精品解析：广东省清远市英德市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024学年第二学期初中期末学业质量监测 八年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 甲和乙猜一个橘子质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是（ ） A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 )2 －4 8. 如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数b的图象如图所示，不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于 A. 44° B. 68° C. 46° D. 22° 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 如果一个多边形的内角和为720°，那么它的边数是___________． 13. 如图，在中，是中位线，，那么_____； 14. 如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是__________． 15. 如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，求的度数． 18. 如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 先化简，再求值：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 解：原式 （1）甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_________；（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 20. 目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示： 进价 售价 A模型 20元 30元 B模型 30元 45元 （1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？ （2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面方法说明． 解：设有x个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． （1）问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明． （2）问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由． 探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． （3）问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． （4）问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由． 23. 李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图1，在和中，，，． 【初识图形】 如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________． 【深度探析】 如图3，绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点． （1）的度数为___________，的度数为___________； （2）求证：点为线段的中点． 【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期初中期末学业质量监测 八年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：如果一个图形绕着一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“橘子的质量不少于25克且不够35克”，可得出x的取值范围． 【详解】解：由题意得，． 故选B． 【点睛】本题考查了列不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式(不等式中可以含有未知数，也可以不含．)． 3. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即， 故选：D． 4. 不等式在数轴上表示为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时，要用实心圆点表示；，要用空心圆点表示，且向右画；向左画，据此可得答案． 【详解】解：不等式在数轴上表示为： ， 故选：C． 5. 如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转角的定义．根据旋转角的定义即可得到答案． 【详解】解：根据旋转角的定义，，，都可以表示旋转角，不是旋转角； 故选：D． 6. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：因为，根据不等式的基本性质3，得，再根据不等式的基本性质1，得，所以A符合题意； 因为，根据不等式的基本性质1，得，所以B不符合题意； 因为，当时，得不成立，所以C不符合题意； 因为，根据不等式基本性质3，得，所以D不符合题意． 故选：A． 7. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是（ ） A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 )2 －4 【答案】A 【解析】 【详解】a2－4a=a（a－4）． 故选：A． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由▱ABCD的性质及图形可知： A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确； B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确； C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确； D、根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确； 故选D． 9. 已知一次函数b的图象如图所示，不等式的解集是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用函数图象求不等式解集，掌握利用图象法求不等式解集是解题的关键． 利用图象法求解即可． 【详解】解：由图象可得：一次函数与x轴交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：C． 10. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于 A. 44° B. 68° C. 46° D. 22° 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠A=44°，AB=AC ∴∠B=∠C=68° ∵∠BDC=90° ∴∠DCB=22°． 故本题选D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分式的分母不能为0，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即． 故答案为：． 12. 如果一个多边形的内角和为720°，那么它的边数是___________． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，设它的边数为n，根据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设它的边数为n，根据题意，得， 解得， 所以这是一个六边形． 故答案为：六． 13. 如图，在中，是中位线，，那么_____； 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，根据三角形的中位线平行且等于第三边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵在中，是中位线， ∴， 故答案为：10． 14. 如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 15. 如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点作交于点，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，平分， ， ， ． 故答案为：6． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴方程的解为． 17. 如图，在中，的平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先求解 再证明 再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解： ， 平分 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的对角相等，邻角互补”是解题的关键. 18. 如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？ 【答案】见解析． 【解析】 【分析】连接AB，作AB的垂直平分线，其与河岸边的交点即是所求． 【详解】解：连接AB，分别以A和B为圆心，以大于为半径的两弧交于点E和F， 作直线EF，与河岸交于点C，如图，则码头应建在点C处． 【点睛】本题考查应用与设计作图问题，难度适中，关键要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 先化简，再求值：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 解：原式 （1）甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_________；（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，异分母分式的加减法，分式的乘法，乘法分配律，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分式的基本性质和乘法分配律作出判断即可； （2）选择甲，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再与括号外的分式相乘，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式即可解答． 【小问1详解】 解：②；③，理由如下： 甲同学把括号里面的分式进行通分，变成同分母的分式，那么应用的是分式的基本性质， 乙同学把括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式，那么可知乙同学应用的是乘法分配律． 故答案为：②；③； 【小问2详解】 解： 若选择甲同学的解法： ； 若选择乙同学的解法： ． 20. 目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示： 进价 售价 A模型 20元 30元 B模型 30元 45元 （1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？ （2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润． 【答案】（1）该航模店至少购进67个A款飞机模型 （2）航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设商家购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，根据购进模型的数量不超过模型数量的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论； （2）根据购进模型的数量不少于模型的数量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，且为正整数，可得出为正整数），设航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为元，利用总利润每个款飞机模型的销售利润购进款飞机模型的数量每个款飞机模型的销售利润购进款飞机模型的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，求出最值． 【小问1详解】 解：设该航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为67． 答：该航模店至少购进67个款飞机模型； 【小问2详解】 解：根据题意得：，解得：， ，且为正整数， 为正整数）， 设航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为2399， 此时（个， 答：航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 【答案】（1）图见解析；图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【小问1详解】 解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． 【小问2详解】 解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心M的坐标为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． （1）问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明． （2）问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由． 探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． （3）问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． （4）问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由． 【答案】（1）能，6个正三角形可以共顶点单一密铺 （2）正方形（答案不唯一） （3）2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一） （4）1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，解一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设有x个正三角形，则，解得，因此6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）设有x个正方形，则，解得，因此4个正方形可以共顶点单一密铺； （3）设有x个正三角形，y个正六边形，则，当时，，当时，，故2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则，故当时符合题意，因此方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 小问1详解】 解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正三角形， ∵正三角形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴6个正三角形可以共顶点单一密铺； 【小问2详解】 解：4个正方形可以共顶点单一密铺， 设有x个正方形， ∵正方形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴4个正方可以共顶点单一密铺； 【小问3详解】 解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形 设有x个正三角形，y个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， 当时，， 当时，， ∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； 【小问4详解】 解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形， 设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为， ∴， ∴当时符合题意， ∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 23. 李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图1，在和中，，，． 【初识图形】 如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________． 【深度探析】 如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点． （1）的度数为___________，的度数为___________； （2）求证：点为线段的中点． 【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】初识图形：2，4， 深度探析：（1），；（2）见解析； 拓展探究：或或 【解析】 【分析】初始图形：连接，，可求得，然后利用勾股定理求得，接着可证明为等边三角形，从而求得； 深度探析：（1）先通过两直线平行内错角相等，得到，接着求得，，接着利用，那么有，接着利用求得答案；（2）延长、相交于点，先利用两直线平行内错角相等，证明，从而推出，又因为，推出，结合，证明，从而得出结论； 拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，；在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，先证明为等边三角形，再证明，接着利用勾股定理求得答案． 【详解】解：初识图形：连接，，如图所示： 在和中，，，． ,，， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， 故答案为：2，4， 深度探析：（1），， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）证明：延长、相交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段的中点． 拓展探究：由初识图形，图2可知，时，， 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示： 由题意可知，， ，， 此时； 在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示： ， 为等边三角形， ，， 综上，或或． 【点睛】本题考查了含的直角三角板，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，平行的判定与性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $