第21章二次函数与反比例函数（复习课件）数学沪科版九年级上册

单元复习课件 第二十一章 二次函数与反比例函数 沪科版2024·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.进一步加深对二次函数的概念、图象以及它的性质的理解，理解二次函数与一元二次方程的关系，进一步加深对反比例函数图象与性质的理解，掌握用待定系数法确定二次函数解析式和反比例函数解析式. 3.在利用本章知识解决具体问题过程中，进一步增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学习兴趣. 2.通过梳理本章知识，回顾应用二次函数与反比例的图像与性质解决实际问题所涉及数形结合思想、方程思想、分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解. 单元学习目标 二次函数 二次函数定义 二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数的应用 二次函数表达式的求法 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a（x-h）2+k 二次函数的图像与性质 二次函数的图像与系数关系 二次函数的图像画法 二次函数的图像平移 二次函数的最值 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴 二次函数知识结构图 单元知识图谱 反比例函数知识结构图 定 义 图 象 性 质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应 用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 形如（ k 为常数，k ≠ 0 ） 三种表达式 xy＝k y＝kx－1 (k ≠ 0) k＞0，双曲线落在一、三象限 k＜0，双曲线落在一、三象限 单元知识图谱 1. 二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）二次函数的概念 （2）二次函数的解析式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 顶点式 交点式   1）三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. y=ax²+bx+c (a≠0) 其中a≠0 且a，h，k是常数 y=a(x+h) ²+k y=a（x-x1）（ x-x2） (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标 （x1,0）, （x2,0）时，常用交点式求其表达式. 考点串讲 二次函数 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 （1）二次函数、、 、的图象特点 向上 向下 x y O y x O x y O y x O 直线x=0 直线x=0 直线x=h （y轴） （y轴） （0,0） （h,0） （0,k） x y O y x O x y O y x O 直线x=h （h,k） 2. 二次函数的图象与性质 考点串讲 2. 二次函数的图象与性质 二次函数 图象 增减性质 最值 增减性质 最值 x y O x y O 在对称轴的左侧， y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧， y随x的增大而增大 y x O y x O x y O y x O 在对称轴的左侧， y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧， y随x的增大而减小 当x=0时， y最小值=0． 当x=0时， y最小值=k． 当x=h时， y最小值=0． 当x=0时， y最大值=0． 当x=0时， y最大值=k． 当x=h时， y最大值=0． x y O y x O 当x=h时， y最小值=k． 当x=h时， y最大值=k． （2）二次函数、、 、的函数性质 左降右升 左升右降 考点串讲 2. 二次函数的图象与性质 （3）二次函数特征和性质 a＞0 a＜0 图 形 顶点坐标 对 称 轴 开口方向 增 减 性 最 值 x y O y x 直线 x = - 向上 向下 在对称轴左侧即当x< -时y 随 x的增大而减小. 在对称轴右侧即当x> -时,y随 x 的增大而增大. 在对称轴左侧即当x< -时, y 随 x的增大而增大， 在对称轴右侧即当x> -时,y随 x 的增大而减小. 当x=-时,y最小值= 当x=-时,y最大值= 考点串讲 2. 二次函数的图象与性质 （4）不同形式的二次函数的关系 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x – h )2 y = a( x – h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。 结论: 配方 考点串讲 2. 二次函数的图象与性质 （5）二次函数与各项系数a，b，c符号的关系 a a,b c △ a决定开口方向：a＞０时开口向上， 　　　　　　　 a＜０时开口向下 a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 　　　　　　　　　　　　a、b异号时对称轴在y轴右侧 　　　　　　　　　　　　b＝０时对称轴是y轴 c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 　　　　　　　　　　　　c＝０时抛物线过原点 　　　　　　　　　　　　c＜０时抛物线交于y轴的负半轴 △决定抛物线与x轴的交点： △＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点 △＜０时抛物线与x轴没有交点 (上正、下负） (左同、右异) (上正、下负) △= b2-4ac 　 考点串讲 3.二次函数与一元二次方程 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 （1）二次函数与一元二次方程表达式关系 考点串讲 3.二次函数与一元二次方程 （2）二次函数图像与一元二次方程关系 判别式 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a＞0 抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴交于 （x1，0），（x2,0）（x1＜x2） 两点 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 有两个不相等的实数根     2个交点 a＜0 △＝0 抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴交于（- ，0） 这一点 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 有两个相等的实数根     1个交点 △＜0 抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴无交点 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 在实数范围内无解（或称无实数根）     0个交点 a＞0 a＞0 a＜0 a＜0 考点串讲 3.二次函数与一元二次方程 (3) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； 检验结果的合理性，是否符合实际意义； 作答. 考点串讲 3.二次函数与一元二次方程 （4）二次函数与不等式的关系 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 ax²+bx+c＞0 x＜x1或x＞x2 x≠x1 的全体实数 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 ax²+bx+c=0 x=x1或x=x2 x=x1=x2 无实根 x=x1或x=x2 x=x1=x2 无实根 ax²+bx+c＜0 x1＜x＜x2 无解 无解 x＜x1或x＞x2 x≠x1 的全体实数 全体实数 a＞0 a＜0 x1＜x2 考点串讲 4.实际问题与二次函数 实际问题 二次函数 实际问题 的答案 利用二次函数的图象与性质求解 抽象 检验 目标 建立适当的直角坐标系 根据条件确定已知点坐标 待定系数法求抛物线解析式 用二次函数表示实际问题变量之间的关系 考点串讲 5.反比例函数 (1)反比例函数的概念 一般地，形如y= (为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数 (2)反比例函数的图象 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 由于反比例函数y= (k≠0)中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称， 考点串讲 (3)反比例函数的性质 5.反比例函数 函数 图象 图象的位置 图象变化趋势 函数值增减规律 在每个象限内，y 都随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 都随 x 的增大而增大 第一、第三象限（x、y同号） 第二、第四象限（x、y异号） k＞0 k＜0 在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小 在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而增大 注意：双曲线不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴 反比例函数的图像是轴对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x 反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心为原点. 考点串讲 反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论1】 【模型结论2】 反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 5.反比例函数 (4) 反比例函数y= (k≠0)中k的几何意义 考点串讲 例1.已知抛物线过点(-3, 2)，(-1, -1)，(1, 3)，求抛物线解析式并确定顶点坐标 解：设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c， 将点(-3, 2)，(-1, -1)，(1, 3)代入得： 题型一、二次函数的解析式的确定 ∴抛物线的解析式为y= x2+2x+ . 9a-3b+c=2 a-b+c=-1 a+b+c=3 解得 a= ， b=2， c= . ∴顶点坐标（） ∵y = x2+2x+ ∴顶点坐标： （） 配方 顶点公式 题型剖析 题型一、二次函数的解析式的确定 例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。 解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x 分析： 已知条件 函数最大值是2 图象顶点在直线y=x+1 ∴抛物线解析式可转设顶点式 确定顶点坐标 题型剖析 题型二、二次函数的图像与性质 例3.（2024·四川乐山·中考真题） 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解析】 ∵y=x2-2x=(x-1) 2-1， ∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-1)， 当x=-1时，y=3， ∴(-1，3)关于对称轴对称的点坐标为(3，3)， ∵当x=-1 时，函数取得最大值； 当x=1时，函数取得最小值， ∴1≤t-1≤3， 解得，2≤t≤4， 1 -1 3 3 C 题型剖析 题型二、二次函数的图像与性质 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ 例4.已知二次函数 解: （1）∵a= >0 ∴抛物线的开口向上 ∵ ∴对称轴直线x=-1， 顶点坐标M（-1，-2） (2)由=0，得 ∴抛物线与y轴的交点C（0，） 由y=0，得 ∴与x轴交点: A（-3，0）,B（1，0） 0 y x • M(-1,-2) • • A(-3,0) B(1,0) C(0, ) • (3)由（1）得： 当x＜-1时，y随x的增大而减少; 当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2 题型剖析 题型三、二次函数与各项系数之间的关系 例5.（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) D 【解析】 A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ，，故选项A错误． ∵ 故选项𝐵错误 （否则可得𝑎=0，不合题意）． ∵ 𝑎＜0，𝑐＞0， ∴3𝑎-𝑐＜0，故选项𝐶错误． ∵ 题型剖析 例6. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　 B．2　　　　　C．3　　　 D．4 题型三、二次函数与各项系数之间的关系 （4）由图象上横坐标为 x＝1 的点在第四象限得： a＋b＋c＜0 由图象上横坐标为 x＝－1 的点在第二象限得：a－b＋c＞0， ∴ (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即 (a＋c)2－b2＜0， ∴ (a＋c)2＜b2，故④正确 解析： （1）由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； （2）由对称轴 x＞－1 可得 2a－b＜0，故②正确； （3）由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； D 题型剖析 例7. 对于题目“一段抛物线L1：y1=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线L2 ：y2=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（　　） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D . 甲、乙的结果合在一起也不正确 题型四、二次函数与方程、不等式 解：令y1=y2，得 x+2=﹣x（x﹣3）+c， 即x2﹣2x+2﹣c=0， △=（﹣2）2﹣4×1×（2﹣c）=﹣4+4c ∵抛物线L1与直线L2有唯一公共点， ∴△ =﹣4+4c=0， 解得：c=1， A 0 y x 3 把c=1代入x2﹣2x+2﹣c=0中 得x2﹣2x+1=0 解得x=1， ∵0≤x≤3 ∴ x=1符合条件， 甲的结果正确 1 题型剖析 题型四、二次函数与方程、不等式 例8. 若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为（　　） A．x1 = 0，x2 = 6 B．x1 = 1，x2 = 7 C．x1 = 1，x2 = -7 D．x1 = -1，x2 = 7 解析：∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3， ∴ ，解得 m = －6. ∴二次函数解析式为： y = x2 － 6x ∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解可看为函数y = x2 － 6x 当y=7时自变量x的值 解方程： x2－6x－7 = 0， 即 (x + 1)(x－7) = 0， 解得 x1 = －1，x2 = 7． D 0 y x 3 -m 7 题型剖析 题型五、二次函数的最值问题 例9.已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（    ） A． B．1 C．−1 D． B ∵， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，最大值=， 即： 解得：或（舍去）； 题型剖析 题型五、二次函数的最值问题 例10. 如图，已知一个正方形ABCD的边长为a，分别在边AB，BC，CD，DA上截取相等的线段AP，BQ，CR，DS，连接PQ，QR，RS，SP，则得到正方形PQRS.问要使正方形PQRS的面积最小，所截取的四条线段每条应该多长？ 解：设AP=BQ=CR=DS=x ∴AS=PB=CQ=DR=a－x PS=PQ=QR=SR= S正方形PQRS=PS2=(0<x<a) 当x = ，即所截取的四条线段每条长为 时，正方形PQRS的面积最小. 题型剖析 题型六、二次函数实际应用 例11.某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间成一次函数关系，如下表： （1）求y与x之间的函数关系式; （2）若该商品的销售单价在45元~70元之间浮动， ①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？ ②商场想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为多少？ 解：（1）设y=kx+b，将（30,190）、（50,150）代入得： 30k+ b =190 50k + b = 150 ∴y = -2x+250 解得 k = -2 b = 250 题型剖析 题型六、二次函数实际应用 例11.某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间成一次函数关系，如下表： （1）求y与x之间的函数关系式; （2）若该商品的销售单价在45元~70元之间浮动， ①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？ ②商场想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为多少？ （2）设销售利润w（元），由题意得 w=y·(x-25) =（-2x+250） ·(x-25) = = ∴当时函数有最大值， 当时，w随x的增大而增大 ∵商品的销售单价45元~70元之间浮动， ∴ ∴当时利润最大， 销售量y=-2×70+250=110（件） 答：销售单价定为70元时，销售利润最大，此时销售量,110件？ 题型剖析 题型六、二次函数实际应用 例11.某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间成一次函数关系，如下表： （1）求y与x之间的函数关系式; （2）若该商品的销售单价在45元~70元之间浮动， ①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？ ②商场想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为多少？ （3）由（2）得 W = 当W =4550时 解方程得： ∵ 不合题意，舍去 答：商场想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为60元。 题型剖析 题型七、反比例函数的图像与性质 例12　在函数 （a 为常数）的图象上有三个点（-1，y1），（ ， y2），（　 ，y3） 则 y1，y2，y3 的大小关系是（ 　）. 　　A．y2＜y3＜y1　　　B． y3＜y2＜y1 　　C．y1＜y2＜y3　　　D． y3＜y1＜y2 D 【解析】 ∴双曲线两支分别落在二四象限， 在每一个象限里y随x的增大而增大 ∵（-1，y1）与（ ， y2）在第二象限，且-1＜ ∴0＜y1＜y2 ∵（　 ，y3）在第四象限，∴ y3＜0 ∴y3＜0＜y1＜y2 -1 y1 y2 y3 题型剖析 解：∵点A，B都在反比例函数 的图象上， ∴S1+S2=9，S2+S3=9， ∵ S2=2， ∴S1=S3=7， ∴S1+S3=14. 题型八、反比例系数k的几何意义 例13. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，分别过点A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形S1，S2，S3.已知S2=2，求S1+S3的值. 题型剖析 题型九、反比例函数的实际应用 例14.已知某品牌显示器的寿命大约为2×104 h. （1）这种显示器可工作的天数 d 与平均每日工作的小时数 t 之间具有怎样的函数关系？ （2）如果平均每天工作10 h，那么这种显示器大约可使用多长时间？ ∴这种显示器大约可使用2×103天. 解： （2）当t=10h时 （天） 题型剖析 题型十、函数图像与性质的综合 例15.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M，N两点. (1) 求这两个函数的表达式； (2) 根据图象，写出使反比例函数值大于一次 函数值时x的取值范围； (3) 求△OMN的面积. 解：(1) ∵点M(2，m)，N(－1，－4)都在反比例函数 的图象上， ∴ ∴反比例函数的表达式为 把点M(2，m)代入得：m=2， 将点M(2，2)，N(－1，－4)代入一次函数中得 解得 ∴一次函数的表达式： y=2x－2. 题型剖析 题型十、函数图像与性质的综合 例15.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M，N两点. (1) 求这两个函数的表达式； (2) 根据图象，写出使反比例函数值大于一次 函数值时x的取值范围； (3) 求△OMN的面积. (2)由图象知，x<－1或0<x<2. (3)设直线y=2x－2与y轴的交点为A，则A(0，－2)， ∴S△OMN=S△OMA+S△ONA = ×OA×2+ × OA×1 = 2+1=3. A 题型剖析 例16. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）． (1)若，求的值； (2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围． 题型十、函数图像与性质的综合 （1）解：由题意得， ，点，是抛物线上的两点， 是抛物线上一对对称点 对称轴是直线， ， ∴ ∴ 当时， ，则，不符合题意； 综上所述，的取值范围： 当时， ， （2）抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 点在抛物线上， 且对于， 点在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点为， 题型剖析 题型十、函数图像与性质的综合 例17.（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． （1）二次函数的图像与轴交于，两点， 解得 （2）由（1）可知二次函数解析式为： ，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ，无解， 不符合题意，舍去； 当时， ，； ∴． ∴； 解： 题型剖析 一、选一选 2.已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（　　） A．1 B．9 C．16 D．24 1．给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（　　） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ B A 3．如图，点A，B在反比例函数（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数（k＞0） 的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为 ，则k的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. B. B 针对训练 x y 4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（　　） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 A 一、选一选 5. 如果将抛物线y=ax2+bx+c向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物 线y=x2－2x+1，那么( ). (A) b=6，c=12 (B) b=－6，c=6 (C) b=2，c=－2 (D) b=2，c=4 C 6. 如图，抛物线经过点和点，则（   ） A． B． C． D． C 针对训练 一、选一选 7.（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 如图，函数y=ax2－a与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 8. B． D． A． C． A D 针对训练 9．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（　　） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 一、选一选 D 10. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 B 针对训练 二、填一填 1.已知抛物线y=3x2－bx+4的顶点在x轴上， 那么b= . 2.已知函数y=kx2+x+1的图象与x轴只有一个交点，则交点坐标为 . (－1，0)或(－2，0) 3.已知函数是反比例函数，则 . 2 4.（2024·江苏镇江·二模）反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ． 9 5.（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知二次函数，顶点坐标是( )，当时，则函数的取值范围 。 6．如图，抛物线与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），则方程的解是 ． x1=-2，x2=1 针对训练 三、解答题 1. 如图所示，二次函数y=-2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C. (1)求m的值及点B的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)该二次函数图象上有一点D(x，y)，使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标. 解：(1)∵函数y=-2x2+4x+m过A(3，0)， ∴-18+12+m=0. 解得：m=6. ∴该函数的解析式：y=-2x2+4x+6. ∴当y=0时，即 - 2x2+4x+6=0， 解方程得： x1= -1，x2=3. ∴点B的坐标为(-1，0). (2)当x=0时， y=-2x2+4x+6 =6 ∴抛物线与y轴交点 C坐标为(0，6)， ∵AB=3-（-1）=4 ∴S△ABC=×AB×OC =×4×6 =12. 针对训练 三、解答题 1. 如图所示，二次函数y=-2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C. (1)求m的值及点B的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)该二次函数图象上有一点D(x，y)，使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标. (3)∵S△ABD=S△ABC=12， ∴S△ABD=×AB× =12. ∴　　=6. ①当=6时,-2x2+4x+6=6. 解得x1=0，x2=2. ∴D点坐标为(0，6)或(2，6). ②当=-6时,-2x2+4x+6=-6， 解得x1=1+　 ，x2=1- 　. ∴D点坐标为(1+，-6)或(1-，-6). 综上所述，D点坐标为(0，6),(2，6), (1+　，-6)或(1-　，-6)． 针对训练 三、解答题 2.已知二次函数,其图象对称轴为x=1，且经过（2，- ）. （1）求此二次函数的表达式； （2）该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积. 解：(1)∵函数 ∴ ∴ ∴ , 把（2， ）代入得： 二次函数的表达式: ∵ ∴抛物线顶点为（1，-3） (2)令 解得x1= -1，x2=3. ∵B点在C点左侧 ∴ B点（-1,0），C（3,0） ∴BC=4 由题意得当E点处于此抛物线的顶点时，S△EBC最大 S△EBC= 针对训练 三、解答题 3.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1.反比例函数(k＞0)的图象经过BC边的中点D(3，1)． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上． ①求OF的长;②连接AF，BE，证明：四边形ABEF是正方形． 解：(1)把D(3，1)代入， 得1＝ ， ∴k＝3， ∴反比例函数的表达式为. ∴GE＝AC＝1， FG＝BC＝2， ∠EGF＝∠ACB＝90°， ∴点E的横坐标为1. 当x＝1时，y＝ ＝3， ∴E(1，3)， (2)①∵D(3，1)是BC边的中点， ∠ACB＝90°， ∴B(3，2)． ∵△ABC与△EFG成中心对称， ∴△EFG≌△ABC， ∴OG＝3， ∴OF＝OG－FG ＝3－2＝1. 针对训练 3..如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，且，求k的值 解：如图，连接 ∵点A在反比例函数的图象上， 点B在反比例函数的图象上， ∴， ． ∵， ∴， ∴． ∴ 三、解答题 ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴ 针对训练 三、解答题 3.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1.反比例函数(k＞0)的图象经过BC边的中点D(3，1)． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上． ①求OF的长;②连接AF，BE，证明：四边形ABEF是正方形． ②证明：∵D(3，1)，∠ACB＝90°， ∴OC＝3， ∴OA＝OC－AC＝3－1＝2. ∵FG＝OA＝2，GE＝OF＝1， ∠EGF＝∠FOA＝90°， ∴△EFG≌△FAO， ∴AF＝EF，∠OFA＝∠FEG. ∵∠EGF＝90°， ∴∠GFE＋∠FEG＝90°， ∴∠GFE＋∠OFA＝90°， 又∵∠EFA＝90°， ∴四边形ABEF是矩形． ∵EF＝AF， ∴四边形ABEF是正方形． ∵△ABC与△EFG成中心对称， ∴AB＝EF， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∴∠EFA＝90°. 同理∠FAB＝90°， ∴∠FAB＋∠EFA＝180°， ∴EF∥AB. 针对训练 4.某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益.通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：(3－y)与(x+1)成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只.求当改造经费为2万元年产量y是多少? 解：设 (k≠0)， ∵当x=1时，y=2，代入得： ∴k=2， ∴ 即 三、解答题 当 时 针对训练 三、解答题 5.如图，公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA为1.25 m，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.为使水流形状美观，设计成水流距OA水平距离为1 m处达到最大高度2.25 m.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使水不落到池外？ 解：以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系， 则A(0，1.25)，顶点坐标为(1，2.25)， 设抛物线的解析式：y=a(x－1)2+2.25， 将A(0，1.25)代入得 a=－1， ∴y=－(x－1)2+2.5. 令y=0，得－(x－1)2+2.25=0， 解得：x1=－0.5(舍去)，x2=2.5， ∴水池的半径至少要2.5 m，才能使水流不落到池外. 针对训练 6. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间y1（单位：min）是关于x的一次函数，其关系如下表： 三、解答题 地铁站 A B C D E x/km 7 9 11 12 13 y1/min 16 20 24 26 28 （2）李华骑单车的时间y2（单位：min）也受x的影响，其关系可以用y2＝ x2﹣11x+78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间． （1）求y1关于x的函数解析式； 6．解：（1）设y1关于x的函数解析式为y1＝kx+b． 将（7，16），（9，20）代入， 解得 ∴y1关于x的函数解析式为 y1＝2x+2； 16＝7k+b 20＝9k+b k＝2 b＝2 针对训练 6. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间y1（单位：min）是关于x的一次函数，其关系如下表： 三、解答题 地铁站 A B C D E x/km 7 9 11 12 13 y1/min 16 20 24 26 28 （2）李华骑单车的时间y2（单位：min）也受x的影响，其关系可以用y2＝ x2﹣11x+78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间． （1）求y1关于x的函数解析式； （2）设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min，则 y＝y1+y2＝2x+2+x2﹣11x+78 =x2﹣9x+80 ＝（x﹣9）2+39.5， ∴当x＝9时，y取得最小值， y最小值=39.5， ∴李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min． 针对训练 二次函数 二次函数的概念 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数的应用 反比例函数 定义 图象 性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 课堂总结 感谢聆听! $$