精品解析：广东省揭阳市榕城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末质检 七年级数学科试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 一岁一枯荣 B. 黄河入海流 C. 明月松间照 D. 白发三千丈 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，，若，，则的长是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 5.5 6. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（ ）秒． A 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A. 128 B. 64 C. 32 D. 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，，则_________． 12. 如图，已知∠ACB=∠DBC，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件：____． 13. 王大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是______． 14. 如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC=26°，则∠DFG=________． 15. 如图，BD是∠ABC角平分线，DE⊥AB于E，ABC的面积是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝________cm． 16. 如图，已知中，平分，于点D，连接，则阴影部分的面积是________． 三、解答题（本大题4小题，17-18题每小题4分，19-20题每小题6分，共20分） 17. ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，已知△ABC中（AB＜BC＜AC）， （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交AC于点P（不写做法，保留作图痕迹）； （2）连接PB，若AC=6，BC=4，求△PBC的周长． 20. 在学习过“概率”之后，张老师要评价学生们的学习效果，他设计了一个转盘，并将其均匀分成6份，分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，转盘停止时，指针所指向的数字即为转出的数．张老师让同学们自己提出问题，下面是三位同学的问题，请你帮助解答． （1）小颖：转动转盘，转出的数字为6的概率是__________； （2）小琪：转动转盘，转出的数字小于3的概率是__________； （3）小乐拿了两张分别写有数字4，5的卡片，随机转动转盘，停止后记下指针指向的数字，与卡片上的数字分别作为三条线段的长度，这三条线段能构成三角形的概率是__________． 四、解答题（本大题3小题，21题8分，22-23题每小题10分，共28分） 21. 生活中的数学： （1）启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图所示的折叠凳，这样设计的折叠発坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是______ ． （2）图是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 22. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”． 为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140km/h)，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速() 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离() 0 5 10 … （1）当刹车时车速为 80km/h时， 刹车距离是 m； （2）该种型号汽车的刹车距离用y(m) 表示，刹车时车速用x(km/h) 表示，根据上表反映的规律，直接写出y与x之间的关系式； （3）该种车型的汽车在车速为 120km/h的行驶过程中，司机至少和前面的汽车保持多远的距离，才能在紧急情况时急刹不会和前车追尾？ 23. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F （1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为______； （2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD−∠AEM＝90°； （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数． 25. 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； （2）如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期末质检 七年级数学科试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 一岁一枯荣 B. 黄河入海流 C. 明月松间照 D. 白发三千丈 【答案】D 【解析】 【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解： A．是必然事件，故选项错误，不符合题意； B．是必然事件，故选项错误，不符合题意； C．是随机事件，故选项错误，不符合题意； D．是不可能事件，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、单项式与单项式相乘法则、单项式与单项式相除法则、积的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不可以合并，故错误，不符合题意； B．，故错误，不符合题意； C．，故错误，不符合题意； D．，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式与单项式相乘法则、单项式与单项式相除法则、积的乘方法则等知识，掌握以上法则，并能正确计算是解题的关键． 4. 用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高， A选项是△ABC的边BC上的高， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 5. 如图，，，若，，则长是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 5.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意先证明出，再利用全等性质得，再利用线段间关系即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．过点作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：过点作， ， ， ，， 又，， ，， ． 故选：A 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 8. 游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（ ）秒． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象即可解答． 【详解】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒， ∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确从图象中获取信息是解题的关键． 9. 如图1所示，平整地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：； 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， ∴， 解得． 故选C ． 10. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A. 128 B. 64 C. 32 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球． ∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有（个）球， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，，则_________． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查平方差公式计算．根据题意可知，代入已知数值即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：65． 12. 如图，已知∠ACB=∠DBC，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件：____． 【答案】AC=BD 【解析】 【分析】已知∠ACB＝∠DBC，BC公共，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是AC＝BD． 【详解】添加的条件是：AC＝BD， 理由是：∵在△ABC和△DCB中 ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故答案为：AC＝BD． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 13. 王大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据周长的意义进行计算即可． 【详解】解：由周长的意义可知，， 故答案为： 【点睛】本题考查由实际问题抽象出函数关系式，理解周长的定义是解决问题的关键． 14. 如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC=26°，则∠DFG=________． 【答案】77° 【解析】 【详解】试题解析： BC∥AD， 故答案为 15. 如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，ABC的面积是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】作DF⊥BC于F，设DE为x，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】作DF⊥BC于F， 设DE为x， ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF＝x， ∴×AB×DE＋×BC×DF＝27，即4x＋5x＝27， 解得，x＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 16. 如图，已知中，平分，于点D，连接，则阴影部分的面积是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质有三角形的面积，延长交于点，先证明，可得，再进行计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4． 三、解答题（本大题4小题，17-18题每小题4分，19-20题每小题6分，共20分） 17. ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的意义，以及零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据有理数的乘方，绝对值的意义，以及零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，完全平方公式，先根据多项式与多项式的乘法法则、完全平方公式化简，再合并同类项，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当， 原式． 19. 如图，已知△ABC中（AB＜BC＜AC）， （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交AC于点P（不写做法，保留作图痕迹）； （2）连接PB，若AC=6，BC=4，求△PBC的周长． 【答案】（1）作图见解析；（2）10. 【解析】 【分析】（1）根据中垂线的尺规作图即可得直线PQ； （2）由中垂线性质知PQ=PB，据此由△PBC的周长=PB+PC+BC=PA+PC+BC=AC+BC即可得． 【详解】（1）如图所示，直线PQ即为所求； （2）连接PB， ∵PQ是AB中垂线， ∴PA=PB， ∴△PBC的周长=PB+PC+BC =PA+PC+BC =AC+BC =6+4 =10． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握中垂线的尺规作图及其性质． 20. 在学习过“概率”之后，张老师要评价学生们的学习效果，他设计了一个转盘，并将其均匀分成6份，分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，转盘停止时，指针所指向的数字即为转出的数．张老师让同学们自己提出问题，下面是三位同学的问题，请你帮助解答． （1）小颖：转动转盘，转出的数字为6的概率是__________； （2）小琪：转动转盘，转出的数字小于3的概率是__________； （3）小乐拿了两张分别写有数字4，5的卡片，随机转动转盘，停止后记下指针指向的数字，与卡片上的数字分别作为三条线段的长度，这三条线段能构成三角形的概率是__________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）根据概率计算公式求解即可； （3）先求出转盘上转出的数字能与4、5构成三角形需要满足的条件，然后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有6个数字，转到每个数字的概率相同， ∴转出的数字为6的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：同（1）可知转出数字1、2的概率分别为、， ∴转出的数字小于3的概率为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设转盘上转出的数字为x， 要使三边长为4、5、x能组成三角形，则， ∴， ∴， ∴x的值可以为2，3，4，5，6， ∴这三条线段能构成三角形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，构成三角形的条件，熟知概率计算公式是解题的关键． 四、解答题（本大题3小题，21题8分，22-23题每小题10分，共28分） 21. 生活中的数学： （1）启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图所示的折叠凳，这样设计的折叠発坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是______ ． （2）图是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解析 【解析】 【分析】利用三角形的性质进行解答； 利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性； 证明：是和的中点， ，， 在和中， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理． 22. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”． 为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140km/h)，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速() 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离() 0 5 10 … （1）当刹车时车速为 80km/h时， 刹车距离是 m； （2）该种型号汽车的刹车距离用y(m) 表示，刹车时车速用x(km/h) 表示，根据上表反映的规律，直接写出y与x之间的关系式； （3）该种车型的汽车在车速为 120km/h的行驶过程中，司机至少和前面的汽车保持多远的距离，才能在紧急情况时急刹不会和前车追尾？ 【答案】（1）20 （2） （3）30m 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求自变量值或函数值． （1）根据题意利用表格信息即可作答； （2）根据表格信息可写出函数解析式； （3）利用（2）中结果将代入即可． 【小问1详解】 解：由表格可知， 刹车时车速每增加， 刹车距离增加， ∴刹车时车速为 80km/h时，刹车距离是：， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：由表格可知， 刹车时车速每增加， 刹车距离增加， ∴y与x之间的关系式为：； 【小问3详解】 解：当时，， ∴司机至少和前面汽车保持的距离，才能在紧急情况时急刹不会和前车追尾． 23. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）①利用计算即可； ②令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1）①由题意可知，， ，， ， 故答案为：20； ②令，， ，， ， 故答案为：13； （2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是22． 五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F （1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为______； （2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD−∠AEM＝90°； （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数． 【答案】（1）∠PFD＋∠AEM=90°；（2）见解析；（3）45° 【解析】 【分析】（1）过点P作PH∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH，然后根据∠MPH＋∠NPH=90°和等量代换即可得出结论； （2）过点P作PG∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，然后根据∠NPG－∠MPG=90°和等量代换即可证出结论； （3）设AB与PN交于点H，根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE，然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论． 【详解】解：（1）过点P作PH∥AB ∵AB∥CD， ∴PH∥AB∥CD， ∴∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH ∵∠MPN=90° ∴∠MPH＋∠NPH=90° ∴∠PFD＋∠AEM=90° 故答案为：∠PFD＋∠AEM=90°； （2）过点P作PG∥AB ∵AB∥CD， ∴PG∥AB∥CD， ∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG ∵∠MPN=90° ∴∠NPG－∠MPG=90° ∴∠PFD－∠AEM=90°； （3）设AB与PN交于点H ∵∠P=90°，∠PEB＝15° ∴∠PHE=180°－∠P－∠PEB＝75° ∵AB∥CD， ∴∠PFO=∠PHE=75° ∴∠N=∠PFO－∠DON=45°． 【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握作平行线的方法、平行线的判定及性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质是解决此题的关键． 25. 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； （2）如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】（1）， （2）且，理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； 【小问2详解】 且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． 【小问3详解】 和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$