精品解析：浙江省台州市路桥区2023-2024学年八年级下学期期末教学评价数学试题

浙江省台州市路桥区2023-2024学年八年级 下学期期末教学评价数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数据为三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 8，15，17 D. ，2， 3. 如图，点， ， 分别是各边上的中点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知5个正数的平均数是 ，且，则数据的平均数和中位数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1， ，．若以点A为圆心，对角线 长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，连接 ，作交 的延长线于点 ，过点 作交 的延长线于点 ，若，则 的长是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 8. 计算：（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 9. 如图，函数和 的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点E为小正方形的顶点，延长 交于点F， 分别交 ，于点G，H，过点D作的垂线交 延长线于点K，连结．若为等腰三角形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 代数式有意义时， 应满足的条件是______． 12. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学本期组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：，则这组数据的中位数是______． 13. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 14. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在 轴， 轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接 ，则线段 长度的最大值为_________． 15. 若关于x的一次函数的图象不经过第三象限，且关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数k的值之积是__________． 16. 如图，矩形中，E为 中点，F是中点， 交 于点O，连接取中点M，取中点N，连接 ，若，，则 的长度为________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共 72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在菱形中，过点A作于点E，过点D作交 的延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长度． 19. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 20. 已知． （1）求的值； （2）若y的小数部分为b，求b的值． 21. 一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中线段分别表示甲、乙两人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． （1）求 所在直线的表达式． （2）出发后，甲行走多少时间与乙相遇？ （3）点D的横坐标m表示甲到达P地的时间，此时甲、乙两人之间的距离为200米，求P，N两地的距离． 22. 已知：矩形ABCD中，AB=10，AD=8，点E是BC边上一个动点，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E． （1）如图(1)，点G和点H分别是AD和AB′的中点，若点B′在边DC上． ①求GH的长； ②求证：△AGH≌△B′CE； （2）如图(2)，若点F是AE的中点，连接B′F，B′F∥AD，交DC于I． ①求证：四边形BEB′F是菱形； ②求B′F的长． 23. 如图，直线过A（﹣1，5），P（2，a），B（3，﹣3）． （1）求直线AB的解析式和a的值； （2）求△AOP的面积． 24. 如图，在正方形中，点 、 分别在、 上，， 与相交于点 ，连接 ． （1）求证：； （2）若点 为的中点． ①当 时，求的值； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省台州市路桥区2023-2024学年八年级 下学期期末教学评价数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、 ，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2. 以下列各组数据为三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 8，15，17 D. ，2， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，实数的运算，根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 3. 如图，点 ， ，分别是 各边上的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到 ， 是 的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点 ， ，分别是 各边上的中点， ∴ ， 是 的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 4. 已知5个正数的平均数是 ，且，则数据的平均数和中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由平均数定义可知：（ 1+ 2+ 3+0+ 4+ 5）=×5 = ； 将这组数据按从小到大排列为0， 5， 4， 3， 2， 1；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数． ∴其中位数为． 故选D． 5. 下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的概念可知，在变化过程两个变量x、y，如果给x一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数；接下来对题目中给出的四个选项的图象进行判断，即可得到y不是x的函数的图象． 【详解】解：选项A，根据图象，当时，y有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求．选项B、C、D，根据图象，每一个x的值，都有唯一的y值与之对应，因此是函数，不符合题目要求． 故选：A． 【点睛】本题考查的是函数的概念，掌握函数的概念是解决本题的关键，根据函数的定义可知x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，根据上述特点即可进行判断出正确选项． 6. 如图，长方形 的顶点A，B在数轴上，点A表示－1， ，．若以点A为圆心，对角线 长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出 ，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示点数为． 故选A． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长． 7. 如图，在中，，连接 ，作交的延长线于点 ，过点 作交 的延长线于点，若，则 的长是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 由可得，由平行四边形的性质可得，，，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由可得，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，则，由此即可求出 的长． 【详解】解：， ， 四边形 是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故选： ． 8. 计算：（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 9. 如图，函数和 的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，运用数形结合思维分析并正确确定和的交点是解题的关键．由题意首先确定和的交点以及作出的大致图象，进而根据图象进行判断即可． 【详解】解：∵ 的图象经过点， ∴， 当 时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 故选：B． 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 如图所示．点E为小正方形的顶点，延长 交 于点F， 分别交 ， 于点G，H，过点D作 的垂线交 延长线于点K，连结．若为等腰三角形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点K作，交的延长线于点P， 与交于点O，根据正方形的性质和等腰三角形的性质证明，，利用勾股定理求得，，，，证明，可得，，即，，从而求得，证明和，求得，，从而求得，证明四边形是矩形，可得，再利用勾股定理求得，即可求出结果． 【详解】解：过点K作，交的延长线于点P， 与交于点O， 由题意可知：四边形和四边形 是正方形， ，，， ， 是等腰三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ，， ， 又， ， ， ∵四边形， ，， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 由题意可得：， ， ，， ， ， ，解得， ，， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，利用相似三角形的性质并构造直角三角形求出、是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 代数式有意义时， 应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意得到，求出结果即可． 【详解】解： 代数式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 12. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学本期组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：，则这组数据的中位数是______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：重新排列为50，51，55，55，61，64， 这组数据的中位数为， 故答案为：55． 13. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 14. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形 的顶点分别在 轴， 轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接 ，则线段 长度的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取 的中点E，连接 ，， ，先证明 和是等边三角形，即可求出 的长，再在中利用斜边中线性质求出，最后根据确定当三点共线时 最大，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：连接 ，由题意得， ∴ 和是等边三角形， ∴， 如图，取 的中点E，连接 ，， ∵边长为4的菱形 ， 的中点E， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时 最大，最大值为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，坐标与图形，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. 若关于x的一次函数的图象不经过第三象限，且关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数k的值之积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一元一次不等式的解法，根据一次函数的图象不经过第三象限可得，根据不等式组的解集为，得，计算得，则且k为整数，整数k的值为：3，4，掌握一次函数的性质，一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组的解集为， ∴， ， ∴且k为整数， ∴整数k的值为：3，4， ∴符合条件的所有整数k的值之积是：， 故答案为：． 16. 如图，矩形 中，E为 中点，F是 中点， 交 于点O，连接取中点M，取中点N，连接，若，，则的长度为________． 【答案】7.5 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理．证明四边形，四边形为矩形，，可得，连接 ，取 的中点H，连接，，结合中位线的性质证明，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：∵矩形 ，E为 中点，F是 的中点， ∴，，，，，， ∴四边形，四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 连接 ，取 的中点H，连接，， ∵M为的中点，H为的中点，N为的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7.5． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共 72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2） 或 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的运算，零指数幂，利用平方根求方程的解，正确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质、零指数幂法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴ 或． 18. 如图，在菱形 中，过点A作于点E，过点D作交 的延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的定义进行证明即可； （2）求出，由勾股定理可求出 的长． 【小问1详解】 解∵，， ∴ ∵四边形 是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形 是菱形， ∴ ∵ ∴, 在中，． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 19. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 20. 已知． （1）求的值； （2）若y的小数部分为b，求b的值． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的大小估计、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可得； （2）根据可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ 的小数部分为， ∴． 21. 一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中线段分别表示甲、乙两人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． （1）求 所在直线的表达式． （2）出发后，甲行走多少时间与乙相遇？ （3）点D的横坐标m表示甲到达P地的时间，此时甲、乙两人之间的距离为200米，求P，N两地的距离． 【答案】（1） （2） （3）200米或米 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用； （1）设 所在直线的表达式为： ，把代入，计算求解即可； （2）设所在直线的表达式为：，把代入，求出解析式，联立一次函数和正比例函数解析式求出交点即可； （3）根据题意，分情况求解，甲在乙前面200米以及甲在乙后面200米，分别列式计算即可． 【小问1详解】 解：设 所在直线的表达式为： 把代入， 解得： ∴ 【小问2详解】 解：设所在直线的表达式为： 把代入， 解得： ∴ 解得 ∴甲行走分钟与乙相遇． 【小问3详解】 解： 根据题意 ①甲在乙前面200米 解得： ， 把代入得 ∴距离800米， ∴ ∴距离200米． ②甲在乙后面200米 解得：， 把代入得 ∴ ∴距离米． 22. 已知：矩形ABCD中，AB=10，AD=8，点E是BC边上一个动点，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E． （1）如图(1)，点G和点H分别是AD和AB′的中点，若点B′在边DC上． ①求GH的长； ②求证：△AGH≌△B′CE； （2）如图(2)，若点F是AE的中点，连接B′F，B′F∥AD，交DC于I． ①求证：四边形BEB′F是菱形； ②求B′F的长． 【答案】（1）①3；②详见解析；（2）①详见解析；② 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质可得出AB=AB′，根据矩形的性质可得出∠ADB′=90°，在Rt△ADB′中，利用勾股定理即可得出B′D的长度，再根据中位线的性质即可得出结论； ②由点G为AD的中点可求出AG的长度，通过边与边的关系可得出B′C=4，由此得出B′C=AG，再通过角的计算得出∠AHG=B′EC，由此即可根据全等三角形的判定定理AAS证出△AGH≌△B′CE； （2）①连接BF，由平行线的性质结合直角三角的中线的性质即可得知△B′EF为等边三角形，根据折叠的性质即可证出四边形BEB′F是菱形； ②由等边三角形和平行线的性质可得出∠BEF=∠B′EF=60°，再由AB=10利用特殊角的三角函数值即可得出结论． 【详解】（1）①∵将△ABE沿AE折叠得到△AB′E ∴AB=AB′ ∵四边形ABCD为矩形 ∴∠ADB′=90° 在Rt△ADB′中，AD=8，AB′=10 ∴B′D==6 ∵点G和点H分别是AD和AB′的中点，∴GH为△ADB′的中位线 ∴GH=DB′=3 ②证明：∵GH为△ADB′的中位线 ∵GH∥DC，AG=AD=4 ∴∠AHG=∠AB′D ∵∠AB′E=∠ABE=90° ∴∠AB′D+∠CB′E=90° 又∵∠CB′E+∠B′EC=90° ∴∠AHG=B′EC ∵CD=AB=10，DB′=6 ∴B′C=4=AG 在△AGH和△B′CE中 ∴△AGH≌△B′CE（AAS）． （2）①证明： ∵将△ABE沿AE折叠得到△AB′E ∴BF=B′F，∠B′EF=∠BEF，BE=B′E ∵B′F∥AD，AD∥BC ∴B′F∥BC ∴∠B′FE=∠BEF=∠B′EF ∵∠AB′E=∠ABE=90°，点F为线段AE的中点 ∴B′F=AE=FE ∴△B′EF为等边三角形 ∴B′F=B′E ∵BF=B′F，BE=B′E ∴B′F=BF=BE=B′E ∴四边形BEB′F是菱形 ②∵△B′EF为等边三角形 ∴∠BEF=∠B′EF=60° ∴BE=AB•cot∠BEF=10×= ∵四边形BEB′F是菱形 ∴B′F=BE=． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、中位线的性质、全等三角形的判定定理、等边三角形的判定及性质以及菱形的判定定理,解题的关键是:(1)①利用勾股定理求出DB'的长度;②利用全等三角形的判定定理AAS证出△AGH≌△B′CE;(2)①得出B′EF为等边三角形;③利用特殊角的三角函数值求出BE的长度.本题属于中档题,难度不大.但解题过程稍显繁琐,解决该题型题目时,根据图形的翻折找出相等的边角关系是关键. 23. 如图，直线过A（﹣1，5），P（2，a），B（3，﹣3）． （1）求直线AB的解析式和a的值； （2）求△AOP的面积． 【答案】（1）-1（2） 【解析】 【分析】(1)设直线的表达式为y=kx+b，把点A. B的坐标代入求出k、b，即可得出答案； 把P点的坐标代入求出即可得到a； (2)根据坐标和三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣1，5），B（3，﹣3）代入y＝kx+b，得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3． 当x＝2时，y＝﹣2x+3＝﹣1， ∴点P的坐标为（2，﹣1）， 即a的值为﹣1． （2）设直线AB与y轴交于点D，连接OA，OP，如图所示． 当x＝0时，y＝﹣2x+3＝3， ∴点D的坐标为（0，3）． S△AOP＝S△AOD+S△POD＝OD•|xA|+OD•|xP|＝×3×1+×3×2＝． 【点睛】本题考查一元一次方程和直角坐标系的问题，解题的关键是掌握求解一元一次方程． 24. 如图，在正方形 中，点 、分别在 、 上，， 与 相交于点 ，连接 ． （1）求证：； （2）若点 为 的中点． ①当 时，求的值； ②证明：． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是正方形， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）①； ②如图，过点M作于点G，交于点H，则，， 由①得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵四边形 是正方形， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得，从而得到，即可求证； （2）①根据勾股定理可得，然后根据，可得到，从而得到，即可求解；②过点M作于点G，交于点H，则，，根据勾股定理可得，然后根据，可得，从而得到，，然后利用勾股定理可得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）得：， ∴， ∵四边形 是正方形， ， ∴， ∵点 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $