精品解析：吉林省吉林市丰满区2024—2025学年下学期八年级期末教学质量检测数学试卷

丰满区2024-2025学年下学期期末教学质量检测 八年级数学 本试卷共8页，三道大题，22道小题，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 若正比例函数（是常数，）的函数值随的增大而增大，则的取值可能是（　　） A. 2 B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A. 直角三角形两个锐角互余 B. 三角形内角和等于 C. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D. 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 6. 如图，在Rt中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线与相交于点，连接．若，，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 化简：________． 8. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中平时成绩占，期末考试成绩占．若小明的平时成绩为80分，期末考试成绩为90分，则小明这学期的体育成绩为________分． 9. 电流通过导线时会产生热量，电流、导线电阻、通电时间与产生的热量满足公式，当时，_____． 10. 如图，若一次函数的图象经过两点，则不等式的解集为_______． 11. 如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 计算：． 13. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 14. 如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 15. 如图，在中，是的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证四边形是菱形． （2）若，则菱形的面积为______． 16. 图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． （2）在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． （3）在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 17. 2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日．某校开展了一次党史知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过整理数据，得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成5组：，，，，），从左到右依次为第一组到第五组． 信息二：第三组的成绩（单位：分）为71，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，79． 根据信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是______分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______分； （3）若该校共有1500名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数． 18. 如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处， 交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的面积． 19. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 20. 综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量、猜想得出结论：原四边形对角线的数量关系和位置关系对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 在四边形中，分别是的中点． 探究一 探究二 探究三 探究四 题设：如图1，和不相等，和不垂直． 题设：如图2，和不相等，． 题设：如图3，，和不垂直． 题设：如图4，，． 结论：四边形的形状为平行四边形． 结论：四边形的形状为①___________． 结论：四边形的形状为②___________． 结论：四边形的形状为③___________． （1）①______．②_______．③_____． （2）如图1，请完成探究一的证明． （3）如图2，，若，，则四边形的面积为_______． （4）如图3，，连接，若，，则________． 21. 如图，在平行四边形中，，，．点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． （1）______； （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）取的中点为，连接，当时，直接写出的值． 22. 如图，点的坐标为，点的坐标为，以点为端点分别作射线，将射线所组成的图形记为图象V． （1）射线的解析式为________，自变量的取值范围是_______． （2）射线的解析式为________，自变量的取值范围是________． （3）点为轴上一动点，其纵坐标为．连接，以为边向右作正方形． ①当点在上时，________． ②当点在图象V上时，求的值． ③当图象V与正方形有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰满区2024-2025学年下学期期末教学质量检测 八年级数学 本试卷共8页，三道大题，22道小题，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用当二次根式有意义时，被开方数为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 2. 下列统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择． 【详解】解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差， 故选：D． 【点睛】本题考查了方差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立． 3. 若正比例函数（是常数，）的函数值随的增大而增大，则的取值可能是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的增减性与系数k的符号关系是解答的关键． 根据正比例函数的性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵正比例函数（为常数，且）的函数值随着的增大而增大， ∴， 只有选项A符合题意， 故选：A． 4. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，即可求的度数． 此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，且， ∴， ∴， 故选：C． 5. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A. 直角三角形两个锐角互余 B. 三角形内角和等于 C. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D. 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 6. 如图，在Rt中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线与相交于点，连接．若，，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法及性质，勾股定理解三角形，解答本题的关键是明确题意． 根据题意得出是线段的垂直平分线，再由勾股定理确定，即可求解． 【详解】解：由已知可得：是线段的垂直平分线， ， ，， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 化简：________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】． 所以答案为：2． 8. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中平时成绩占，期末考试成绩占．若小明的平时成绩为80分，期末考试成绩为90分，则小明这学期的体育成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法． 根据加权平均数的含义列式，再计算即可． 【详解】解：由题意可得， 小明这个学期的体育成绩综合成绩是： 分， 故答案为：． 9. 电流通过导线时会产生热量，电流、导线电阻、通电时间与产生的热量满足公式，当时，_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用算术平方根解方程，根据题意代入数值得到，根据算术平方根的意义即可得到答案． 【详解】解：当时， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 10. 如图，若一次函数的图象经过两点，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，先找出时，的取值范围，再写出不等式的解集． 【详解】观察图象可得，当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 11. 如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形和三角形．熟练掌握菱形性质，含30°的直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，是解题的关键． 过点B作于点F，根据菱形性质可得，得，根据，得，由，得的最小值为． 【详解】解：过点B作于点F，则， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算二次根式的乘除，然后合并即可． 【详解】 ． 13. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积公式，一次函数的性质． 分别求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，． 点的坐标为 ． 当时，．解得． 点的坐标为 ∴． ． 14. 如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【答案】此时灯塔与客轮的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意，得． 在中， 答：此时灯塔与客轮的距离为． 15. 如图，在中，是的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证四边形是菱形． （2）若，则菱形的面积为______． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三线合一，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据三线合一得到，结合菱形的判定即可求解； （2）根据菱形的性质，由菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵，点是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 16. 图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． （2）在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． （3）在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 【答案】（1）四边形即为所求作； （2）四边形即为所求作； （3）四边形即为所求作． 【解析】 【分析】（1）取格点，并依次连接，得，，则，得出四边形为正方形； （2）取格点，并依次连接，得，，得出四边形为菱形，但不是正方形； （3）取格点，并依次连接，得，得出四边形为平行四边形，但不是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日．某校开展了一次党史知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过整理数据，得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成5组：，，，，），从左到右依次为第一组到第五组． 信息二：第三组的成绩（单位：分）为71，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，79． 根据信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是______分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______分； （3）若该校共有1500名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数． 【答案】 （1）如图： （2）76；78；（3）720 【解析】 【分析】（1）“总人数-其它组人数”进行计算即可得解； （2）根据众数的概念和中位数的概念即可； （2）算出不低于80分的人数，求出在50人中不低于80分的人数所占的百分比，再用总人数乘以百分比即可． 【详解】（1）60~70人数为=50-4-12-20-4=10（人） （2）第三组出现最多的成绩是76，所以众数是76； 第25和26两个数的平均数为（77+79）÷2=78（分），所以中位数是78； （3）（人） 估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数为720人． 【点睛】本题主要考查了数据的统计与分析，熟练掌握相关数据分析和统计的方法是解决本题的关键. 18. 如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处， 交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质以及矩形的性质和平行线的性质得到：，即可得证； （2）利用勾股定理求出，利用面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵折叠， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 又∵ ∴ ∴， 设，则：， 在中， ， 即：， 解得：； ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，以及等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解三角形是解题的关键． 19. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ 【小问3详解】 解：将代入得： ∴估计这个人身高 20. 综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量、猜想得出结论：原四边形对角线的数量关系和位置关系对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 在四边形中，分别是的中点． 探究一 探究二 探究三 探究四 题设：如图1，和不相等，和不垂直． 题设：如图2，和不相等，． 题设：如图3，，和不垂直． 题设：如图4，，． 结论：四边形的形状为平行四边形． 结论：四边形的形状为①___________． 结论：四边形的形状为②___________． 结论：四边形的形状为③___________． （1）①______．②_______．③_____． （2）如图1，请完成探究一的证明． （3）如图2，，若，，则四边形的面积为_______． （4）如图3，，连接，若，，则________． 【答案】（1）矩形；菱形；正方形 （2）证明见解析 （3）5 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到是的中位线，是的中位线，得到，，证明出四边形的形状为平行四边形；然后由逐步证明出，得到四边形的形状为矩形；由得到，证明出四边形的形状为菱形；进而由，可得四边形的形状为正方形； （2）据题意得到是的中位线，是的中位线，得到，，证明出四边形的形状为平行四边形； （3）由三角形中位线的性质得到，，然后根据矩形的性质求解即可； （4）如图所示，连接，交于点O，由菱形的性质得到，，，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【小问1详解】 ①∵在四边形中分别是的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴， ∴四边形的形状为平行四边形； 同理可得，是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴四边形的形状为矩形； ②∵是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴四边形的形状为菱形； ③∵， ∴由以上可得，， ∴四边形的形状为正方形； 【小问2详解】 ∵在四边形中分别是的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴， ∴四边形的形状为平行四边形； 【小问3详解】 ∵，， 由（1）得，，，四边形的形状为矩形 ∴四边形的面积为； 【小问4详解】 如图所示，连接，交于点O ∵四边形的形状为菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，矩形的判定，正方形的判定，勾股定理，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 如图，在平行四边形中，，，．点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． （1）______； （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）取的中点为，连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1）4 （2）； （3）的值为或或． 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，据此求解即可； （2）分三种情况讨论，当点在线段上，当点在线段上，当点在线段上，利用三角形的面积公式列式求解即可； （3）同理分三种情况讨论，当点在线段上时，利用直角三角形斜边中线的性质求解；当点在线段上时，构造正方形，利用三角形中位线定理结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：当点在线段上，即时，此时， ∴； 当点在线段上，即时， 此时， ∴； 当点在线段上，即时， 此时， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：当点在线段上,即时， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 当点在线段上，即时， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上，即时， 延长至点，使，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理以及勾股定理．作出合适的辅助线是解题的关键． 22. 如图，点的坐标为，点的坐标为，以点为端点分别作射线，将射线所组成的图形记为图象V． （1）射线的解析式为________，自变量的取值范围是_______． （2）射线的解析式为________，自变量的取值范围是________． （3）点为轴上一动点，其纵坐标为．连接，以为边向右作正方形． ①当点在上时，________． ②当点在图象V上时，求的值． ③当图象V与正方形有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）①；②或； ③或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）用待定系数法求函数的解析式即可； （3）①由题可知轴，则； ②当时，，将点M代入求出m的值；当时，，将点M代入求出m的值； ③当时，图象V与正方形一定有两个公共点；当时，此时图象V与正方形有三个公共点，则时，图象V与正方形有两个公共点；当时，图象V与正方形有两个公共点，则时，图象V与正方形有三个公共点． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将点代入，可得， ∴射线的解析式为，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设射线的解析式为， 将A、B的坐标代入，可得， 解得， ∴射线解析式为，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴轴， ∵A点在上， ∴； 故答案为：； ②当时，， ∴， ∴， ∵点M在图象V上， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 综上所述：m的值为4或； ③当时，图象V与正方形一定有两个公共点； 当时，M点、O点在正方形上，此时图象V与正方形有三个公共点， ∴时，图象V与正方形有两个公共点； 当时，N点，此时B点、O点在正方形上，图象V与正方形有两个公共点； ∴时，图象V与正方形有三个公共点； 综上所述：或或时，图象V与正方形有两个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $