第2章 有理数（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年苏科版数学七年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第2章 有理数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 2．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）若数、、在数轴上的位置如图所示，下列五个结论：①；②；③；④．⑤其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，其中一定成立的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 7．（22-23七年级上·浙江·单元测试）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（    ）上． A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有； 既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数； 表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025七年级上·福建·专题练习）“24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式： × ×（ － ）． （2）3，9，4，2，算式： ． 12．（24-25七年级上·重庆·开学考试）A、B两地相距千米．有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进．当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有 千米． 13．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 14．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 15．（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则记，例如，于是．若，，，则的值为 ． 16．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在下列说法中：①若，则；②若，且，则；③几个数相乘，负乘数的个数为奇数时，积为负；④若，则a，b互为相反数；⑤当取最小值时，x的值有无数个．其中正确的是 ．（填序号） 17．（24-25七年级上·四川成都·期末）数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值x为 ． 18．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算： ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算∶ (1) (2) (3) (4) 20．（本题6分）（24-25七年级下·全国·假期作业）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走步，乙走步．现在乙先走步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： ﹙个时间单位﹚在这个时间单位里，甲要走的步数是：﹙步﹚甲要走步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题． 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走米，走了分钟后，哥哥以每分钟米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 21．（本题8分）（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 22．（本题8分）（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 23．（本题8分）（24-25七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 24．（本题8分）（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把 记作，读作的圈次方，记作，读作的圈次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算。 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______；______，______． （其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： 25．（本题10分）（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 26．（本题10分）（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点、点重合），将线段与线段的长度之比定义为点关于点的幸福值，记作，即，例如：点表示的数为1，点表示的数为3，因为，，所以． (1)当点是线段的中点时，点关于点的幸福值_______； (2)若点表示的数为，点表示的数为3，点关于点的幸福值_______； (3)若点表示的数为2，点表示的数为，点关于点的幸福值，求点表示的数； (4)若点表示的数为，点表示的数为，，则点关于点的幸福值_______； (5)如图，点表示，点表示5，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（表示数的点在，之间，在，之间），运动时间为，表示数的点为，之间一点，且点是的中点，若，运动过程中总为一个固定的值，则_______． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版数学七年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第2章 有理数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【规范解答】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据点所在位置，结合数轴上的数右边的比左边的大，判断出数的大小关系，进行判断出式子的符号，进行判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴，，，， 故只有选项C是正确的； 故选C． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【规范解答】解：∵， ∴ 故选：D 4．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）若数、、在数轴上的位置如图所示，下列五个结论：①；②；③；④．⑤其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴，以及有理数的乘法、加减运算法则，化简绝对值，根据数轴可以确定，，从而判断题目中各式子是否正确． 【规范解答】解：由图可知：，， ①，①正确； ②，②正确； ③，③错误； ④，④正确； ⑤，则，⑤错误； 故选：B． 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，其中一定成立的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数运算，含绝对值的数的化简，数轴的应用，通过观察数轴上各数的位置，得到，，逐一判断各个式子，即可得到结果． 【规范解答】解：根据题意，得，， ∵， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∴， 故②错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ∵，，， ∴， 故④正确，符合题意， 综上所述，成立的有3个， 故选：B． 6．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【答案】B 【思路引导】可得，从而可得 ；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解． 【规范解答】解： 是的中点， ， ； A． 在的左边，，，， ， 故此项不符合题意； B． 在与之间时，，，， ， 故此项符合题意； C．在与之间时，，，， ， 故此项不符合题意； D．在的右边时，，，， ， 故此项不符合题意； 故选：B． 【考点剖析】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键． 7．（22-23七年级上·浙江·单元测试）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（    ）上． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【规范解答】解：因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同， 所以乙所行的路程是甲所行的路程的3倍， ①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ∵， ∴第2022次相遇在边上， 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查的是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 8．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有； 既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数； 表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值的定义，的意义，解题的关键是熟练掌握有关概念和性质． 根据绝对值的定义，的意义逐一判断即可． 【规范解答】解：如果，则有，故原说法错误； 既不是正数，也不是负数，故原说法正确； 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或，故原说法错误； 有温度，温度为度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上），故原说法错误； 综上可得：正确，共个， 故选：． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了数轴上两数比较大小及有理数运算，解题关键是正确得出a，b的信息并熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则. 先观察数轴可知：，根据得，然后然后对四个选项逐一分析即可. 【规范解答】观察数轴可知：， ∵， ∴， A．，，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； D．，所以，，此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故选：D． 10．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的运算．根据新定义，列出算式进行计算即可． 【规范解答】解： ； 故选A． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025七年级上·福建·专题练习）“24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式： × ×（ － ）． （2）3，9，4，2，算式： ． 【答案】 2 3 8 4 【思路引导】本题主要考查了四则混合运算，熟练的掌握四则混合运算的法则是解题的关键． 根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的．可以把24先分解成两个数的和、差、商、积的形式，然后再通过给的已知数字，尝试调整凑成得数是24，如，等； （1）先算小括号里的减法，用；再算乘法，；最后算乘法，；列综合算式为：； （2）先计算括号内的加法，；再计算另一个括号内的减法，； 最后将两个结果相乘，；列综合算式为：． 【规范解答】根据分析可知： “24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式：． （2）3，9，4，2，算式：． （答案不唯一） 12．（24-25七年级上·重庆·开学考试）A、B两地相距千米．有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进．当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有 千米． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，求得甲和乙的速度比成为解题的关键． 每次往返甲前进了千米，全程六次往返和一次追上，六次往返前进了（千米），说明追上一次可以行（千米），所以返回就行了（千米）．甲和乙的速度比是，然后求出乙行的路程，再用减去乙行的路程即可． 【规范解答】解：每次往返甲前进了（千米）， 全程六次往返和一次追上，六次往返前进了（千米）， 说明追上一次可以行（千米），所以返回就行了（千米）． 甲和乙的速度比是，乙行了（千米）， 所以此时乙距离A地的距离为（千米）． 答：此时乙距离A地还有千米． 故答案为：． 13．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 【答案】5或 【思路引导】本题考查了分数混合运算的应用，读懂题意，列式计算是解题的关键．分两种情况：①C在A、B两站之间；②A在C、B两站之间，列式求解即可． 【规范解答】①当C在A、B两站之间时， （小时）； ②当A在C、B两站之间时， =（小时）； ∴从A站出发到C站停止一共用了5或小时， 故答案为：5或． 14．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】②④/④② 【思路引导】本题主要考查了相反数定义，有理数的运算，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，有理数运算法则． ①根据得出定a、b异号，不能判断，即可判断①错误； ②根据，分，时，，时，，时，，时，进行讨论，即可判断②正确； ③根据，得出，求出，即可判断③错误； ④根据，，得出，，得出，根据，得出，根据，得出要使成立必须使，根据，得出，即可判断④正确． 【规范解答】解：①若，只能判定a、b异号，不能判断，且c，b互为相反数与没有关系，故①错误； ②若， 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； ∴若，则是正数，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴要使成立必须使， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有②④． 故答案为：②④． 15．（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则记，例如，于是．若，，，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出的值，进而可求出的值，理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在下列说法中：①若，则；②若，且，则；③几个数相乘，负乘数的个数为奇数时，积为负；④若，则a，b互为相反数；⑤当取最小值时，x的值有无数个．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【思路引导】本题考查有理数的乘法，绝对值，相反数，有理数的加法，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键．利用有理数的乘法法则，绝对值的性质，相反数的定义，有理数的加法法则逐项判断即可． 【规范解答】解：若，则，则①正确； 若，且，当时，，则②错误； 几个不为0的数相乘，负乘数的个数为奇数时，积为负，则③错误； 若，那么，则a，b互为相反数，则④正确； 当时，有最小值5，那么x的值有无数个，则⑤正确； 综上，正确的是①④⑤， 故答案为：①④⑤． 17．（24-25七年级上·四川成都·期末）数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值x为 ． 【答案】1，2，3，4 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 根据绝对值的几何意义解答即可． 【规范解答】解：∵表示数轴上x与1之间的距离，表示数轴上x与4之间的距离， ∴时，表示数x的点到表示数1和4的点之间的距离最小， ∴整数x为1，2，3，4， 故答案为：1，2，3，4 18．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了新定义运算，有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键．根据新定义计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． （1）先算乘方，再算乘法，后算加减； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）先利用乘法分配律计算，再算乘法，后算加减； （4）利用乘方的意义计算即可． 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 20．（本题6分）（24-25七年级下·全国·假期作业）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走步，乙走步．现在乙先走步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： ﹙个时间单位﹚在这个时间单位里，甲要走的步数是：﹙步﹚甲要走步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题． 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走米，走了分钟后，哥哥以每分钟米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 【答案】分钟 【思路引导】本题考查追及问题，求出需要追及的路程是解题的关键．根据速度×时间=路程，据此求出弟弟先走的路程即需要追及的距离，然后根据路程差÷速度差=追及时间，据此计算即可． 【规范解答】解： （分钟） 答：经过分钟以后哥哥可以追上弟弟． 21．（本题8分）（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【答案】(1)正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）依据（1）中总结的法则分类解答即可． 【规范解答】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0； （2）解：由题意，两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 22．（本题8分）（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3)点M，N之间的距离为3或9 【思路引导】本题考查数轴上点所表示的数以及两点间距离的计算，解题的关键是根据已知点确定数轴上的单位长度，进而确定各点表示的数，再依据距离公式求解． （1）先确定数轴上的单位长度，从而找出原点及点表示的数． （2）确定B，C，D三点表示的数，计算三点对应数的和并求出的值． （3）确定点M，N可能表示的数，分情况计算两点间的距离． 【规范解答】（1）已知点A表示的数是，点H表示的数是到H的距离为， 因为A到H之间有7个间隔，所以每个间隔的距离为． 从点向左数1个间隔到点，所以表示原点的是点． 点E在点A右侧3个间隔处，那么点E表示的数为， 故答案为：； （2）解：点在点右侧1个间隔处，所以点表示的数是， 点在点右侧2个间隔处，点表示的数是， 点D在点A右侧3个间隔处，点D表示的数是， 所以， ； （3）解：由题意可知F：， 因为点M到点F距离为3，所以点M表示的数是1或 因为点N到点F的距离为6，所以点N表示的数是或4． ；； ；； 综上，点M，N之间的距离为3或9． 23．（本题8分）（24-25七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 【答案】(1)；2；9 (2)G； 或11 (3)秒或秒或秒． 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求得和的值，再利用两点之间的距离求解即可； （2）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化； （3）根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况，分情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴M在数轴上所表示的数为，N在数轴上所表示的数为，M、N两点间的距离为， 故答案为：；2；9； （2）解：①根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． ②根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点M的左侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件． 点的右侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 综上，【M，N】美好点H所表示的数是或11； 故答案为：或11； （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． 24．（本题8分）（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把 记作，读作的圈次方，记作，读作的圈次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算。 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______；______，______． （其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： 【答案】（1），9；（2），，；（3） 【思路引导】本题考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算； （1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （3）根据的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【规范解答】解：（1） ， 故答案为：，9； （2）； ； ； 故答案为：，，； （3） ． 25．（本题10分）（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4） 【思路引导】此题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化规律． （1）根据，，找到规律可得出答案； （2）①根据规律裂项后代入计算即可得出答案； ②根据规律裂项后代入计算即可得出答案； （3），其他项都类似计算后，代入抵消计算即可得答案； （4）设，则，进而得，由此可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3） ； （4）设， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（本题10分）（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点、点重合），将线段与线段的长度之比定义为点关于点的幸福值，记作，即，例如：点表示的数为1，点表示的数为3，因为，，所以． (1)当点是线段的中点时，点关于点的幸福值_______； (2)若点表示的数为，点表示的数为3，点关于点的幸福值_______； (3)若点表示的数为2，点表示的数为，点关于点的幸福值，求点表示的数； (4)若点表示的数为，点表示的数为，，则点关于点的幸福值_______； (5)如图，点表示，点表示5，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（表示数的点在，之间，在，之间），运动时间为，表示数的点为，之间一点，且点是的中点，若，运动过程中总为一个固定的值，则_______． 【答案】(1)1 (2) (3)或3 (4)或 (5) 【思路引导】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题是解题关键． （1）直接利用“幸福值”的定义即可求解． （2）易得，，再利用“幸福值”的定义计算即可． （3）由题意可得关于的分式方程，求解即可； （4）分别两种情况：点、在点的同侧和点、在点的异侧．分别表示出和，再根据“幸福值”的定义计算即可； （5）首先推导出，，然后依据点关于点的幸福值的定义推导出，再结合总为一个固定的值，进一步得出答案． 【规范解答】（1）点是线段的中点， ， ． 故答案为：1； （2）点表示的数为，点表示的数为3， ，， ． 故答案为：； （3）点表示的数为2，点表示的数为， ，， 点关于点的幸福值， ， 经检验，或3原方程的解， 解得：或3； （4）①当点、在点的同侧时（此处以点、在原点右侧来分析），如图， 由题意得，，则， ； ②当点、在点的异侧时（此处以点在原点左侧，点在原点右侧来分析），如图， 由题意得，，则， ． 故答案为：或； （5）根据题意得，， ，， 即． ， ， 总为一个固定的值， 的值与的值无关， ， ， 故答案为：． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$