n）2＝25n2， ∴（3n）2+（4n）2＝（5n）2， ∵n为正整数， ∴3n，4n，5n都是正整数， ∴3n，4n，5n是勾股数； ②当n为正整数时，不一定是正整数， ∴，，不一定是勾股数； ③∵（2n﹣1）2+（2n+1）2＝8n2+2，（2n+3）2＝4n2+12n+9， ∴（2n﹣1）2+（2n+1）2与（2n+3）2不一定相等， ∴2n﹣1，2n+1，2n+3不一定是勾股数； 故选：A． 5．（2024青浦区八年级期末）如果a，b，c是三角形的三边并且满足：，则三角形的面积是（    ） A．24 B．48 C．12 D．6 【答案】D 【分析】可得，求出a，b，c的值，用勾股定理的逆定理进行判断三角形的形状，即可求解 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ， ， 三角形是以a，b为直角边的直角三角形， ； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方的非负性，勾股定理的逆定理，理解非负性，掌握逆定理是解题的关键． 6．（2023徐汇中学八年级期末）如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 【分析】利用勾股定理求出BC长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出△ABC边BC的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【解答】解：A．∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，正确，不符合题意； D．点A到BC的距离＝2S△ABC÷BC＝2×5÷5＝2，原结论错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题 7.（202格致中学八年级期末）若3、4、a为勾股数，则a的值为（　　） A． B．5 C．5或7 D．5或 【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可． 【解答】解：∵3、4、a为勾股数， ∴当a最大时，此时a＝＝5， 当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数， 故选：B． 8．（2023大同中学八年级期末）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是(    ) A．84 B．87.5 C．168 D．300 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，再利用面积公式求解即可，关键在于熟悉常用的勾股数． 【详解】∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴面积为∶． 故选A． 9．（2024嘉定区八年级期末）如图，已知，，，．则 度．    【答案】45 【分析】根据勾股定理得出，再利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：45． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出BC的长． 10.（2024黄浦区八年级期末）如图所示，，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，求解，证明，延长至，使，连接， 证明为等边三角形，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 延长至，使，连接，而 ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的应用，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11.（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 12．（2024松江区八年级期末）三角形的三边长为，则它最长边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可． 【详解】解：∵， ∴此三角形是直角三角形， 设最长边上的高为， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 13．（2022上·上海长宁·八年级校考期末）已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∴其面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 14.（2023上·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）已知三角形的三边长分别为、、，那么这个三角形形状是 . 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴这个三角形形状是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 15．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【解题过程】 解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 16．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上． 【思路点拨】 此题考查了勾股定理的逆定理和方位角的表示，首先根据勾股定理的逆定理求出，然后利用方位角求解即可． 【解题过程】 解：根据题意得， ∵，， ∴ ∴ 如图所示，当点B在下方时， ∴ ∴岛B在岛C的南偏东方向上； 如图所示，当点B在上方时， ∴ ∴岛B在岛C的北偏西方向上； 综上所述，岛B在岛C的南偏东或北偏西方向上． 故答案为：南偏东或北偏西． 3、 解答题 17．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】对于（1），连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案； 对于（2），根据两个三角形的面积和求出答案即可． 【详解】（1）连接，如图所示． ∵，， ∴， 根据勾股定理得， 在中，， ∴是直角三角形，且， ∴；    （2）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键． 18．（2024浦东新区八年级期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积． 【答案】234 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积． 【详解】解：连接如图所示： ，，， ； 在中， ，，， ，即， 是直角三角形． ； 即绿地的面积为234． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 19.（2024奉贤区八年级期末）如图，某公园有一块四边形草坪，计划修一条到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路的长； （2）萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？ （1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与萌萌的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 ∴当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与萌萌的距离最近． 20.（2024金山区八年级期末）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，，，，，又已知．求这块土地的面积．    【答案】这块土地的面积为36平方米． 【分析】连接，由勾股定理求得，然后勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，进而根据，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， 则， 因此是直角三角形，， （平方米）， 答：这块土地的面积为36平方米． 【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解答此题的关键． 21．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． (1)在图中画一个锐角三角形，且面积为； (2)在图中画一个等腰直角三角形； (3)在图中画一个面积为的钝角三角形． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】本题考查了网格与勾股定理，三角形的分类，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形面积和网格特征即可画出图形； （）根据网格与勾股定理及逆定理即可求解； （）根据网格特征及钝角三角形的定义即可画出图形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴即为所求； （2）解：如图， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴即为所求； （3）解：如图， ∴， ∴即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题26 勾股定理的逆定理 知识点一 勾股定理的逆定理 1.定理：如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 (1)如果用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形，则其中最长边所对的角是直角，不能简单地认为边所对的角必是直角.例如:当时,则边所对的角是直角，我们一般记作：大边对大角或者大角对大边，不要简单地用字母对应边. (2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”. 2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤 (1)找:确定三角形的最长边； (2)算:分别计算出最长边的平方与另两边的平方和; (3)比:通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； (4)判:作出结论,若相等,则说明这个三角形是直角三角形,否则不是直角三角形. 3.股定理与其逆定理的联系与区别 (1)勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论互换; (2)勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定 拓展 三角形的三边长分别是(其中是最长边) (1)若,则这个三角形是直角三角形; (2)若 ,则这个三角形是钝角三角形; (3)若,则这个三角形是锐角三角形. 知识点二 勾股数 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数 【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 2.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 3.勾股数的求法 ①倍数型勾股数： ②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数） 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 …… ③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数） 知识点三 勾股定理逆定理的应用 1.判定三角形是否直角三角形； 2.构造判断直角三角形，求三角形的边长、角度、面积 3.实际应用。 题型01：直角三角形的判定 【名师点拨】判定三角形为直角三角形的方法 (1)用角判断: ①两个锐角互余的三角形是直角三角形; ②有一个角是 90°的三角形是直角三角形. (2)用边判断:如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断 【例1】以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26 【例2】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【跟踪训练】 1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1) 6，8，10； (2) 5，12，13； (3) 8，15，17； (4) 4，5，6，其中能构成直角三角形的有 ( ) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 2.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 3.已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型02：在网格中判断直角三角形 【例3】如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【跟踪训练】 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，试判断的形状并说明理由 2．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． (1)在图1中，画一个以为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； (2)在图2中，画一个以为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 题型03：勾股数 【名师点拨】判断勾股数的方法步骤是什么？ (1) 确定三个数是正整数; (2) 确定出最大数与另外两个较小的数,计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和; (3)进行比较,若相等,则是勾股数,否则不是 【例4】下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D． 【例5】【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）； 当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）； 当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）． （1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝　　，弦＝　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形． 【跟踪训练】 1.下列各组数中不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．11，60，61 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　　． 4.同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． （1）请你写出另外两组勾股数：6，　　，　　；7，　　，　　； （2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数 （Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数 ①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数； ②请你任选其中一个法则证明它的正确性． 5．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　　； （2）若第一个数用字母为奇数，且表示，那么后两个数用含的代数式分别表示为　　和　　，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 7.满足方程的正整数、、，我们称它们为勾股数． （1）已知，，，请证明、、是一组勾股数； （2）求有一个数是16的一组勾股数． 题型04：利用勾股定理的逆定理求长度 【例6】如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【跟踪训练】 1．（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为 　　cm． 2.如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 3.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4． （1）求证：∠BAC＝90°； （2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长． 4.如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 题型05：利用勾股定理的逆定理求角度 【例7】如图，，，，，求的度数． 【跟踪训练】 1.如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 °． 2.如图，在中，，，是内的一点，且，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型06：利用勾股定理的逆定理求面积 【例8】如图，已知四边形中，，求四边形的面积. 【跟踪训练】 1.如图，在四边形中，．    (1)求的长． (2)求四边形的面积． 2.如图，有一块四边形花圃，该花圃的面积为 ． 3．如图所示的一块地，已知，，，，，求这块地的面积． 4.已知：如图，四边形中，，，，，．求：四边形的面积． 5.如图，中，已知，是上的一点，，，． （1）判断的形状并证明你的结论． （2）求的面积． 题型07：利用勾股定理的逆定理证明 【例9】如图，、分别是正方形中和边上的点，且，，为的中点，连接、，问是什么三角形？请说明理由． 【例10】直角三角形中两个直角边为，，斜边为，斜边上的高为，那么，，为三边构成的三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【跟踪训练】 1．如图，在中，为边上的高，，，，求证：是直角三角形． 2.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 3.如图，在中，是边上的中线，且有． （1）探究是否为直角三角形； （2）证明你的结论． 4．已知的三边为、、，且，，，试判定的形状． 题型08：勾股定理逆定理的实际应用 【例11】如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 【跟踪训练】 1.有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．    (1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由； (2)求出洞穴到点D的距离． 2.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 一、选择题 1．（2024兰生学校八年级练习）下列各组的三个数值，分别以它们为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，， 2．（2023秋闵行区期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25 3．（2024黄浦区八年级期末）列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 4.（2024普陀区八年级期末）当n为正整数时，下列各组数：①3n，4n，5n；②，，；③2n﹣1，2n+1，2n+3．其中是勾股数的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．②③ 5．（2024青浦区八年级期末）如果a，b，c是三角形的三边并且满足：，则三角形的面积是（    ） A．24 B．48 C．12 D．6 6．（2023徐汇中学八年级期末）如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 二、填空题 7.（202格致中学八年级期末）若3、4、a为勾股数，则a的值为（　　） A． B．5 C．5或7 D．5或 8．（2023大同中学八年级期末）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是(    ) A．84 B．87.5 C．168 D．300 9．（2024嘉定区八年级期末）如图，已知，，，．则 度．    10.（2024黄浦区八年级期末）如图所示，，，，，，则（    ）   A． B． C． D． 11.（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（2024松江区八年级期末）三角形的三边长为，则它最长边上的高为 ． 13．（2022长宁·八年级期末）已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是 ． 14.（2023上·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）已知三角形的三边长分别为、、，那么这个三角形形状是 . 15．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上． 3、 解答题 17．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 18．（2024浦东新区八年级期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积． 19.（2024奉贤区八年级期末）如图，某公园有一块四边形草坪，计划修一条到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路的长； （2）萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？ 20.（2024金山区八年级期末）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，，，，，又已知．求这块土地的面积．    21．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． (1)在图中画一个锐角三角形，且面积为； (2)在图中画一个等腰直角三角形； (3)在图中画一个面积为的钝角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$