精品解析：上海市青浦高级中学2024-2025学年高一上学期分班摸底数学试卷

上海市青浦高级中学2024-2025学年高一数学分班摸底试卷 满分100分 考试时间90分钟 一、坑空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 1. 若不等式组 有解，那么必须满足______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式组要有解建立关于的不等式解出即可. 【详解】由不等式，得出：， 若该不等式组要有解则：，即， 故答案为：. 2. 在实数范围内分解因式： ______________. 【答案】 【解析】 【分析】直接因式分解即可. 【详解】由， 故答案为：. 3. 且a≠b、则代数式 的值为____________. 【答案】7 【解析】 【分析】由题是方程的两相异实数根，将目标代数式整理为两根和与积的形式表示，由韦达定理求解目标代数式即可. 【详解】由题，是方程的两相异实数根，所以， 所以， 故答案为：7. 4. 函数当__________时，有最小值，最小值等于__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用零点分段法将绝对值函数化为分段函数，作出函数图象即可求解. 【详解】由题意知，， 作出函数图象如下： 根据图象，当时，有最小值，最小值为. 故答案为：，. 5. 某百货商店的一种商品营业额，即商品的售价乘以该商品的销售量.商品在促销月定的售价比上个月下降，该月销售量较上月增长，则促销月的营业额比上月的营业额上升______________%. 【答案】 【解析】 【分析】设上个月商品的售价为，销售量为，根据题意计算促销月的售价、促销月的销售量、促销月的营业额，最后求解营业额增长的百分比即可. 【详解】设上个月商品的售价为，销售量为 则促销月的售价为：， 促销月的销售量为： 促销月的营业额为：， 所以促销月的营业额比上月的营业额上升了： ， 故答案为：. 6. 一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等.那么a=____________，b=______________. 【答案】 ① 1 ②. 5 【解析】 【分析】根据给定的正方体表面展开图，得出两两相对的6个面，再根据“相对两个面上所写的两个整数之和都相等”列出等式求解. 【详解】已知上图为一个正方体的表面展开图，共计6个面，面“-6”与面“15”相对， 面“8”与面“a”相对，面“4”与面“b”相对. 由“两个面上所写的两个整数之和都相等”可得：， 即 故答案为：1，5. 7. 如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上,点的坐标为，是边上的一点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处，若点在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由相似三角形性质可得，由此可求，再求，由点在求即可. 【详解】设， 由题设可知及相似三角形的性质可得，即， 所以，故， 所以代入可得, 所以该函数的解析式是， 故答案为：. 8. 面积等于30平方厘米的长方形ABCD 内，如图所示放置有四个面积相等的圆和一个正方形（正方形的边长等于圆的直径），圈中间正方形的面积是______________平方厘米. 【答案】5 【解析】 【分析】利用圆的半径表示出长方形的长、宽，由面积求出半径，即可得出正方形面积. 【详解】设小圆的半径为， 由题意，长方形的长为，宽为， 所以，即， 所以圈中间正方形面积为， 故答案为：5 9. 边长为整数，周长为20的三角形个数是___________个. 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形周长和三边关系一一列举出来得出结果； 【详解】根据题意， 边长组合为： 故答案为：8． 10. 某种规律排列的一列数： 那么第50个数是___________. 【答案】 【解析】 【分析】寻找规律，得到分母为数个数为个，推出第50个数的分母为11，为第50个数，得到答案. 【详解】分母为的数个数为个， 其中，故第50个数的分母为11， 其中第47个数，为第50个数. 故答案为： 11. 如图，以的斜边为一边在 的同侧作正方形.设正方形的中心为O，连结，如果，那么的长等于_____________. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造三角形，进而再判断三角形为等腰直角三角形，再用勾股定理得出结果. 【详解】如图，在上取一点，使得，连接. ,,. ，， ，所以，. 又因为，所以. 所以为等腰直角三角形，且，得 所以 故答案为：. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分，每题列出的四个答案中，只有一个是正确的.把正确答案的代号填入括号内） 12. 如图，为平行四边形的对称中心，以为圆心作圆，过的任意直线与圆相交于点、.则线段、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据为平行四边形的对称中心，可得，从而可得. 【详解】如图，连接， 因为为平行四边形的对称中心， 即为平行四边形对角线的交点，所以， 因为点、在为圆心的圆上， 所以， 又因为（对顶角相等） 所以，所以. 故选：C 13. 定义：定点 与上的任意一点之间的距离的最小值称为点与之间的距离，现有一矩形，如图，，与矩形的边分崩相切于点，则点与的距离为（ ） A. 4cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设 交于点，画出图形，利用图形的性质以及定义即可. 【详解】连接，设 交于点，如图所示： 因为四边形是矩形，与矩形的边分崩相切于点， 所以， 所以四边形、四边形均为正方形， 又， 所以， ， 在中，因为 ， 所以点与的距离为：， 故选：A. 14. 某校高一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该队伍有20名同学，统计表如下表．由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到： 鞋码 38 39 40 41 42 人数 5 3 2 下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的中位数是40，众数是39 B. 这组数据的中位数与众数一定相等 C. 这组数据的平均数P满足 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数的概念分析各个选项． 【详解】A、由于38、41、42码的人数和为10，而39、40码对应的人数不知，故不能确定出中位数和众数，故A错误； B、由于38、41、42码的人数和为10，而39、40码对应的人数不知，故不能确定出中位数和众数， 也就不能确定出中位数与众数是否相等，故B错误； C、由题意39、40的人数和为10， 设39码的人数为，则40码的人数为，设平均数为, 则， 当时，则， 当时，则，所以，故C正确； 则D选项错误. 故选：C． 15. 当x分别取值 ，1，2.…， 2006， 2007， 2008时， 计算代数式 的值.将所得的结果相加，其和等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2008 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，结合，将所得的结果相加，其和为0. 【详解】设，则， 故， 其中，所以将所得的结果相加，其和为0. 故选：B 三、解答题（本大题共4小题，满分44分） 16. 已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为 沿着坡度为 的斜坡前进400米到D处(即 米)，测得A的仰角为，求出的高度AB. 【答案】米 【解析】 【分析】利用已知解，再设，解即可得解. 【详解】作于，于，连接， 在中，， ， ， 中，， 设， ， 在矩形中，， 中，， ，即， 解得， ， 即的高度为米 17. 已知等边三角形ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC 分别交于点D、点E，过点D作 ，垂足为点F. （1）求证： ； （2）过点F作 ，垂足为点H，若等边三角形ABC 的边长为4，求FH 的长.(结果保留根号) 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设为中点，连接，利用为正三角形可得，据此可得出为中点，得证； （2）由直角三角形求出，得出，再解直角三角形得解. 【小问1详解】 设为中点，连接， 由等边三角形ABC知，， 又， 所以， 即为中点，所以. 【小问2详解】 由（1）知，, 为等边三角形， ，又， ，, ， ， ，又， . 18. 在等腰梯形中，.点E在下底边 BC 上.点F 在腰 AB 上. （1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示 的面积； （2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由； （3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分?若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，此时； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题知，梯形周长为24，高为4，设BE长为x，则，由，得，表示出，再由三角形面积公式即可求得的面积； （2）令，解方程求解即可； （3）分两种情况， 情况一：的面积：多边形的面积，，情况二：的面积：多边形的面积，.分别表示出的面积，分别列方程或，求解即可. 【小问1详解】 过作交于点，过作交于点， 所以， 由题知，梯形周长为24，高为4，面积为28， 因为EF 平分等腰梯形ABCD 的周长， 设BE长为x，则，（） 由题，所以，即， 所以， 所以. 【小问2详解】 存在，由（1）知，， 解得， 所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分，此时； 【小问3详解】 不存在， 情况一：的面积：多边形的面积，， 梯形周长的为，面积的为， 又，又，即，所以， 所以， 所以，整理得此时，无解，故不存在； 情况二：的面积：多边形的面积，， 梯形周长的为，面积的为， 又，又，即，所以， 所以， 所以，整理得 解得，不符合题意，舍去，故不存在； 综上所述：不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分. 19. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为点，与轴交于点，与轴交于两点，点在原点的左侧，点的坐标为，. （1）求这个二次函数的表达式. （2）若平行于轴的直线与该抛物线交于两点，且以为直径的圆与轴相切，求该圆半径的长度. （3）若点是该抛物线上一点，点是直线 下方的抛物线上一动点，当点 运动到什么位置时， 的面积最大?求出此时点的坐标和 的最大面积. 【答案】（1） （2）或 （3）当点时，的面积最大，且为. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出即可； （2）根据圆与抛物线的关系结合已知条件求出圆的半径即可； （3）利用三角形面积公式结合二次函数的最值分析求出点的坐标，从而进一步求出面积的最大值.. 【小问1详解】 因为，点的坐标为， 所以，那么点的坐标是， 连接，如图所示， 在中，根据正切函数的定义有： ，所以 又因为点在原点左侧，故， 由二次函数经过两点，所以设二次函数的表达式为： ，又该函数经过点， 所以将点代入方程中有：， 即，所以该二次函数为：， 即. 【小问2详解】 当直线在轴上方时， 设所求圆的半径为， 因为抛物线的对称轴为：， 且以为直径的圆的圆心在抛物线的对称轴上， 设在的左侧，所以点的坐标为：， 把代入中得： 即， 解得：，因为，所以； 当直线在轴下方时， 设所求圆的半径为， 同理可得点的坐标为：， 把代入中得： 即， 解得：，因为，所以； 所以该圆半径的长度或. 【小问3详解】 过点作轴的平行线与交于点，如图所示： 把代入中， 可得，所以， 设直线的方程为， 把两点代入得： ，解得， 所以直线的方程为， 设，则， 则， 由三角形面积公式 所以当时，有最大值， 且为， 此时点，即， 所以当点时，有最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市青浦高级中学2024-2025学年高一数学分班摸底试卷 满分100分 考试时间90分钟 一、坑空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 1. 若不等式组 有解，那么必须满足______________. 2. 实数范围内分解因式： ______________. 3. 且a≠b、则代数式 的值为____________. 4. 函数当__________时，有最小值，最小值等于__________. 5. 某百货商店的一种商品营业额，即商品的售价乘以该商品的销售量.商品在促销月定的售价比上个月下降，该月销售量较上月增长，则促销月的营业额比上月的营业额上升______________%. 6. 一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等.那么a=____________，b=______________. 7. 如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上,点的坐标为，是边上的一点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处，若点在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_________． 8. 面积等于30平方厘米的长方形ABCD 内，如图所示放置有四个面积相等的圆和一个正方形（正方形的边长等于圆的直径），圈中间正方形的面积是______________平方厘米. 9. 边长为整数，周长为20的三角形个数是___________个. 10. 某种规律排列的一列数： 那么第50个数是___________. 11. 如图，以的斜边为一边在 的同侧作正方形.设正方形的中心为O，连结，如果，那么的长等于_____________. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分，每题列出的四个答案中，只有一个是正确的.把正确答案的代号填入括号内） 12. 如图，为平行四边形的对称中心，以为圆心作圆，过的任意直线与圆相交于点、.则线段、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 13. 定义：定点 与上的任意一点之间的距离的最小值称为点与之间的距离，现有一矩形，如图，，与矩形的边分崩相切于点，则点与的距离为（ ） A. 4cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 14. 某校高一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该队伍有20名同学，统计表如下表．由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到： 鞋码 38 39 40 41 42 人数 5 3 2 下列说法正确是（ ） A. 这组数据的中位数是40，众数是39 B. 这组数据的中位数与众数一定相等 C. 这组数据的平均数P满足 D. 以上说法都不对 15. 当x分别取值 ，1，2.…， 2006， 2007， 2008时， 计算代数式 的值.将所得的结果相加，其和等于（ ） A B. 0 C. 1 D. 2008 三、解答题（本大题共4小题，满分44分） 16. 已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为 沿着坡度为 的斜坡前进400米到D处(即 米)，测得A的仰角为，求出的高度AB. 17. 已知等边三角形ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC 分别交于点D、点E，过点D作 ，垂足为点F. （1）求证： ； （2）过点F作 ，垂足为点H，若等边三角形ABC 的边长为4，求FH 的长.(结果保留根号) 18. 在等腰梯形中，.点E在下底边 BC 上.点F 在腰 AB 上. （1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示 的面积； （2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由； （3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分?若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为点，与轴交于点，与轴交于两点，点在原点的左侧，点的坐标为，. （1）求这个二次函数的表达式. （2）若平行于轴直线与该抛物线交于两点，且以为直径的圆与轴相切，求该圆半径的长度. （3）若点是该抛物线上一点，点是直线 下方的抛物线上一动点，当点 运动到什么位置时， 的面积最大?求出此时点的坐标和 的最大面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $