精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州咸丰县2024-2025学年八年级下学期期末调研考试数学试题卷

湖北省恩施土家族苗族自治州咸丰县2024-2025学年八年级下学期 期末调研考试数学试题卷 本试卷满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 计算的结果是( ) A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9 2. 下列图象，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（ ） A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间 4. 成立的条件是（ ） A B. C. D. 5. 某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差如表所示．如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 1 1.2 1.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 的三边分别为，，，下列条件：①；②；③．其中能判断是直角三角形的条件有（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 如图，直线与交点的横坐标为-2，则关于的不等式的取值范围（ ） A. x>-2 B. x<-2 C. -3<x<-2 D. -3<x<-1 8. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加条件是（ ） A. B. C. D. 9. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 12. 如图，、两地相距360千米，甲从地去地，甲出发3小时后，乙从地去地，两车同时到达各自的目的地，两车的路程之和（千米）与甲行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示．下列说法： ①甲车的速度为40千米/时，的值为360； ②乙出发后与的关系式为； ③乙的速度是60千米/时； ④当甲乙相距200千米时，甲车行驶的时间是3.4小时或7.4小时． 其中正确的是（ ） A ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为_____． 14. 李明同学进行射击练习，一发子弹打中5环，四发子弹各打中8环，四发子弹各打中9环，一发子弹打中10环，则他射击的平均成绩是______环． 15. 如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中有一个边长为的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则点的坐标为_____． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知，，求的值． 18. 如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°． （1）求证：AC∥DE； （2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由． 19. “中国汉字听写大会”是由中央电视台和国家语言文字工作委员会联合主办的节目，希望通过节目的播出，能吸引更多的人关注对汉字文化的学习．某校开展了一次“汉字听写”比赛，每位参赛学生听写40个汉字．比赛结束后随机抽取部分学生的听写结果，按听写正确的汉字个数x绘制成的两幅不完整的统计图如图． 根据以上信息回答下列问题： （1）本次共随机抽取了______名学生的听写结果，听写正确的汉字个数在______范围的人数最多； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，请计算所对应的扇形圆心角的大小； （4）若该校共有1200名学生，如果听写正确的汉字个数不少于21个定为良好，请你估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：y＝x+m与直线交于点A（3，﹣2），直线与x轴交于点C（﹣3，0），与y轴交于点B，将直线向上平移5个单位长度得到直线，与y轴交于点D，与交于点E，连接AD． （1）求直线的解析式； （2）求四边形ABDE的面积． 21. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表，则 ， ； … 0 1 2 3 … … 0 1 … （2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出一条函数的性质： ； （4）根据函数图象填空： ①方程有 个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 22. 某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，购买3台空调和2台电冰箱共需8800元． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱台，则该商店要获得最大利润应如何进货？ 23. 正方形中，点G是边上任意一点，于E，交于F． （1）若点为的中点，，，求的长； （2）求证：． 24. 如图，矩形纸片ABCD置于坐标系中，ABx轴，BCy轴，AB＝4，BC＝3，点A（﹣3，4），翻折矩形纸片使点D落在对角线AC上的H处，AG是折痕． （1）求DG的长； （2）在x轴上是否存在点N，使BN+DN值最小，若存在，求出这个最小值及点N的坐标；若不存在．请说明理由； （3）点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C时停止运动，是否存在一点P，使△PBM是等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省恩施土家族苗族自治州咸丰县2024-2025学年八年级下学期 期末调研考试数学试题卷 本试卷满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 计算的结果是( ) A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9 【答案】A 【解析】 【分析】根据公式进一步计算即可. 【详解】∵， 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，熟练掌握相关公式是解题关键. 2. 下列图象，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案． 【详解】A．对每一个x的值，不是都有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象； B．对每一个x的值，不是都有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象； C．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象； D．对每一个x的值，不是都有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象． 故选：C． 3. 如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（ ） A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及无理数的估算，实数与数轴，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度确定圆的半径，再结合点的坐标求出点C的横坐标并进行估算． 构造直角三角形，利用勾股定理计算 的长度，得到圆的半径；根据点A的坐标和半径，确定点C的横坐标表达式；估算无理数的大小，判断横坐标所在的范围． 【详解】∵是直角三角形， ∴， ∴，即． ∴， 因点C在x轴的负半轴上，则点C的横坐标为， ∵，即， ∴， ∴，即， 故选：A． 4. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数必须非负，且等式两边相等需满足各自根号下的表达式均非负，据此求解. 【详解】由题意，得 ， 解得：， 故选：B. 5. 某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差如表所示．如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 1 1.2 1.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙． 【详解】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定， 因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，选择乙， 故选：B． 6. 的三边分别为，，，下列条件：①；②；③．其中能判断是直角三角形的条件有（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理以及三角形三边的关系等知识，根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理以及三角形三边的关系，逐一分析三个条件是否成立即可. 【详解】①∵，且， 代入得：，即， ∴，故为直角三角形，条件①成立； ②∵， 整理得：， 由勾股定理逆定理，是以为直角的直角三角形，条件②成立； ③设，，， 则：，不满足三角形三边不等式（两边之和需严格大于第三边）， 故无法构成三角形，条件③不成立， 综上，满足条件的个数为2个， 故选：C. 7. 如图，直线与的交点的横坐标为-2，则关于的不等式的取值范围（ ） A. x>-2 B. x<-2 C. -3<x<-2 D. -3<x<-1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为﹣2， ∴关于x的不等式的解集为x＜﹣2， ∵y=x+3=0时，x=﹣3， ∴x+3＞0的解集是x＞﹣3， ∴＞0的解集是﹣3＜x＜﹣2， 故选C． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系． 8. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形． 【详解】解：如图所示，连， ∵、、、为四边形各中点， ∴，；，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形菱形，则， 而， ∴． 当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、D选项错误； 当，能判断四边形为矩形，故C选项正确； 当，可判断四边形为菱形，故B选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 9. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，化简二次根式，解题的关键是将二次根式化简成最简二次根式以及理解同类二次根式的定义． 分别化简，与是同类二次根式的二次根式才能合并． 【详解】A．，与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； B．，与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； C．，与是同类二次根式，可以合并，符合题意； D．，与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意． 故选：C． 10. 如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，过点C作CD⊥x轴于点D，则△CAD≌△ABO，利用全等三角形的性质可求出AD，CD的长，再结合点C所在的位置，即可得出点C的坐标． 详解】解：当x=0时，y=×0+3=3， ∴点B的坐标为（0，3）， ∴OB=3； 当y=0时，x+3=0， 解得：x=-4， ∴点A的坐标为（-4，0）， ∴OA=4． 如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAC=90°． ∵∠CAD+∠BAC+∠BAO=180°， ∴∠CAD+∠BAO=90°， 又∵∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠CAD=∠ABO， 在△CAD和△ABO中， ∴△CAD≌△ABO（AAS）， ∴AD=BO=3，CD=AO=4， ∴点C的坐标为（-7，4）． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，利用全等三角形的性质及点C所在的位置，找出点C的坐标是解题的关键． 11. 如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC，再证四边形ABFQ是矩形，得AB=FQ=DC=4，求出EQ=FQ=4，即可得出答案． 【详解】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQA=∠FQD=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC， ∴四边形ABFQ、四边形CDQF都是矩形， ∴AB=FQ=DC=4，QD=CF， 由题意得：AE=CF， ∴AE=QD， ∵ADBC， ∴∠QEF=∠BFE=45°， ∴△QEF是等腰直角三角形， ∴EQ=FQ=4， ∴AE=QD=×（10-4）=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 12. 如图，、两地相距360千米，甲从地去地，甲出发3小时后，乙从地去地，两车同时到达各自的目的地，两车的路程之和（千米）与甲行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示．下列说法： ①甲车的速度为40千米/时，的值为360； ②乙出发后与的关系式为； ③乙的速度是60千米/时； ④当甲乙相距200千米时，甲车行驶的时间是3.4小时或7.4小时． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图像和性质依次判断即可． 【详解】解：∵当甲的速度是40千米/小时，360÷40=9， ∴当甲出发9小时时，甲乙二人同时到达目的地， ∴a=360 +360=720（千米），即①错误； 设乙车出发后，y与x的函数关系式为：y=kr+b，代入点（3，120）、（9，720）得： ，解得： ∴y=100x-180，即②正确； ∴360÷（9-3）=60（千米/小时），即③正确； 当两车相遇前相距200千米时，40x+（x-3）×60+200=360，解得：x=3.4（小时） 当两车相遇后相距200千米时，40x+（x-3）×60-200=360，解得：x=7.4（小时） 即④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意、读懂函数图像是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．先估算出a、b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2. 14. 李明同学进行射击练习，一发子弹打中5环，四发子弹各打中8环，四发子弹各打中9环，一发子弹打中10环，则他射击的平均成绩是______环． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平均数；根据题意再结合平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 15. 如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】连接，，设与交于点，根据勾股定理的逆定理先证明是等腰直角三角形，从而可得，再根据题意可得，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，，设与交于点， 由题意得： ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线． 16. 如图，在平面直角坐标系中有一个边长为的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律，正方形的性质，勾股定理；根据勾股定理求出的长，利用正方形的每一条对角线都把它分成两个全等的等腰直角三角形得出的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转，边长都乘以，所以可得出的坐标． 【详解】解：正方形边长为， ，， 正方形是正方形的对角线为边， ， 点坐标为， 同理可知， 点坐标为， 根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转，边长都乘以， 点在第四象限的角平分线上， ， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标为 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的除法法则、负整数指数幂的运算法则计算； （2）根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 将，代入上式中 原式 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算、二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 18. 如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°． （1）求证：AC∥DE； （2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BCEF是平行四边形 【解析】 【详解】⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB， ∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE； ⑵四边形BCEF是平行四边形． 理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°， 又∠EDC=∠CAB，AB=CD， ∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由⑴得AC∥DE， ∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD=EF， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC， ∴EF∥BC且EF=BC， ∴四边形BCEF是平行四边形． 19. “中国汉字听写大会”是由中央电视台和国家语言文字工作委员会联合主办的节目，希望通过节目的播出，能吸引更多的人关注对汉字文化的学习．某校开展了一次“汉字听写”比赛，每位参赛学生听写40个汉字．比赛结束后随机抽取部分学生的听写结果，按听写正确的汉字个数x绘制成的两幅不完整的统计图如图． 根据以上信息回答下列问题： （1）本次共随机抽取了______名学生的听写结果，听写正确的汉字个数在______范围的人数最多； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，请计算所对应的扇形圆心角的大小； （4）若该校共有1200名学生，如果听写正确的汉字个数不少于21个定为良好，请你估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数． 【答案】（1）50； （2）见解析 （3） （4）720人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体； （1）根据一组的人数是10，所占的百分比是即可求得调查的总人数，根据扇形统计图中每个扇形的圆心角的大小即可判断哪个范围的人数最多； （2）根据被百分比的意义即可求得一组的人数，进而求得一组的人数，从而补全直方图即可； （3）用，计算即可； （4）利用总人数乘以对应的比例即可求解． 【小问1详解】 解：（名）， 根据扇形统计图得，听写正确的汉字个数在范围的人数最多． ∴本次共随机抽取了50名学生的听写结果，听写正确的汉字个数在范围的人数最多． 故答案为：； 【小问2详解】 解：的人数为：（名）， 的人数：， 频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：所对应的扇形圆心角度数为：． ∴所对应的扇形圆心角度数为． 【小问4详解】 解：人． 答：估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数为720人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：y＝x+m与直线交于点A（3，﹣2），直线与x轴交于点C（﹣3，0），与y轴交于点B，将直线向上平移5个单位长度得到直线，与y轴交于点D，与交于点E，连接AD． （1）求直线的解析式； （2）求四边形ABDE的面积． 【答案】（1）直线的解析式为y＝﹣x﹣1 （2）四边形ABDE的面积为22.5 【解析】 【分析】（1）由待定系数法可求出答案； （2）求出D和E点的坐标，由，利用三角形面积公式可得出答案． 【小问1详解】 设直线的解析式为y＝kx+b， ∵直线l2与x轴交于点C（﹣3，0），过点A（3，﹣2）， ∴， ∴， ∴直线的解析式为y＝﹣x﹣1； 【小问2详解】 ∵直线：y＝x+m与直线l2交于点A（3，﹣2）， ∴4+m＝﹣2， ∴m＝﹣6， ∴直线的解析式为y＝x﹣6， ∵将直线向下平移5个单位长度得到直线， ∴直线l3的解析式为y＝﹣x+4， ∵直线与y轴交于点D， ∴在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4， ∴D（0，4）， ∵直线与y轴交于点B， ∴B（0，﹣1）， ∴BD＝5， ∵点A（3，﹣2）， ∴＝＝＝7.5， 由 解得， ∴E（6，2）， ∵， ∴＝•BD•6＝×5×6＝15， ∴＝7.5+15＝22.5． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，两直线交点坐标的求法，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 21. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表，则 ， ； … 0 1 2 3 … … 0 1 … （2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出一条函数的性质： ； （4）根据函数图象填空： ①方程有 个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） （4）①2；② 【解析】 【分析】（1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论． 【小问1详解】 将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 【小问2详解】 根据表格描点、连线，如图所示： 【小问3详解】 观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 【小问4详解】 ①观察图象可知， 的图像与有两个交点， 故方程有2个解； ②观察图象可知，图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 【点睛】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． 22. 某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，购买3台空调和2台电冰箱共需8800元． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱台，则该商店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】（1）每台冰箱进价为2000元；每台空调进价为1600元 （2）购进电冰箱33台，空调67台 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出一次函数解析式． （1）设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，根据购买3台空调和2台电冰箱共需8800元，列出方程，解方程即可； （2）设购进电冰箱台，则购进空调台，利润为元．得出一次函数解析式，然后根据一次函数增减性进行解答即可． 【小问1详解】 解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元， ， 解得：， （元）， 每台空调进价1600元，每台电冰箱进价为2000元． 【小问2详解】 解：设购进电冰箱台，则购进空调台，利润为元． ， ， 随的增大而减小， ， 当时，有最大值， 即购进电冰箱33台，空调67台时，利润最大． 23. 正方形中，点G是边上任意一点，于E，交于F． （1）若点为的中点，，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）证明，推出，由勾股定理求得，，根据求解即可； （2）证明，从而得到，便得到了． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵为的中点，，， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 24. 如图，矩形纸片ABCD置于坐标系中，ABx轴，BCy轴，AB＝4，BC＝3，点A（﹣3，4），翻折矩形纸片使点D落在对角线AC上的H处，AG是折痕． （1）求DG的长； （2）在x轴上是否存在点N，使BN+DN的值最小，若存在，求出这个最小值及点N的坐标；若不存在．请说明理由； （3）点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C时停止运动，是否存在一点P，使△PBM是等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）DG的长为 （2）存在，BN+DN的最小值为，点N的坐标为（﹣，0） （3）存在，点P的坐标为（﹣，4）或（1﹣，4）或（﹣1，4）或（1，）或（1，4﹣） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得DG＝GH，设DG的长度为x，在Rt△HGC中，利用勾股定理求出x的值； （2）作点D关于x轴的对称点，连接B与x轴交于一点N，这个就是所求的点，利用勾股定理求出此时BN+DN的值即可，利用待定系数法求出直线B的解析式，即可得点N的坐标； （3）求出AC的解析式，可得M（0，），则QM＝4﹣＝，BM＝＝．分两种情况：①当点P在线段AB上时，设P（a，4），②当点P在线段BC上时，设P（1，c），利用勾股定理表示出PM，PB，根据等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得，DG＝GH，AD＝AH＝3，GH⊥AC， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝5， 设DG的长度为x， ∴CG＝4﹣x，HC＝AC﹣AH＝5﹣3＝2， 在Rt△CHG中，， ， 解得：x＝， 即DG的长为； 【小问2详解】 如图，作点D关于x轴的对称点，连接B与x轴交于一点N，此时BN+DN的值最小，最小值为B的长， ∵ABx轴，BCy轴，AB＝4，BC＝3，点A（﹣3，4）， ∴点B（1，4），D（﹣3，1）， ∴（﹣3，﹣1）， ∴A＝5， ∴BN+DN＝BN+N＝B＝＝＝， 即BN+DN的最小值为， 设直线B的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线B的解析式为y＝x+， 当y＝0时，x+＝0，解得x＝﹣， ∴N（﹣，0）； ∴存在，BN+DN的最小值为，点N的坐标为（﹣，0）； 【小问3详解】 由题意得A（﹣3，4），C（1，1）， 设直线AC的解析式为y＝ax+c， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+， 当x＝0时，y＝， ∴M（0，）， ∴QM＝4﹣＝， ∴BM＝＝． 分两种情况： ①当点P在线段AB上时， 设P（m，4）， ∴，PB＝1﹣m，， 若，则＝， 解得m＝﹣， ∴（﹣，4）； 若，则＝1﹣m， 解得m＝1﹣， ∴（1﹣，4）； 若， ∵MQ⊥AB， ∴BQ＝Q＝1， ∴（﹣1，4）； ∴当点P在线段AB上时，点P的坐标为（﹣，4）或（1﹣，4）或（﹣1，4）； ②当点P在线段BC上时， 设P（1，n）， ∴，PB＝4﹣n，， 若，则＝， 解得n＝， ∴（1，）； 若＝BM，则＝4﹣n， 解得n＝4﹣， ∴（1，4﹣）； ∴当点P在线段BC上时，点P的坐标为（1，）或（1，4﹣）； 综上所述，点P的坐标为（﹣，4）或（1﹣，4）或（﹣1，4）或（1，）或（1，4﹣）． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的性质以及利用待定系数法求函数解析式等知识，知识点较多，难度较大，解答本题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $