精品解析：江苏省泰州市2025届高三第四次调研测试数学试题

泰州市2025届高三第四次调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：王光华 缪鑫 谷灿远 杨元军 审题人：吴春胜 杨华 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解对数不等式求出集合，再求即可. 【详解】由，得，所以，即， 所以. 故选：D 2. 若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数z，再根据共轭复数和模的定义求解. 【详解】， 所以，且. 故选：B 3. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将题干条件平方处理，得出，然后对待求表达式也平方处理即可得解. 【详解】由，则， 解得，于是， 故. 故选：B 4. 设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 5. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【详解】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为. 故选：C 6. 已知一个密码箱的密码锁由三位数字组成（从左至右排列），甲、乙、丙、丁各尝试拨了一个密码，依次为768，749，857，316．若甲拨的密码中1个数字正确，且它的位置也正确；乙拨的密码中1个数字正确，但它的位置不正确；丙拨的密码中2个数字正确但它们的位置都不正确；丁拨的密码中所有数字都不正确.请根据提供的信息，判断该密码箱的密码为（ ） A. 548 B. 598 C. 965 D. 985 【答案】B 【解析】 【分析】从丁猜的结果先排除密码中的1,3,6，根据甲乙猜的首位都有7可知7不在百位，然后结合乙丙的情况分析. 【详解】丁拨的密码316都不正确，说明正确密码中不含有1,3,6三个数字. 因此甲拨的密码768中，6是错误数字， 而甲乙都猜7是百位说明百位不是7，否则和乙的结果矛盾， 故甲猜中的8是个位，且6,7都是错误数字； 故丙猜中的除了8只能是5，则5只能是百位， 此时乙猜的749对于5_8有猜对的数字但位置不对，只能是598； 故选：B 7. 在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出外接圆的半径，再根据三棱锥的特征找出球心与外接圆圆心的位置关系，进而求出球的半径，最后根据球的表面积公式求出球的表面积. 【详解】已知，，由余弦定理得： 所以， 由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故， 由于侧棱长， 则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则， 设，由勾股定理，即，解得：， 则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上， 设到的距离为，则， ，因，故，解得：， 所以球的半径，表面积为. 故选：D. 8. 已知函数．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过对变量替换，即令，将原函数变为，通过求导判断的单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为，最终求解一元二次不等式. 【详解】令，则原函数可改写为：， 定义辅助函数，则， 由，故是奇函数， ，又（当且仅当时取等号），且,, 因此，在上严格递增， 原不等式转化为：，即， 因为为奇函数，即，所以， 又在上严格递增，故，所以，得， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6的上四分位数为 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量X服从正态分布，，则 D. 已知x，y之间存在关系式，设，若x，z之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由百分位数的定义判断即可；对于B，由二项分布的知识判断即可；对于C，由正态分布的对称性验算即可；对于D，由线性回归的相关知识判断即可. 【详解】对于A，将6个数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，而， 从而数据1，2，3，4，5，6的上四分位数为从将6个数据从小到大排列后的第5个数据，即为5，故A错误； 对于B，因为，解得，故B正确； 对于C，设，若随机变量X服从正态分布， 则，即，解得， 所以，故C正确； 对于D，由题意，所以，则，故D错误. 故选：BC. 10. 在平面直角坐标系中，点在椭圆上，点A和点B处的椭圆C的切线相交于点P，延长分别交圆于，．设直线的斜率分别为．到直线的距离分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 点P在圆O上 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】本题需综合运用椭圆切线方程、向量垂直条件、点到直线距离公式及斜率关系等知识,解题步骤分为验证点P在圆上、计算距离乘积、分析斜率乘积及判断直线平行性. 【详解】对于A,由椭圆的蒙日圆性质，对于椭圆， 从椭圆上任意两点引出的切线互相垂直时，两切线交点的轨迹是以原点为圆心， 半径为的圆，所以在椭圆C：中，， 又，即，所以蒙日圆方程为， 即圆O：,所以点P在圆O上，所以A选项正确； 对于B,设，由椭圆的切点弦方程可知：直线的方程为， 用点到直线距离公式计算： ，将代入化简： 所以B选项错误； 对于C,设,直线的斜率，直线的方程为， 所以直线的斜率为，则， 所以C选项错误； 对于D,如图： 设与交于点，设，的中点N， 由点差法可知，所以，故三点共线， 所以M与N重合， 易知和都是直角三角形，故过圆心O， 由直角三角形的性质可知：， 则，所以，所以， 故选项D正确. 故选:AD. 11. 如图，正方体的棱长为3，动点P在正方体内及其表面上运动，点E在棱AD上，且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，则三棱锥的体积为定值 B. 棱上存在点P，使得平面 C. 若，则动点P所围成的图形的面积为 D. 若动点P在正方形ABCD内，，则线段BP的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题目及选项A的条件得出点P的轨迹，再根据线面平行的判定定理及性质即可判断选项A；结合正方体的性质及面面平行的性质可判断选项B；根据正方体的性质、线面垂直的判定定理及性质可得出点P的轨迹，进而可判断选项C；先在底面ABCD中建立平面直角坐标系，求出动点P的轨迹，再借助圆的知识可判断选项D. 【详解】对于选项A： 因为动点P在正方体内及其表面上运动，且，， 所以点P在线段上. 由正方体性质可得：. 因为平面，平面， 所以平面， 则点到平面距离等于点P到平面距离， 所以三棱锥的体积即为三棱锥的体积，即三棱锥的体积为定值，故选项A正确； 对于选项B： 由正方体性质可得：平面平面. 因为点E在棱AD上，且，点P在棱上， 所以直线平面， 则直线与平面相交， 所以棱上不存在点P，使得平面，故选项B错误； 对于选项C： 由正方体性质可得：，. 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，动点P在正方体内及其表面上运动， 所以点P轨迹为矩形. 又因为正方体的棱长为3， 所以， 则动点P所围成的图形的面积为，故选项C正确； 对于选项D： 在底面ABCD中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，. 因为动点P在正方形内， 所以设点坐标为，，且. 则，. 由正方体性质可得：平面， 因为平面， 所以, 则. 又因为， 所以，整理得：， 所以动点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，且在正方形内的一部分. 因为， 所以线段BP的最小值为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据裂项相消求和法可得. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，直线l与抛物线的准线相交于点N，若，则与的面积之比为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别过作准线的垂线，，由，可得点的坐标，进而可得直线的方程，与抛物线联立可得点坐标，利用即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设， ∵,∴， ∴，不妨取点， 又∵，∴直线的斜率， ∴直线的方程为. 由，得，则 ∴，，. ∴， 过，两点分别作准线的垂线，垂足分别为，， 由∽，所以， ∴与的面积之比为. 故答案为：. 14. 已知锐角，满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式及弦切互化得，从而利用二倍角的正弦公式和余弦公式化简得，最后根据为锐角及正弦函数的性质求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 因为为锐角，所以两边同除得， 所以. 因为为锐角，所以当时，有最大值为1，此时取到最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若a=2，的面积为，求b，c的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得 . 因为， 所以. 由于， 所以. 又，故. 【小问2详解】 由题得的面积，故①. 而，且，故②， 由①②得. 16. 已知函数的图象经过点，函数在处有极值，且． （1）求函数的解析式； （2）若（且），求的极大值. 【答案】（1） （2） 当时，的极大值为； 当时，的极大值为． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据题目条件列出等式求解出，，，得出；最后利用导数求出函数极值进行验证. （2）先根据（1）中结论和题目条件得出，求出导函数；再根据和分两种情况讨论，分别利用导数判断函数的单调性求出极大值即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 由函数的图象经过点，可得：， 由函数在处有极值，可得：且， 由，可得：， 以上式子联立，解得：，，， 故，， 令，解得：或；令，解得：， 则函数在内单调递增；在内单调递减；在内单调递增， 故在处取极小值，符合题意， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以，，， 则. 令，解得：，. 当时，有， 令，解得：或；令，解得：， 此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为. 当时，有， 令，解得：或；令，解得：， 此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为. 综上可得：当时，的极大值为； 当时，的极大值为． 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. （1）求双曲线E的方程； （2）过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） 如图： 设直线l：，由 得，① 所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点， 所以，且，故， 设圆P：，，由， 得，② 由双曲线的右顶点D在圆上得， 由①②得. 由，可得③ 由，可得④ 所以3④③可得，即． 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入方程计算即可. （2）假设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得斜率范围，然后假设圆的方程，并于双曲线方程联立，最后将联立之后的两方程系数对应成比例，计算即可. 【小问1详解】 因为，在双曲线E上， 所以，故，所以E的标准方程为． 【小问2详解】 略 18. 已知四棱柱的各棱长均为2，，，，． （1）证明：； （2）请从下列条件①，条件②，条件③中选出两个作为已知条件，使得点G的位置确定． （i）求λ的值； （ii）求直线GB与平面所成的角的正弦值． 条件①：三棱锥的体积为1； 条件②：； 条件③：二面角的余弦值为． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）取AD中点O，连接，BO，通过证明AD⊥平面得到 （2）若选①③：利用，可求出，得到，OA⊥OB， （i）以O为坐标原点，为一组正交基底建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用二面角的余弦值为，求出 （ii）方法1：表示出，设平面的一个法向量为，求出与 夹角的余弦值，得到直线GB与平面所成的角的正弦值. 方法2：连接OG、，证明∠OGB为直线GB与平面所成的角，在Rt△OGB中求解即可. 若选②③：在中，由余弦定理得出，进而得到 ， 中，由余弦定理得，验证满足，得到，OA⊥OB， 后续同选①③一致 若选①②，则点G的位置不确定，与题意不符合． 【小问1详解】 取AD中点O，连接，BO，因为， 所以为正三角形． 所以，又，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面，所以， 【小问2详解】 若选①③： （i）在四棱柱中，点G在棱上， 因为，DG平面，平面， 所以平面，由（1）可知：AD⊥平面， 所以， 所以，即，OA⊥OB， 以O为坐标原点，为一组正交基底建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则令， 则，因为平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为得： ， 即，因为，所以． （ii）方法1： 因为，平面的一个法向量为， 设直线GB与平面所成的角为θ， 则， 所以直线GB与平面所成的角的正弦值为． （ii）方法2： 因为点G为棱中点，连接OG、，因为平面ABCD， 又平面ABCD，所以，又，，平面， ，所以BO⊥平面， 所以为直线GB与平面所成的角， 在中，，所以． 所以直线GB与平面所成角的正弦值为． 若选②③： （i）因为，在中，由余弦定理得， 因为四边形是平行四边形，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，即，， 下同（i）的解法. 若选①②，则点G的位置不确定，与题意不符合． 19. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子（正方体六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）n次，，记第i次抛掷结果向上的点数为（i=1，2，…，n），前m次抛掷结果向上的点数之和为7的概率为（m=1，2，…，n）． （1）求； （2）若t，，t与r互质，． （i）求b的值； （ii）已知正项数列满足，证明：． 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）证明：因为，所以，因为， 所以当时，，所以， 所以，所以， 所以=， 因为， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式求解即可. （2）（i）先求出，再由二项展开式化简，求出t，r即可得解； （ii）由题设条件化简得，据此利用裂项相消法求出即可得证. 【小问1详解】 设事件A：前两次抛掷结果向上的点数之和为7， 因为样本空间，所以， 因为{，，，，，}，所以， 所以． 【小问2详解】 （i）当时，，当时，由（1）得， 当时，因为7=1＋1＋5=1＋2＋4=1＋3＋3=2＋2＋3，所以， 当时，因为7=1＋1＋1＋4=1＋1＋2＋3=1＋2＋2＋2，所以， 当时，因为7=1＋1＋1＋1＋3=1＋1＋1＋2＋2，所以， 当时，因为7=1＋1＋1＋1＋1＋2，所以， 当时，因为7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，所以， 所以 ==， 因为t，r互质，所以，所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰州市2025届高三第四次调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：王光华 缪鑫 谷灿远 杨元军 审题人：吴春胜 杨华 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 5. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 6. 已知一个密码箱的密码锁由三位数字组成（从左至右排列），甲、乙、丙、丁各尝试拨了一个密码，依次为768，749，857，316．若甲拨的密码中1个数字正确，且它的位置也正确；乙拨的密码中1个数字正确，但它的位置不正确；丙拨的密码中2个数字正确但它们的位置都不正确；丁拨的密码中所有数字都不正确.请根据提供的信息，判断该密码箱的密码为（ ） A. 548 B. 598 C. 965 D. 985 7. 在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6的上四分位数为 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量X服从正态分布，，则 D. 已知x，y之间存在关系式，设，若x，z之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则 10. 在平面直角坐标系中，点在椭圆上，点A和点B处的椭圆C的切线相交于点P，延长分别交圆于，．设直线的斜率分别为．到直线的距离分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 点P在圆O上 B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为3，动点P在正方体内及其表面上运动，点E在棱AD上，且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，则三棱锥的体积为定值 B. 棱上存在点P，使得平面 C. 若，则动点P所围成的图形的面积为 D. 若动点P在正方形ABCD内，，则线段BP的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，直线l与抛物线的准线相交于点N，若，则与的面积之比为______. 14. 已知锐角，满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若a=2，的面积为，求b，c的值. 16. 已知函数的图象经过点，函数在处有极值，且． （1）求函数的解析式； （2）若（且），求的极大值. 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. （1）求双曲线E的方程； （2）过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 18. 已知四棱柱的各棱长均为2，，，，． （1）证明：； （2）请从下列条件①，条件②，条件③中选出两个作为已知条件，使得点G的位置确定． （i）求λ的值； （ii）求直线GB与平面所成的角的正弦值． 条件①：三棱锥的体积为1； 条件②：； 条件③：二面角的余弦值为． 19. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子（正方体六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）n次，，记第i次抛掷结果向上的点数为（i=1，2，…，n），前m次抛掷结果向上的点数之和为7的概率为（m=1，2，…，n）． （1）求； （2）若t，，t与r互质，． （i）求b的值； （ii）已知正项数列满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $