精品解析：河北省秦皇岛市青龙满族自治县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

青龙县2024-2025学年第二学期期末学业水平监测 七年级数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷共8页（第8页空白）． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 试题答案写在答题卡上． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解． 【详解】解：、不含未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、含2个未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列语句是命题的是（ ） A. 对顶角一定相等吗 B. 人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C. 画一个角等于已知角 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，直线被直线所截，与是一对（　　） A. 同位角 B. 内错角 C. 对顶角 D. 同旁内角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的定义分析即可． 【详解】解：∵与都在a，b的同侧，并且在l（截线）的同旁， ∴与是一对同位角． 故选A． 4. 若是方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题的关键． 将方程的解代入原方程中，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， 故选：D． 5. 计算的结果是（ ） A. a B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了同底数幂乘法，根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 6. 2025年3月份新能源汽车市场占有率持续攀升，成为车市增长的重要驱动力．根据中汽协最新数据显示，3月份新能源汽车销售量约为883000辆，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：C． 7. 若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（ ） A. 只有可以 B. 只有可以 C. ，都可以 D. ，都不可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．依此即可求解． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截． 理由：，满足两边之和大于第三边． 故选：A． 8. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先提公因式，进而根据平方差公式因式分解即可． 【详解】 故选C． 【点睛】本题考查了综合运用提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 9. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 数轴表示如下所示：   故选：B ． 10. 如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的； 故③错误； 两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变； 故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：C． 11. 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行列式即可． 【详解】解：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱，且人数人，物价为钱， 即， 故选A． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 12. 方程x－2y＝8中，用含y的代数式表示x，则x＝______． 【答案】2y＋8 【解析】 【分析】把y看做已知数求出x即可． 【详解】解：方程x－2y＝8， 解得：x＝2y＋8， 故答案为：2y＋8 【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13. 不等式的正整数解为______． 【答案】1，2 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：去分母得：x−5＋2＞2x−6， 移项得：x−2x＞−6＋5−2， 合并同类项得：−x＞−3， 系数化为1得：x＜3． 故不等式的正整数解是1，2， 故答案为1，2． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 14. 为了补充学习备品，周日下午，琪琪同学到文化用品商店进行购买，她计划拿出50元全部用于购买单价为5元的笔记本和单价为2元的签字笔（两种商品都购买，且恰好用完50元），请你写出符合条件的一种购买方案________． 【答案】购买笔记本和签字笔分别为8、5（或6、10或4、15或2、20） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买x本笔记本，y支签字笔，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各购买方案，任取其一即可． 【详解】解：设购买x本笔记本，y支签字笔， 根据题意得：， ， 又x，y均为正整数， 共有4种购买方案， 方案1：购买8本笔记本，5支签字笔； 方案2：购买6本笔记本，10支签字笔； 方案3：购买4本笔记本，15支签字笔； 方案4：购买2本笔记本，20支签字笔． 故答案为：购买笔记本和签字笔分别为8、5（或6、10或4、15或2、20） 15. 如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 16. （1）计算： （2）解不等式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，解不等式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据同底数幂的乘除法法则求解即可； （2）根据去分母、合并同类项、化系数为1，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）解： 去分母，得 移项合并，得 将未知数的系数化为1，得 不等式的解集是． 17. 阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，，求度数． 解：（已知） （___________） （已知） （___________） （___________） （___________） （已知） ． 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据平行线的判定和性质，结合图形证明即可． 【详解】解：（已知）, （两直线平行，同位角相等）, （已知）, （等量代换）, （内错角相等，两直线平行）, （两直线平行，同旁内角互补）, （已知）, ． 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 18. 解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①，得． 乙：由②得③，把①代入③． （1）老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是 （填“甲”或“乙”）．请按照这个同学的方法完整正确地解答； （2）请你参照乙的解题思路，解方程组． 【答案】（1）甲， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）根据甲二元一次方程组的方法验证甲、乙同学的计算方法即可求解； （2）参照乙的解题思路，运用代入法计算即可求解． 【小问1详解】 解：过程出现错误的同学是：甲， 正确解题过程：②①得，， 解得，， 把代入①得，， 整理得，， 解得，， 原方程组的解为， 【小问2详解】 解：将方程②变形，得，即③． 把方程①代入③，得， 解得． 把代入①，得， 方程组的解为． 19. 如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化． （1）求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示） （2）求出当，时的绿化面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算化简求值，弄清题意是解本题的关键． （1）绿化面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； 【小问2详解】 当，时，原式（平方米）． 答：绿化面积是29平方米． 20. 在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： （1）下列多项式中；；是完全平方式有______．（请填写序号） （2）若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． （3）代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】（1） （2） （3）有最小值，值为 【解析】 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，解决本题的关键是利用完全平方式的特点把代数式变形． （1）如果代数式可以写成，这个代数式是完全平方式，否则不是完全平方式； （2）因为是一个完全平方式，所以可以写成的形式，又因为，所以； （3）把代数式整理，可得：原式，根据平方的非负性质可知有最小值，最小值是. 【小问1详解】 解：不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 是完全平方式， 故答案为：； 【小问2详解】 解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， ， ， 有最小值，最小值是. 21. 一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明及三角形外角的性质． （1）根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可证明结论； （2）延长交于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：如图，延长交于E， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∵，， ∴． 22. 坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 【答案】任务一：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元；任务二：方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车；方案一的花费最少，比预算节省200元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是： （1）设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元，根据“校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元”列方程组求解即可； （2）设租用辆大型客车，租用辆中型客车，根据总载客量不少于460人且总租金不超过4900元，可列出关于m一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案，然后求出选择各租车方案所需总租金，比较即可得出结论． 【详解】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得： ， 解得 所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元． 任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车， 根据题意得： ， 解得， 为正整数，所以可以为8或9． 方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车 方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车． ∵方案一费用为：（元） 方案二的费用为：（元） ∴方案一的花费最少，比预算节省200元． 23. 【问题情境】 如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数． （1）按小明的思路，求出的度数； 【问题迁移】 （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）当点P在的延长线上时，；当点P在线段上时， 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上，和在线段上，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图所示，当在的延长线时，由（2）可知，， ， 如图所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青龙县2024-2025学年第二学期期末学业水平监测 七年级数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷共8页（第8页空白）． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 试题答案写在答题卡上． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句是命题是（ ） A. 对顶角一定相等吗 B. 人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C. 画一个角等于已知角 D. 若，则 3. 如图，直线被直线所截，与是一对（　　） A 同位角 B. 内错角 C. 对顶角 D. 同旁内角 4. 若是方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 计算的结果是（ ） A. a B. C. D. 6. 2025年3月份新能源汽车市场占有率持续攀升，成为车市增长的重要驱动力．根据中汽协最新数据显示，3月份新能源汽车销售量约为883000辆，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（ ） A. 只有可以 B. 只有可以 C. ，都可以 D. ，都不可以 8. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 9. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 11. 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（ ） A B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 12. 方程x－2y＝8中，用含y的代数式表示x，则x＝______． 13. 不等式的正整数解为______． 14. 为了补充学习备品，周日下午，琪琪同学到文化用品商店进行购买，她计划拿出50元全部用于购买单价为5元的笔记本和单价为2元的签字笔（两种商品都购买，且恰好用完50元），请你写出符合条件的一种购买方案________． 15. 如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为_____． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 16. （1）计算： （2）解不等式： 17. 阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，，求的度数． 解：（已知） （___________） （已知） （___________） （___________） （___________） （已知） ． 18. 解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①，得． 乙：由②得③，把①代入③． （1）老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是 （填“甲”或“乙”）．请按照这个同学的方法完整正确地解答； （2）请你参照乙的解题思路，解方程组． 19. 如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化． （1）求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示） （2）求出当，时的绿化面积． 20. 在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： （1）下列多项式中；；是完全平方式有______．（请填写序号） （2）若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． （3）代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 21. 一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 22. 坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 23. 问题情境】 如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数． （1）按小明的思路，求出的度数； 【问题迁移】 （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $