精品解析： 福建省泉州市石狮市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市石狮市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 分式有意义时 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是甲乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较低 B. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较低 C. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较高 D. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较高 6. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 7. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要 小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，四点都在反比例函数的图象上，其中，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：______． 12. 直线向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为___________． 13. 如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以点E，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点作射线交于点若，，则四边形的周长为______． 14. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是_______． 15. 已知，且，则的值为______． 16. 矩形中， ，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在中，点，在对角线 上，．求证：． 20. 为迎接2025年中国国际渔业博览会，石狮市某渔业公司计划推出A，B两款海鲜礼盒，总产量为20000个．经过成本核算与市场调研，公司制定了营销策略：每个A款礼盒的成本为25元，售价为35元，每个B款礼盒的成本为150元，售价为180元，且生产的两款礼盒全部售出．设A款礼盒生产x个，售出两款礼盒获得的总利润为W元． （1）直接写出总利润W与x之间的函数关系式； （2）若A款海鲜礼盒的产量不少于B款海鲜礼盒产量的3倍，求可获得的最大利润． 21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 22. 如图，在中，点D在边上，且． （1）尺规作图：确定一点E，使得四边形是平行四边形；要求：保留作图痕迹，不写作法 （2）在（1）的条件下，点F在边上，且，连接，．当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 23. 综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度 （） 振动频率 （） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2 C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 24. 如图，在正方形中，将线段绕点D逆时针旋转旋转角小于得到 ，连接 ，交 于点G，平分，交 于点F，连接 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线；与直线交于点，与y轴交于点 （1）求直线的函数表达式； （2）若点P是直线上一点，且点P在y轴左侧，，求点P的坐标； （3）若点M在射线OA上，且∘，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省泉州市石狮市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 分式有意义时 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键． 根据分式有意义的条件是分母不为零列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：． 故选：A． 2. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选C． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数，直接计算即可． 【详解】解：点关于x轴对称时，横坐标保持2不变，纵坐标5变为， 因此对称后的点坐标为． 故选∶B． 4. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质． 根据平行四边形的对角相等、邻角互补即可得出的度数． 【详解】解： 在中， ， ∴ ， 故选：D 5. 如图是甲乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较低 B. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较低 C. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较高 D. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较高 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差与平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．平均数是所有数据的和除以数据的个数． 根据方差、平均数的意义结合图形即可求解． 【详解】解：由题可得，乙同学五次成绩的波动幅度较小，而甲同学五次成绩的波动幅度较大， ， 乙成绩比较稳定； 乙同学五次成绩只有第4次高于甲同学，且第4次两位同学的成绩差小于第5次两位同学的成绩差， 乙平均成绩较低． 故选：B． 6. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，根据三个角都为直角的四边形是矩形可得答案． 【详解】解：由三个角都为直角的四边形是矩形， 可知测测量其中三个角是否都为直角可判断一个四边形门框是否为矩形， 故选：D． 7. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要 小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 8. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：A、根据“四条边相等的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； B、由图可知：，所以根据“对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； C、由图可知只有三条边相等的四边形不一定是菱形，故符合题意； D、因为，所以根据“同旁内角互补，两直线平行”可知该四边形是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； 故选C． 9. 在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论 【详解】解：如图， ， ∵ ∴， ∴的面积， 故选：B 10. 已知，，，四点都在反比例函数的图象上，其中，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质． 根据题意，点C和D在反比例函数上，代入坐标可求得，确定函数为．此时反比例函数图象位于第二、四象限，点A、B的横坐标，说明它们位于第二象限，对应的 值为正数，结合反比例函数在第二象限的增减性，即可比较和的大小． 【详解】解：将点代入，得，解得， 将点代入，得， 则，解得，故， ∴反比例函数为； ∵， ∴函数在第二象限中， 随x的增大而增大， ∵，在反比例函数的图象上，且， ∴． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握以上运算是解题的关键． 先计算负整数指数幂和零指数幂，然后计算减法即可． 【详解】解：原式 故答案为： 12. 直线向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的平移规律可知， 平移后的直线解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 13. 如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以点E，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点作射线交于点若，，则四边形的周长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及等角对等边进行求解即可． 本题考查了作图-基本作图，掌握平行四边形的性质及等角对等边是解题的关键． 【详解】解：由作图得：平分， ， 在中，，，， ， ， ， ， 四边形的周长为 ， 故答案为： 14. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：由图象可知，二元一次方程组 的解是． 故答案为：． 15. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，分式的求值，结合已知条件求得是解题的关键． 将原等式去分母得，然后将原式等量代换后再进行约分即可． 【详解】解：已知， 去分母得：， 原式 ， 故答案为： 16. 矩形中， ，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为______． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】解：如图 1，过点作于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形，， ， 由折叠可得，， ， ∵点为 的中点， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 如图 2，过点作与， 则四边形是矩形，， ， 由折叠可得， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，的长为2或8， 故答案为：2或8． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程得解法步骤是解题的关键．通过去分母、将分式方程转化为整式方程，再解方程，分式方程必须验根才能确定是否有解． 【详解】解：， 方程的两边都乘，得 ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1得， 检验：当时，， 原分式方程的解为：． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简． 先通分算括号内的，把除化为乘，约分后将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 19. 如图，在中，点，在对角线 上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，即可推出，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 20. 为迎接2025年中国国际渔业博览会，石狮市某渔业公司计划推出A，B两款海鲜礼盒，总产量为20000个．经过成本核算与市场调研，公司制定了营销策略：每个A款礼盒的成本为25元，售价为35元，每个B款礼盒的成本为150元，售价为180元，且生产的两款礼盒全部售出．设A款礼盒生产x个，售出两款礼盒获得的总利润为W元． （1）直接写出总利润W与x之间的函数关系式； （2）若A款海鲜礼盒的产量不少于B款海鲜礼盒产量的3倍，求可获得的最大利润． 【答案】（1） （2）公司可获得最大利润为300000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，根据题意列出函数解析式和不等式是解题关键． （1）根据总利润=销售两款礼盒所获得的利润之和列出函数解析式； （2）根据A款海鲜礼盒的产量不少于B款海鲜礼盒产量的3倍列出不等式求出x的取值范围，再根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：款海鲜礼盒的产量不少于B款海鲜礼盒产量的3倍， ， 解得， 又， ， 在中，， 随x的增大而减小， 当时，W最大，最大值为300000， 公司可获得最大利润为300000元． 21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3） 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 22. 如图，在中，点D在边上，且． （1）尺规作图：确定一点E，使得四边形是平行四边形；要求：保留作图痕迹，不写作法 （2）在（1）的条件下，点F在边上，且，连接，．当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）结论：四边形是矩形，见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图平行四边形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）分别以A，D为圆心， ， 为半径作弧，两弧交于点E，连接 ，即可； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【小问1详解】 解；如图，四边形即为所求； 根据作图可知：，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形． 理由： 四边形是平行四边形， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形． 23. 综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度 （） 振动频率 （） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2 C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为 【解析】 【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线． 根据表格可知 ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为． 函数图象，如图所示 （3）由题可得，低音区的音频率为 代入 ∴ 答：低音区的对应吸管长度为 24. 如图，在正方形中，将线段绕点D逆时针旋转旋转角小于得到 ，连接 ，交于点G，平分，交 于点F，连接 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形综合题，合理运用等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识是本题解题的关键． 先证明和全等，从而得到，再证明 是等腰三角形，从而得到，从而得证； 连接 ，先根据三角形内角和以及的结论得到，根据勾股定理即可得到等式； 过D作 垂线，连接，延长交于M，先根据，求出，再根据等腰三角形的性质得出，从而求得的长． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可知，， 平分， ， 又， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接 ，如图： ，，， ， ， 在中，， 四边形为正方形， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：作于H，连接，延长交于M，如图： ， ， ，， ， ， ， 又， 为等腰直角三角形， ，是的平分线， ，M是中点， 是的平分线， ， ， 为等腰直角三角形， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线；与直线交于点，与y轴交于点 （1）求直线的函数表达式； （2）若点P是直线上一点，且点P在y轴左侧，，求点P的坐标； （3）若点M在射线OA上，且∘，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点M的坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）设直线的函数表达式为，把，代入解出k，b的值，即可得直线的函数表达式为； （2）设，其中，利用面积公式建立方程求出； （3）在x轴正半轴上取点K，使，连接，过A作于H，过H作轴，过B作于T，过A作于G，延长交x轴于N，证明，得，设，建立方程组求出点 的坐标，即可求得直线的解析式为，求出点的坐标，再根据角的关系可得，即知和N关于y轴的对称点，即，故直线的解析式为，联立求出点M的坐标 【小问1详解】 设直线的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 设，其中，如图： ，， ， ∵， ∴； ∴， 解得 ， ∴； 【小问3详解】 在x轴正半轴上取点K，使，连接，过A作于H，过H作轴，过B作于T，过A作于G，延长交x轴于N，如图： ∴，AH⊥BK， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ， ∴， 设， 又，， ∴， 解得， ∴， 由，得直线的解析式为， 令得，， 解得， ∴， ∵，，即， ∴， 为关于y轴的对称点， ∴， 由，得直线BM的解析式为， 联立，解得， 点M的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $