精品解析：广东省汕头市潮阳区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024－2025学年度第二学期八年级综合素养评价卷 数 学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得且， 即， 故选：B 2. 已知是整数，则自然数m的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 3. 若是关于x的一次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故选：A． 4. 如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为5，11，则正方形A的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵正方形，的面积分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积． 故选：C． 5. 如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出的长，在利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：， ∵以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点， ∴该点表示的数为：， ∵， ∴， 故选B． 6. 若点，都在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，当斜率时，函数值y随x的增大而减小，由此可比较m和n的大小。 【详解】解：∵ 一次函数，且 ∴y随x的增大而减小， ∵点，都在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：C． 7. 一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC＝24cm，CB＝32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度． 【详解】解：如图，AC为圆桶底面直径， ∴AC＝24cm，CB＝32cm， ∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度， ∴AB＝＝40cm． 故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理得应用，首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果． 8. 正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正比例函数的增减性，可得k的取值范围，再求出于x轴的交点坐标和与y轴的交点坐标，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而增大， ∴， 当时，一次函数， ∴一次函数与y轴交于负半轴， 当时，一次函数，解得：， ∴一次函数与x轴交于负半轴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数和一次函数的k值大于0时，随的增大而增大，反之，随的增大而减小． 9. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 10. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，若，则长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，首先证明四边形为矩形，易得，；设，则，证明为等腰直角三角形，进而可得，再结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，解得，可知；证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形为正方形，， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∵为正方形的对角线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一组数据3、8、5、、4的众数为4，则该组数据的中位数为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数的意义，熟练掌握众数的意义和求中位数的方法是解决问题的关键． 先根据众数的意义推出这组数据中的值，然后根据求一组数据的中位数的方法即可求出结果． 【详解】解：这组数据的众数是4， 数据中的的值是4， 将这组数据按照从小到大的顺序排列为：3、4、4、5、8， 中间的是4， 该组数据的中位数为4． 故答案为：4． 12. 已知，，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，二次根式的运算，运用平方差公式简化运算是解题的关键． 首先求出和的值，然后提公因式因式分解，然后代入求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，的对角线，相交于点E．若，的周长比的周长小，则的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是牢记平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分． 根据平行四边形对角线互相平分可得，再由的周长比的周长小，可以求出，根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 的周长比的周长小， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，的值为__． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求出的坐标是解题的关键． 根据题意，得出，勾股定理求得，即可求解， 【详解】解：连接、，    ∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形， ， ， 依题意，， ，则， ， ， ， 故答案为：30． 三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根数的运算，分式的求值，熟练掌握相关运算法则以及完全平方公式，是解题的关键： （1）先进行除法，化简二次根式的运算，再合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式进行求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解：， ． ． 17. 如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据三线合一的性质可得出垂直平分，根据线段垂直平分的性质得出，根据证明，得出，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证明：是边上的中线， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 18. 如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，完成下面各题． （1）2节链条的总长度为___________，3节链条的总长度为___________； （2）若x节链条总长度为，求y关于x的函数关系式； （3）当一根链条的总长度为时，请求出该链条由几节组成． 【答案】（1）， （2） （3）总长度为的链条由40节组成 【解析】 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，解题的关键是正确的列出函数关系式： （1）根据题意可知每增加一节，增加，进行求解即可； （2）根据（1）中结论，列出函数关系式即可； （3）令，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：每增加一节，链条增加， 2节链条的总长度， 3节链条的总长度， 故答案为：，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 当时， 解得， 总长度为的链条由40节组成． 四、解答题（二）（本大题3小题，每题9分，共27分） 19. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）79，79，27； （2）乙班成绩比较好，理由： 乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好． （3）42人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解； （2）结合平均数，方差代表的数据信息说明； （3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数． 【小问1详解】 解：甲班成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位数，众数； 乙班数据方差 【小问2详解】 略 【小问3详解】 获奖人数：（人）． 答：两个班获奖人数为42人． 【点睛】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的关键． 20. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，已知该商店甲种笔记本的单价为5元/个，乙种笔记本的单价为3元/个，张老师准备购买甲、乙两种笔记本共100个．因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．设张老师购买x个甲种笔记本，购买这两种笔记本所需费用为y元． （1）求y与x之间的关系式； （2）若本次购买甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【答案】（1） （2）购买75个甲种笔记本、25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元 【解析】 【分析】（1）张老师购买x个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，根据总费用＝甲种笔记本的费用＋乙种笔记本的费用列式即可； （2）甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：张老师购买x个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 由题意得：， 即y与x之间的关系式为； 【小问2详解】 解：∵甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍， ∴， 解得， ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取最小，最小值为， 此时， 答：购买75个甲种笔记本、25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式及不等式． 21. 如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN是平行四边形； （2）已知AF=12，EM=5，求AN的长． 【答案】 （1）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵BM⊥AC，DN⊥AC， ∴DN∥BM， ∴四边形BMDN是平行四边形； （2）13． 【解析】 【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可； （2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN=即可解决问题． 【详解】略 （2）∵四边形BMDN是平行四边形， ∴DM=BN， ∵CD=AB，CD∥AB， ∴CM=AN，∠MCE=∠NAF， ∵∠CEM=∠AFN=90°， ∴△CEM≌△AFN， ∴FN=EM=5， 在Rt△AFN中，AN===13． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两直线相交于点． （1）求m，n的值； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点P，使的面积等于6？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）把点代入，可求出m的值，再把所得的点C的坐标代入，可求出n的值，即可求解； （2）分别求出点A，B的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可； （3）分两种情况解答即可求解． 【小问1详解】 解：点在直线上， ．解得． 点的坐标为． 又点在直线上， ．解得． ； 【小问2详解】 解：对于直线，令，得， 解得：， ， 对于直线，令，得． 解得， ， ， 由（1）知，， ． 【小问3详解】 解：存在． 由（2）可知，，， 分以下两种情况： ①当点在点的上方时，， 即， 解得：， （负值舍去）， 当时，． 解得． ∴点P的坐标为； ②当点在点的下方时， ， 点在点上方． ， 即 解得， （负值已舍） 当时，，解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 23. 综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． （1）【初步思考】 若点落在矩形的边上（如图）． ①当点与点重合时，___________； ②当点与点重合时，___________． （2）【深入探究】 当点在上，点在上时（如图）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． （3）【拓展延伸】 若点为动点，点为的中点，直接写出的最小值． 【答案】（1）①；② （2）①证明见解析；② （3） 【解析】 【分析】（）①根据折叠的性质解答即可；②画出图形，再根据折叠的性质解答即可； （）①证明，得到，即可得四边形是平行四边形，再根据即可求证；②设菱形的边长为，则，在中，利用勾股定理可得，即得，又由勾股定理可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解； （）连接，利用勾股定理可得，由折叠得，又由三角形的三边关系可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①当点与点重合时，为的中点，为的中点， ， 故答案为：； ②当点与点重合时，如图， 由折叠可得，， ∵， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①证明：∵点的对应点记为点，折痕为， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 为菱形； ②解：当时，设菱形的边长为，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ， ， ∴， 当时， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， 在中，∵， ， ， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期八年级综合素养评价卷 数 学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 2. 已知是整数，则自然数m的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若是关于x的一次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为5，11，则正方形A的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 22 5. 如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 若点，都在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 7. 一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为（ ） A. B. C. D. 8. 正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，若，则长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一组数据3、8、5、、4的众数为4，则该组数据的中位数为___________． 12. 已知，，则的值是___________． 13. 如图，的对角线，相交于点E．若，的周长比的周长小，则的长度为___________． 14. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，的值为__． 三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 17. 如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 18. 如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，完成下面各题． （1）2节链条的总长度为___________，3节链条的总长度为___________； （2）若x节链条总长度为，求y关于x的函数关系式； （3）当一根链条的总长度为时，请求出该链条由几节组成． 四、解答题（二）（本大题3小题，每题9分，共27分） 19. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 20. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，已知该商店甲种笔记本的单价为5元/个，乙种笔记本的单价为3元/个，张老师准备购买甲、乙两种笔记本共100个．因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．设张老师购买x个甲种笔记本，购买这两种笔记本所需费用为y元． （1）求y与x之间的关系式； （2）若本次购买甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 21. 如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN是平行四边形； （2）已知AF=12，EM=5，求AN的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两直线相交于点． （1）求m，n的值； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点P，使的面积等于6？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． （1）【初步思考】 若点落在矩形的边上（如图）． ①当点与点重合时，___________； ②当点与点重合时，___________． （2）【深入探究】 当点在上，点在上时（如图）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． （3）【拓展延伸】 若点为动点，点为的中点，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $