精品解析：辽宁省朝阳市建平县2024-2025学年八年级下学期期末学业水平质量检测数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末学业水平质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可判断． 【详解】A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意； B、，不是因式分解，此项不符题意； C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意； D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意； 故选：D． 3. 我县为创建全国文明城市，园林工人要在社区公园铺设一个从上面看（俯视）为正多边形的花坛，为了美观，施工时要求正多边形花坛的每个外角都为，工人设计的正多边形花坛是几边形（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的外角问题，根据正多边形的外角和为，每个外角为，利用外角和公式计算边数． 【详解】正多边形的所有外角之和恒等于，已知每个外角为， 设正多边形的边数为， 根据题意，． 因此，该正多边形是正八边形． 故选：C． 4. 根据物体的沉浮条件，物体在同一液体中受到的浮力与物体重力的关系决定物体的状态：当时物体上浮；当时物体悬浮或漂浮；时物体下沉．不等式做如下变化时依据不等式的性质该物体一定仍然上浮的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式性质逐一验证各选项是否保持原不等式关系即可． 【详解】∵， ∴选项A：两边加不同数和，无法确定与的大小关系，故无法保证原不等式成立； 选项B：两边同乘以2得，再两边同加上得，故一定成立； 选项C：两边减不同数和，若，可能破坏原不等式，故不成立； 选项D：两边乘2后减不同数，若，可能使左边更小，故不成立． 故选：B． 5. 学习平行四边形一章时王老师要求某一小组A、B、C、D四名同学每人准备四根小木棒（单位：），把四人准备的小木棒首尾顺次连接，可以拼成一个平行四边形的是（ ） A. 2，3，4，5 B. 3，2，3，5 C. 3，4，5，3 D. 2，3，2，3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定， 根据平行四边形的判定条件，四根木棒首尾顺次连接构成平行四边形的必要条件是两组对边分别相等，据此求解即可． 【详解】选项A：2，3，4，5．四根长度均不同，无法形成两组相等的对边，排除． 选项B：3，2，3，5．仅有两根3，其余为2和5，无法使对边相等（如对边为3和3，另一组为2和5，不相等），排除． 选项C：3，4，5，3．对边为3和5，4和3，均不相等，排除． 选项D：2，3，2，3．对边为2和2，3和3，满足两组对边相等，符合条件． 故选：D． 6. 某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（ ）     A. 20 B. 40 C. 80 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，三角形中位线定理．根据中心对称图形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∵点M、N分别是的中点，的长度为， ∴， ∴． 故选：C 7. 如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线性质，勾股定理，关键是掌握垂线段最短，勾股定理求出，当时，的值最小，然后根据角平分线的性质即可得到结果． 【详解】在中， ∵，， ∴， 当时，的值最小， ∵是的平分线，， ∴． ∴的最小值为6． 故选：D． 8. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，先解分式方程得到，再分当，即时和当时两种情况，讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时有，故原方程无解， 当时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：C． 9. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理解得的值，再作图的过程可知是线段的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，进而可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，理解并掌握垂直平分线的性质是解题关键． 10. 如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且，若，则（ ）cm． A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据折叠的性质得到，可求，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ，， 把等边△沿着折叠，使点恰好落在边上的点处， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 线段与水平方向的夹角为，沿水平方向平移，则线段所扫过的区域面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，角的直角三角形的性质，过点作于点C，根据角的直角三角形的性质求出，然后根据平行四边形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点C， 则， ∴线段所扫过的区域面积是 故答案为：． 13. 已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，分式， 此时分式没有意义， ∴， 解得：， ∵当时，分式， 此时分式的值为， ∴且， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可．熟练掌握旋转的性质，数形结合，是解题的关键． 【详解】解：由题意，作图如下： ∴当将线段绕点顺时针旋转至时，； 当将线段绕点逆时针旋转至时，； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. （1）解分式方程 （2）解不等式组：． （3）化简求值：，在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】（1）无解 （2） （3），当时，原式= 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，不等式组，分式的化简求值，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先在分式的两边同时乘以化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，然后检验解答即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可． 【详解】（1）解： 分式的两边同时乘以得， 解得， 经检验：是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式的解集为； （3）解： ∵且， ∴且， 当时，原式． 17. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据条件证明，即可得出结论． 【详解】略 18. 在网格中，点A和直线l的位置如图所示： （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在图1中网格中标出点B并写出线段的长度______； （2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出的最小值______； （3）若点A、B的坐标分别为，；点C为直线l上的点，是以为斜边的直角三角形，在图2网格中建立直角坐标系，并标出点C点，点C的坐标是______． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3）作图见解析，或 【解析】 【分析】（1）根据要求画出线段即可，利用勾股定理求出的长． （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小． （3）设，根据勾股定理建立方程，再利用平方根的含义解方程即可． 【小问1详解】 解：如图1，线段即为所作， 根据题意，每个小正方形的边长为个单位长度， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴， ∴， ∴的最小值为的长，则点即为所作， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图2，建立平面直角坐标系如图，设，取的中点，连接， ∵为直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图—平移变换，轴对称—最短问题，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质及勾股定理． 19. 如图，一次函数l1：y=2x-2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y=kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）． （1）求m，k，b的值； （2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x-2的解集． 【答案】（1）m=2；；（2）2＜x＜3． 【解析】 【分析】（1）点C在直线l1上，将点C（m，2）代入一次函数l1：y=2x-2即可求得，将点C（2，2）、B（3，1）代入直线解析式，待定系数法求解析式即可求得的值； （2）根据函数图象写出直线l1在直线l2上方部分的x的取值范围，结合l1的函数值大于1的部分． 【详解】解：（1）∵点C在直线l1：y=2x-2上 ∴2=2m-2 解得m=2 ∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上 ∴ 解得：； （2）图象可得， 两函数图象交于点C（2，2） 不等式组kx+b＜2x-2的解集为 由（1）可知由直线l2的解析式为 当时， 1＜kx+b＜2x-2的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键． 20. 如图，中，平分交于点D，交于点E，交于点F，且． （1）证明四边形为平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：四边形是平行四边形， ∵平分， ， 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是关键； （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形； （2）利用等角对等边证明，进而即可得到结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： （1）判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． （2）判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． （3）已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】（1） ， 是“双一次可分解式”； （2） ， 是“双一次可分解式”； （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 22. 为迎接建平县第三届初中生运动会，某中学对运动员进行集训，计划采购一批运动器材．已知用1200元购买跳绳的数量是用800元购买毽子数量的2倍，且每根跳绳单价比每个毽子单价便宜2元． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毽子共200个，为了满足不同项目需求，要求毽子的数量不少于跳绳数量的3倍．设购买跳绳a个，总采购费用为元． ①求关于的函数关系式； ②如何购买才能使总采购费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）每根跳绳的费用为6元，每个毽子的费用为8元 （2）①②当采购50根跳绳，150个毽子时，费用最低为1500元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用个，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和函数关系式，是解题的关键： （1）设跳绳的单价为元/个，根据用1200元购买跳绳的数量是用800元购买毽子数量的2倍，列出分式方程进行求解即可； （2）①根据总费用等于跳绳的费用加上毽子的费用，列出函数关系式即可；②根据一次函数的增减性，求最值即可． 【小问1详解】 解：设跳绳的单价为元/个，则毽子的价格为每个元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴； 答：每根跳绳的费用为6元，每个毽子的费用为8元； 【小问2详解】 ①设购买跳绳a个，总采购费用为元，则：购买毽子的数量为个，由题意，得： ，， ∴， ∴； ②∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最小，为； 答：当采购50根跳绳，150个毽子时，费用最低为1500元． 23. 实践探究题： 【问题发现】某校数学兴趣小组的三名同学，将两块大小不一但顶角均为的等腰三角形纸片，顶角顶点重合叠放在一起，然后绕着这个顶点转动其中的一个三角形，得到图1，据此得到图2（图中、、三点共线）．小颖发现，图2中存在全等三角形． （1）请你直接写出小颖发现的图2中的_____； 【类比迁移】小刚发现，图2中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕点逆时针旋转得到的．随即，小刚在图3中也进行了类似的操作．如图3，在中，，，点，点在边上，．小刚发现线段，，之间存在数量关系：． （2）请你先进行小刚的操作，再求证：； 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，点，点在边上，，，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：∵，， ∴将绕着点逆时针旋转，得到，连接，如图， 则， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理解答即可； （2）将绕着点逆时针旋转得到，连接，利用旋转的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可得出结论； （3）将绕着点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接，利用（2）的方法得到，求出，利用勾股定理求得即可解题． 【详解】解：（1）图中，理由： 由题可得：，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ∴将绕着点逆时针旋转，得到，连接，取的中点，连接，如图，则， 则， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末学业水平质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 我县为创建全国文明城市，园林工人要在社区公园铺设一个从上面看（俯视）为正多边形的花坛，为了美观，施工时要求正多边形花坛的每个外角都为，工人设计的正多边形花坛是几边形（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 根据物体的沉浮条件，物体在同一液体中受到的浮力与物体重力的关系决定物体的状态：当时物体上浮；当时物体悬浮或漂浮；时物体下沉．不等式做如下变化时依据不等式的性质该物体一定仍然上浮的是（ ） A. B. C. D. 5. 学习平行四边形一章时王老师要求某一小组A、B、C、D四名同学每人准备四根小木棒（单位：），把四人准备的小木棒首尾顺次连接，可以拼成一个平行四边形的是（ ） A. 2，3，4，5 B. 3，2，3，5 C. 3，4，5，3 D. 2，3，2，3 6. 某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（ ）     A. 20 B. 40 C. 80 D. 90 7. 如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 8. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 以上都不是 9. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且，若，则（ ）cm． A. B. C. 4 D. 6 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 若，则的值为________． 12. 线段与水平方向的夹角为，沿水平方向平移，则线段所扫过的区域面积是_____． 13. 已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式_____． 14. 《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程_____． 15. 在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. （1）解分式方程 （2）解不等式组：． （3）化简求值：，在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 17. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 18. 在网格中，点A和直线l的位置如图所示： （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在图1中网格中标出点B并写出线段的长度______； （2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出的最小值______； （3）若点A、B的坐标分别为，；点C为直线l上的点，是以为斜边的直角三角形，在图2网格中建立直角坐标系，并标出点C点，点C的坐标是______． 19. 如图，一次函数l1：y=2x-2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y=kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）． （1）求m，k，b的值； （2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x-2的解集． 20. 如图，中，平分交于点D，交于点E，交于点F，且． （1）证明四边形为平行四边形； （2）求证：． 21. 定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： （1）判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． （2）判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． （3）已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 22. 为迎接建平县第三届初中生运动会，某中学对运动员进行集训，计划采购一批运动器材．已知用1200元购买跳绳的数量是用800元购买毽子数量的2倍，且每根跳绳单价比每个毽子单价便宜2元． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毽子共200个，为了满足不同项目需求，要求毽子的数量不少于跳绳数量的3倍．设购买跳绳a个，总采购费用为元． ①求关于的函数关系式； ②如何购买才能使总采购费用最低？最低费用是多少元？ 23. 实践探究题： 【问题发现】某校数学兴趣小组的三名同学，将两块大小不一但顶角均为的等腰三角形纸片，顶角顶点重合叠放在一起，然后绕着这个顶点转动其中的一个三角形，得到图1，据此得到图2（图中、、三点共线）．小颖发现，图2中存在全等三角形． （1）请你直接写出小颖发现的图2中的_____； 【类比迁移】小刚发现，图2中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕点逆时针旋转得到的．随即，小刚在图3中也进行了类似的操作．如图3，在中，，，点，点在边上，．小刚发现线段，，之间存在数量关系：． （2）请你先进行小刚的操作，再求证：； 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，点，点在边上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $