第一章 空间向量与立体几何（复习课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第一章空间向量与立体几何 人教B版2019选择性必修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.复习巩固空间向量与立体几何的基础知识，灵活运用相关知识解决问题，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象的数学学科核心素养 3.能借助空间向量知识解决立体几何中的探索性问题 2. 会建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何常见问题 单元学习目标 空间向量与立体几何 空间向量及其运算 空间向量在立体几何中的应用 空间向量的基本概念 空间向量 的线性运算 空间向量的 数量积 共线向量定理 共面向量定理 空间向量的基本定理 空间向量 的 坐标运算 空间向量 证明平行问题 空间向量 证明垂直问题 空间向量 求角问题 空间向量 求距离问题 单元知识图谱 一、空间向量及其运算 （一）空间向量的有关概念 1.空间向量：空间中，既有大小又有方向的量. 模（或长度）：向量的大小 2.几类特殊的空间向量 名称 定义 零向量 始点和终点相同的向量，记作规定：的方向是任意的 单位向量 模等于1的向量 相反向量 给定一个空间 向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量称为相等向量 共线向量 (平行向量) 两个非零向量的方向相同或相反，规定零向量与任意向量平行 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一个平面内，则称这些向量共面 考点串讲 一、空间向量及其运算 3.空间向量的线性运算 空间向量 的线性运算 加法 减法 数乘 运算律 交换律： 结合律： 分配律： 考点串讲 一、空间向量及其运算 4.空间向量的数量积 已知两个非零向量 ，把数量 叫做向量 的数量积(或内积)，记作 ，即 规定，零向量与任何向量的数量积等于0. （1）两个向量的夹角 平面内，给定两个非零向量 ,任意在平面内选定一点O，作 ， 则大小在 内的 称为 的夹角，记作 （2）两向量的数量积 考点串讲 一、空间向量及其运算 （3）空间向量的数量积性质 交换律 分配律 考点串讲 一、空间向量及其运算 （二）空间向量的基本定理 2.共面向量定理 对空间任意两个不共线的向量，，向量与向量 共面 充要条件是存在唯一的有序数对(x，y)，使 =x+y. A B P C 推论1 空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数对 (x, y), 使 推论2 对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外一点O，空间一点P在平面ABC内的充要条件是 O 1.共线基本定理 如果且则存在唯一的实数 使得 考点串讲 3.空间向量基本定理 如果三个向量 ，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得＝x＋y＋z． 把{，，}叫做空间的一个基底，，，叫做基向量． 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 一、空间向量及其运算 考点串讲 一、空间向量及其运算 （三）空间向量的坐标 一般地，如果空间向量基底 中， 都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果=x+y+z ,则称有序实数对(x, y, z)为向量的坐标，记作＝(x, y, z) 考点串讲 （四）空间向量运算的坐标表示 一、空间向量及其运算 设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ＋ ＋＝ 减法 － －＝ 数乘 λ λ＝ ，λ∈R 数量积 · ·＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1ￚb1，a2ￚb2，a3ￚb3) a1b1＋a2b2＋a3b3 (λa1，λa2，λa3) 特别地， cos<>= 考点串讲 一、空间向量及其运算 （五）空间向量的坐标与空间向量的平行与垂直 设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有 ①当≠时，∥⇔＝λ ⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔ ②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 考点串讲 一、空间向量及其运算 （六）空间直角坐标系 画法：一般把x轴、y轴画成水平放置,x轴正方向与y轴正方向夹角为135(或45),z轴与y轴(或x轴)垂直 z轴的正方向一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点逆时针方向旋转能与y轴的正半轴重合 考点串讲 设空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ①=(x2－x1，y2－y1，z2－z1) ②空间两点距离公式：= 空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 （七）空间向量坐标的应用 一、空间向量及其运算 考点串讲 二、空间向量在立体几何中的应用 （一）直线的方向向量 一般地，如果l 是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称为直线l的一个方向向量，此时，也称向量与直线l平行，记作//l l 求直线方向向量的关键是取两点 考点串讲 二、空间向量在立体几何中的应用 （二）平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个法向量 此时，也称与平面垂直，记作⊥ 求法向量的方法 ① 设平面α的法向量 ② 求平面α内的两个不共线向量 ③ 列方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量. 考点串讲 二、空间向量在立体几何中的应用 （三）利用空间向量证明平行关系 若两条直线l1与l2的方向向量分别为，2 2 l1//l2, 或l1与l2重合 1.线线平行： 2.线面平行： 是直线l的一个方向向量,是平面的一个法向量 l ⊥ 3.面面平行： 是平面1的一个法向量，是平面2的一个法向量 // 考点串讲 二、空间向量在立体几何中的应用 （四）利用空间向量证明垂直关系 1.线线垂直： 2.线面垂直： 3.面面垂直： l1⊥l2 <2>= 2=0 若两条直线l1与l2的方向向量分别为，2 是直线l的一个方向向量,是平面的一个法向量 // l⊥ 是平面1的一个法向量，是平面2的一个法向量 ⊥ 1⊥2 考点串讲 二、空间向量在立体几何中的应用 （五）空间向量计算空间角 1.线线角： 2.线面角： 两条直线l1与l2所成角的大小为，与其方向向量，2夹角的关系 =<2> = <2> sin = sin<2> cos = |cos<2>| 设直线AB与平面所成的角为直线AB的方向向量分别为平面的法向量为 =<> =<> 考点串讲 3.平面与平面所成的角： 如果，分别是平面的一个法向量，设所成角的大小为θ θ=<> θ=<> 考点串讲 3.点到平面的距离 两个平行直线之间的距离可以转化为点到直线的距离 2.点到直线的距离 • • l d A 1.两点间的距离 二、空间向量在立体几何中的应用 （六）空间向量计算距离 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离可以 转化为点到平面 的距离 考点串讲 题型一、空间向量的线性运算与数量积 例1 题型剖析 题型一、空间向量的线性运算与数量积 例1 在向量问题中，正确选择三角形面积公式 题型剖析 1. (1)向量 在向量 上的投影向量 (2)向量 在向量 上的投影数量 注： 针对训练 2. 针对训练 3. 注：根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可． （1） （2） 针对训练 题型二、空间向量基本定理及其应用 例2 题型剖析 针对训练 题型三 三点共线问题 例3 向量法证明三点共线的方法 题型剖析 针对训练 题型四 四点共面问题 例4 题型剖析 题型四 四点共面问题 例4 还可以这样问： 点A,E,F,G四点是否共面 或点G是否在平面AEF内 利用法向量证明共面问题 题型剖析 1. 利用共面向量定理证明共面问题 针对训练 2. 利用共面向量定理的推论证明共面问题 针对训练 3. 两条平行直线确定唯一一个平面，也可以用来证共面问题 针对训练 题型五 利用空间向量证明平行关系 例5(1) 坐标法证明线线平行 题型剖析 例5(2) 易忽视 题型五 利用空间向量证明平行关系 题型剖析 例5(3) 用向量法证明线线平行，再借助面面平行判定定理的推论证明面面平行 题型五 利用空间向量证明平行关系 题型剖析 例5(3) 题型五 利用空间向量证明平行关系 题型剖析 常用向量法证明不平行问题 针对训练 题型六 利用空间向量证明垂直关系 例6 题型剖析 题型六 利用空间向量证明垂直关系 例6 题型剖析 用向量法证明线线垂直，再借助线面垂直的判定定理证明线面垂直 针对训练 题型七 利用空间向量求角 例7 题型剖析 针对训练 题型八 利用空间向量求距离 例8 先证平行再转化距离 题型剖析 点到直线的距离公式 点在线上的设法 针对训练 题型九 利用空间向量解决探索性问题 例9 点在面上的设法 题型剖析 点在线上的设法 针对训练 1.空间向量的线性运算与数量积 2.空间向量基本定理及其应用 3. 三点共线、四点共面问题 4. 利用空间向量证明平行垂直关系 5.利用空间向量求空间角、距离 6.利用空间向量解决探索性问题 课堂总结 感谢聆听! $$