精品解析：广东省汕头市潮阳区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024年度第二学期八年级综合素养评价卷 数学 本试卷共5页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为菱形的对角线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三个旅行团的游客人数相等，且平均年龄都是32岁，游客年龄的方差分别是，，，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团，则他应选（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 无法确定 5. 若一次函数图象上有两点，，则下列，大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的中线，，分别是，的中点，连接．若，则的长为（    ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 7. 若正比例函数y＝（a﹣4）x的图象经过第一、三象限，化简的结果是（　　） A. a﹣3 B. 3﹣a C. （a﹣3）2 D. （3﹣a）2 8. 如图，已知直线 y＝﹣x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴于点 C，则点 C 的坐标为（ ） A. （﹣1，0） B. （﹣2，0） C. （2﹣2，0） D. （2﹣2，0） 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，下列结论：；；；的面积是．其中正确的结论为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 函数的图象经过点，则______． 13. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 14. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于的不等式的解集为__． 15. 已知菱形的边长为4，，菱形的面积是__________． 16. 如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是________． 三、解答题一（本大题有3小题，每小题6分，共18分．） 17. 计算： 18. 已知：． （1）化简A； （2）若点是一次函数图象上的点，求A的值． 19. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 四、解答题二（本大题有3小题，每小题8分，共24分．） 20. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， （2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 21. 为了激发同学们对“人工智能”学习的兴趣，我市某中学开展了“人工智能知识比赛”．为了解学生“人工智能”的学习情况，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息： 八年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，88，89，95，96，99，99，99 九年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，94，94． 八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 92 92 九年级 92 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）该校八年级有2000名学生、九年级有1500名学生参加了此次“人工智能比赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数是多少？ （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生“人工智能”知识掌握得较好？请说明理由（一条理由即可） 22. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 五、解答题三（本大题有3小题，每小题10分，共30分．） 23. 近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：） 与充电时间（单位：）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为 ． （2）求与的函数解析式，并写出的取值范围． （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间? 24. 综合与实践 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； [初步探究] （1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是________；与的位置关系为________；，，三者的数量关系为． [探索发现] （2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由． [拓展延伸] （3）如图③，连接AE，若，，则的长为________． 25. 如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点Q的坐标； ②点M在线段上，连接，如图2，若，直接写出P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024年度第二学期八年级综合素养评价卷 数学 本试卷共5页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握知识点，正确化简是解题的关键． 化简至最简二次根式，比较被开方数是否一样即可． 【详解】解：A、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； B、，不可以与进行合并，故本选项符合题意； C、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； D、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可． 【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意； B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项正确，符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算． 3. 如图，为菱形的对角线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形对边平行的性质可得的度数，再根据菱形一条对角线平分一组对角即可求得的度数． 【详解】解：， ， 平分， ， 故选：B 【点睛】本题考查菱形的相关性质．熟练掌握各性质是解题的关键． 4. 甲、乙、丙三个旅行团的游客人数相等，且平均年龄都是32岁，游客年龄的方差分别是，，，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团，则他应选（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的意义即可得到答案． 【详解】 ∵方差越小，表示游客年龄波动越小、越相近， ∴他应该选择丙团． 故选：C． 【点睛】本题考查了方差的意义，掌握理解方差的意义是解题关键． 5. 若一次函数图象上有两点，，则下列，大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次项系数可知y值随x值的增大而减小，比较，两点的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵中一次项系数， ∴y值随x值的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，对于一次函数，当一次项系数时，y值随x值的增大而减小，当时，y值随x值的增大而增大，掌握上述知识是解题的关键． 6. 如图，是的中线，，分别是，的中点，连接．若，则的长为（    ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形的中线的定义求出，再根据三角形中位线定理求出． 【详解】解：是的中线，， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 故选：D 7. 若正比例函数y＝（a﹣4）x的图象经过第一、三象限，化简的结果是（　　） A. a﹣3 B. 3﹣a C. （a﹣3）2 D. （3﹣a）2 【答案】A 【解析】 【分析】已知正比例函数y＝（a﹣4）x的图象经过第一、三象限，根据正比例函数的性质可得a-4>0，即a>4；由此可得3-a<0，再根据二次根式的性质化简即可. 【详解】∵正比例函数y＝（a﹣4）x的图象经过第一、三象限， ∴a-4>0， 即a>4； ∴3-a<0， ∴=a-3. 故选A. 【点睛】本题考查了正比例函数的性质及二次根式的性质，根据一次函数的性质求得a>4是解决问题的关键. 8. 如图，已知直线 y＝﹣x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴于点 C，则点 C 的坐标为（ ） A. （﹣1，0） B. （﹣2，0） C. （2﹣2，0） D. （2﹣2，0） 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用勾股定理求出AB的长度，再结合点A的坐标即可找出点C的坐标． 【详解】当x=0时，y=-x+2=2， ∴点B的坐标为（0，2），OB=2； 当y=0时，-x+2=0，解得：x=2， ∴点A的坐标为（2，0），OA=2． ∴AB=， ∴点C的坐标为（2-2，0）． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标是解题的关键． 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得： 故选：A． 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，下列结论：；；；的面积是．其中正确的结论为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，含的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，根据正方形的性质和平角的定义可求，可判断；根据正方形的性质可求，再根据线段的和差关系可求的长，可判断； 作于，作交的延长线于，根据含的直角三角形的性质可求 ，根据勾股定理可求，可判断； 根据三角形面积公式可判断；掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故正确； ∵ ， ∴， ∵， ∴，故正确； 作于，作交的延长线于，则， ∴，，， ∴，故错误； 的面积，故正确； ∴正确的结论为， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得， 解得． 故答案为：． 12. 函数的图象经过点，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】把点代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意可把点代入函数解析式得：， 解得：； 故答案为1． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 13. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 14. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于的不等式的解集为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．利用函数图象，直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为，直线中随的增大而减小， 关于的不等式的解集是， 故答案为： 15. 已知菱形的边长为4，，菱形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接对角线，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质以及求出对角线的长度，再利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：连接对角线，并交于点 在菱形中， 是等边三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练运用菱形的性质是解决本题的关键． 16. 如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由可知，当O，M，A三点共线时最短，即此时最短，然后分别求出和的长即可． 【详解】解：连接，交于点． ∵， ∴当O，M，A三点共线时最短，即此时最短． 当时，， 当时，，即， ∴， ∴． ∴， ∴点A在的角平分线上，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形三条边的关系，勾股定理，坐标与图形的性质，判断出当O，M，A三点共线时最短，即此时最短是解答本题的关键． 三、解答题一（本大题有3小题，每小题6分，共18分．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式和二次根式的加减法可以解答本题． 【详解】(+)(−)++|−| =3-2+3+ =1+4． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 18. 已知：． （1）化简A； （2）若点是一次函数图象上的点，求A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算、一次函数图象上的点．注意化简的准确性． （1）利用异分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果； （2）把点坐标代入一次函数解析式求出的值，代入原式计算即可求出值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵点是一次函数图象上的点， ∴，即， ∴原式． 19. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 四、解答题二（本大题有3小题，每小题8分，共24分．） 20. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， （2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） 如图， （2） ．证明如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∴． ∵EF为AC的垂直平分线， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线． （2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质． 21. 为了激发同学们对“人工智能”学习的兴趣，我市某中学开展了“人工智能知识比赛”．为了解学生“人工智能”的学习情况，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息： 八年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，88，89，95，96，99，99，99 九年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，94，94． 八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 92 92 九年级 92 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）该校八年级有2000名学生、九年级有1500名学生参加了此次“人工智能比赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数是多少？ （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生“人工智能”知识掌握得较好？请说明理由（一条理由即可） 【答案】（1） （2）2050人． （3） 九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好，理由如下： 从平均数看，两个年级的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，所以九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好． 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键． （1）先求出九年级10名学生C组人数所占比例，再根据百分比之和为1可得a的值，再根据中位数和众数的定义求解可得b、c的值； （2）利用样本估计总体即可； （3）从平均数、中位数和众数等角度得出八年级的成绩较好． 【小问1详解】 解：九年级10名学生C组人数所占比例为， 所以D组人数所占比例为，即， 八年级成绩中99分出现次数最多，故众数， 九年级学生成绩第5、6个数据分别为94，94，所以其中位数， 故答案为：40，99，94； 【小问2详解】 （人）， 答：估计参加本次比赛成绩不低于90分的学生约为2050人． 【小问3详解】 略 22. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】（1）过程见解析，面积 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）过C作于H，设，则，利用勾股定理表示出，用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵三角形三边长分别为4、5、7， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：过C作于H，设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：． 在中，， ∴． 五、解答题三（本大题有3小题，每小题10分，共30分．） 23. 近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：） 与充电时间（单位：）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为 ． （2）求与的函数解析式，并写出的取值范围． （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间? 【答案】（1） （2） （3）快速充电器比普通充电器少用时间为小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． （1）根据图像可以得出结论； （2）用待定系数法分段求函数解析式即可； （3）分别求出快速充电器所用时间和普通充电器所用时间，即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知： 普通充电器对该汽车每小时的充电量为：， 故答案为：； 【小问2详解】 当时， 设线段的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ； 当时， 设线段的解析式为， 代入，， 得：， 解得， ， 与的函数解析式为； 【小问3详解】 将该汽车电池电量从充至，用快速充电器可得：， 解得：； 普通充电器所用时间为： （小时）， ． 答：快速充电器比普通充电器少用时间为小时． 24. 综合与实践 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； [初步探究] （1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是________；与的位置关系为________；，，三者的数量关系为． [探索发现] （2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由． [拓展延伸] （3）如图③，连接AE，若，，则的长为________． 【答案】（1），，； （2）， 理由：∵四边形、都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴； （3）3 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）类似（1）探究即可； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形、都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：略； （3）在正方形中，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 25. 如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点Q的坐标； ②点M在线段上，连接，如图2，若，直接写出P的坐标． 【答案】（1）； （2）①或；②或． 【解析】 【分析】（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论； ②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可，即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 由得：， ． 由得：， 解得：， ， 点与点关于轴对称． ， 设直线的函数解析式为， ，解得：， 直线的函数解析式为 【小问2详解】 ①设点，则点，点， 过点作与点， 则，， 则的面积，解得：， 故点的坐标为或； ②如图2，当点在轴的左侧时， 点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，，， ，解得：， ， 如图2，当点在轴的右侧时， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $