第05讲 平方根与立方根 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（北师大版2024）

第05讲 平方根与立方根 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1算术平方根 2与 的性质 3平方根 4立方根 5估算 6用计算器求算术平方根和立方根 题型巩固 一、求一个数的算术平方根 二、利用算术平方根的非负性解题 三、无理数整数部分的有关计算 四、算术平方根的实际应用 五、平方根概念理解 六、求一个数的平方根 七、已知一个数的平方根，求这个数 八、利用平方根解方程 九、立方根概念理解 十、求一个数的立方根 十一、立方根的实际应用 十二、计算器——平方根和立方根 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0) (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点2与 的性质 类别 性质 举例 a 为任意数， 是先平方再开方 注意：将 写成 时， 必须是非负数。 知识点3平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点4立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” a可以是正数，负数或0 指数3不能省略 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a ①利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2 因为a3 的立方根为a，所以= a ② ③ . (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点5估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点6用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 题型巩固 题型一、求一个数的算术平方根 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）9的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D．81 2．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 3．求以下各数的算术平方根：，，，． 题型二、利用算术平方根的非负性解题 4．算术平方根等于它的相反数的数是（    ） A．0 B．1 C．0和1 D．0和 5．设、为实数，且，则的值是 ． 6．对于任意数，一定等于吗？ 题型三、无理数整数部分的有关计算 7．的整数部分是a，的整数部分是b，则a、b的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）的整数部分为 ． 9．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 题型四、算术平方根的实际应用 10．关于描述错误的是（　　） A．是无理数 B．表示2的算术平方根 C．无法在数轴上表示出来 D．面积为2的正方形边长是 11．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，则落到地面所用时间t近似为 ． 12．一个正方形的面积变为原来的倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的倍呢？面积变为原来的倍呢？ 题型五、平方根概念理解 13．下列说法正确的是（　　） A．－81的平方根是±9 B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D．3是9的平方根 14．若有平方根，则实数的取值范围是 ． 题型六、求一个数的平方根 15．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）4的平方根是（   ） A．16 B．2 C． D． 16．16的平方根是 ． 17．计算下列各式的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 题型七、已知一个数的平方根，求这个数 18．已知2m﹣1和5﹣m是a的平方根，a是（    ） A．9 B．81 C．9或81 D．2 19．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若一个正数的两个平方根是和，则 ． 20．已知a的平方根是，b的平方根是．求的平方根． 题型八、利用平方根解方程 21．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 22．已知方程，则x＝ ． 23．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）解方程： 题型九、立方根概念理解 24．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的负的平方根 C．的立方根是2 D．是有理数 25．计算： ． 26．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： （1），你能确定59319的立方根是几位数吗？ （2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？ （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？ （4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根． 题型十、求一个数的立方根 27．（22-23八年级上·广西桂林·阶段练习）立方根等于5的数是（    ） A．5 B．5 C．125 D．25 28．（23-24八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 29．（23-24八年级上·福建漳州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，求的立方根． 题型十一、立方根的实际应用 30．一个正方体的体积是 ，则它的表面积是（    ） A．96 B．64 C．32 D．16 31．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 32．一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的倍，这个正方体的棱长是多少？ 题型十二、计算器——平方根和立方根 33．计算时，在计算器上的按键顺序为（    ） A． B． C． D． 34．运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如图：则计算器显示的结果是 ． 35．用计算器求下列各式的值（精确到0.01）： （1）；       （2）． 36．任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算．你发现了什么？ 分层强化 一、单选题 1．16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 2．已知一个数的立方根是﹣，则这个数是（    ） A．﹣ B． C． D．﹣ 3．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 4．一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（    ） A． B．3 C．9 D． 5．下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 6．设4+的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值为（　　） A．4﹣ B．4+ C．6﹣ D．8﹣ 7．已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．36的平方根是 ． 10．计算： ． 11．正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 12．已知：，，则＝ ． 13．代数式的最小值是 ． 14．的小数部分为： ． 15．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 ．    三、解答题 16．求下列各式的值： （1）；        （2）；        （3）；        （4）． 17．已知一个正数的两个平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 18．解方程： (1)； (2)． 19．用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后三位）： (1)； (2)； (3)． 20．已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2． (1)求a与b的值； (2)求2a+b﹣1的立方根． 21．发现：（1）面积为的正方形纸片，它的边长是______cm； 拓展：（2）面积为的长方形纸片，如果它的长是宽的2倍，则长和宽各是多少cm？ 延伸：（3）在面积为的正方形纸片中能否沿着边的方向（如图所示）裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长是宽的2倍?说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平方根与立方根 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1算术平方根 2与 的性质 3平方根 4立方根 5估算 6用计算器求算术平方根和立方根 题型巩固 一、求一个数的算术平方根 二、利用算术平方根的非负性解题 三、无理数整数部分的有关计算 四、算术平方根的实际应用 五、平方根概念理解 六、求一个数的平方根 七、已知一个数的平方根，求这个数 八、利用平方根解方程 九、立方根概念理解 十、求一个数的立方根 十一、立方根的实际应用 十二、计算器——平方根和立方根 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0) (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点2与 的性质 类别 性质 举例 a 为任意数， 是先平方再开方 注意：将 写成 时， 必须是非负数。 知识点3平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点4立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” a可以是正数，负数或0 指数3不能省略 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a ①利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2 因为a3 的立方根为a，所以= a ② ③ . (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点5估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点6用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 题型巩固 题型一、求一个数的算术平方根 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）9的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D．81 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根的概念，需明确算术平方根的定义． 根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：9的算术平方根是3． 故选B． 2．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 3．求以下各数的算术平方根：，，，． 【答案】，，， 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据求一个数的算术平方根求解即可．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 【详解】 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键． 题型二、利用算术平方根的非负性解题 4．算术平方根等于它的相反数的数是（    ） A．0 B．1 C．0和1 D．0和 【答案】A 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】由题意可知算术平方根等于它相反数，而算术平方根只能是非负数，由此得到它是非正数，据此即可得到结果． 【详解】解：∵算术平方根等于它相反数，而算术平方根只能是非负数， ∴算术平方根等于它相反数的数是非正数， ∴算术平方根等于它相反数的数是0． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，利用算术平方根的非负性是解题的关键． 5．设、为实数，且，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】首先根据算术平方根的非负性即可确定x的值，进而求出y的值，代入原式即可得出|x-y|． 【详解】解：根据题意，有意义， 而x-5与5-x互为相反数， 则x=5， 故y=4； ∴|x-y|=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是掌握被开方数是非负数． 6．对于任意数，一定等于吗？ 【答案】不一定，当时，；当时， 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据算术平方根的性质求解即可．． 【详解】解：不一定． 理由：当时，； 当时，． 【点睛】此题考查了算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质．． 题型三、无理数整数部分的有关计算 7．的整数部分是a，的整数部分是b，则a、b的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，正确估算是解答本题的关键．通过估算求出a、b的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）的整数部分为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，先利用夹逼法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可找出其整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)， (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，即可得其的小数部分；同理估算无理数的大小，从而得出的大小，即可得出整数部分； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，即可得其的小数部分，同理估算无理数的大小，即可得出整数部分，再代入化简即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是， ， ， ， 的整数部分是， 故答案为：，； （2）解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是， 即， ， ， 的整数部分为， 即， ． 题型四、算术平方根的实际应用 10．关于描述错误的是（　　） A．是无理数 B．表示2的算术平方根 C．无法在数轴上表示出来 D．面积为2的正方形边长是 【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】根据无理数的定义、算术平方根定义逐个判断即可解得． 【详解】A、是无理数，描述正确，不符合题意； B、表示2的算术平方根，描述正确，不符合题意； C、可以在数轴上表示出来，原选项描述错误，符合题意； D、面积为2的正方形的边长是，描述正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的定义，算术平方根定义的应用，能理解知识点的意义是解此题的关键，难度不大． 11．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，则落到地面所用时间t近似为 ． 【答案】4 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了利用算术平方根解决实际问题．把代入公式，即可求解． 【详解】解：将代入公式， 得： 答：落到地面所用时间为． 故答案为：4 12．一个正方形的面积变为原来的倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的倍呢？面积变为原来的倍呢？ 【答案】倍，倍，倍，倍 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】根据正方形面积=边长×边长，利用求算术平方根的方法进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，面积为S， ∴； 当一个正方形的面积变为原来的4倍时，设此时边长为， ∴，即， ∴， ∴一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的2倍； 当一个正方形的面积变为原来的9倍时，设此时边长为， ∴，即， ∴， ∴一个正方形的面积变为原来的9倍，它的边长变为原来的3倍； 当一个正方形的面积变为原来的100倍时，设此时边长为， ∴，即， ∴， ∴一个正方形的面积变为原来的100倍，它的边长变为原来的10倍； 当一个正方形的面积变为原来的n倍时，设此时边长为， ∴，即， ∴， ∴一个正方形的面积变为原来的n倍，它的边长变为原来的倍． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够熟练掌握求算术平方根的方法． 题型五、平方根概念理解 13．下列说法正确的是（　　） A．－81的平方根是±9 B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D．3是9的平方根 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】对于A，根据负数的平方根的性质判断即可； 对于B，根据正数的平方根的性质判断； 对于C，以分数为例，判断即可； 对于D，根据平方根的定义判断即可． 【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意； 因为1的平方根是±1，所以B不符合题意； 因为的平方根是，而，所以C不符合题意； 因为3是9的一个平方根，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，理解平方根的性质是解题的关键． 14．若有平方根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据只有非负数才有平方根进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了平方根的意义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 题型六、求一个数的平方根 15．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）4的平方根是（   ） A．16 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根的计算，掌握平方根的概念及计算是关键，根据一个正数的平方根有两个，且互余相反数，由此即可求解． 【详解】解：∵， 故选：C． 16．16的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，且，据此求解即可． 【详解】解：， ∴16的平方根为， 故答案为：． 17．计算下列各式的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）-1.7；（4）-33． 【知识点】求一个数的平方根 【分析】根据平方根的意义求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了求平方根，明确一个正数的平方等于a，这个数叫a的算术平方根． 题型七、已知一个数的平方根，求这个数 18．已知2m﹣1和5﹣m是a的平方根，a是（    ） A．9 B．81 C．9或81 D．2 【答案】C 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】分两种情况讨论求解：当2m﹣1与5﹣m是a的两个不同的平方根和当2m﹣1与5﹣m是a的同一个平方根． 【详解】解：若2m﹣1与5﹣m互为相反数， 则2m﹣1+5﹣m＝0， ∴m＝﹣4， ∴5﹣m＝5﹣（﹣4）＝9， ∴a＝92＝81， 若2m﹣1＝5﹣m， ∴m＝2， ∴5﹣m＝5﹣2＝3， ∴a＝32＝9， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 19．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若一个正数的两个平方根是和，则 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求出即可求出a的值． 【详解】解：根据题意， 解得：． 故答案为：． 20．已知a的平方根是，b的平方根是．求的平方根． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根的定义分别计算a、b，进而计算a＋b的值和平方根． 【详解】解：∵a的平方根是， ∴． ∵b的平方根是， ∴． ∴． ∵， ∴的平方根，即为25的平方根是． 【点睛】本题考查平方根的定义，熟练掌握基础知识是关键． 题型八、利用平方根解方程 21．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根解方程，应当注意到在解方程时，要先看方程是否有解，再选择适当方法解题．因为在中，左边是一个平方式，总是大于等于0，所以必须大于等于0． 【详解】解：， ， 利用平方根性质解方程时，被开方数必须为非负数，方程才有实数根． 即． 得． 故选A． 22．已知方程，则x＝ ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解答此题的关键． 23．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）解方程： 【答案】或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方，再解两个一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 题型九、立方根概念理解 24．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的负的平方根 C．的立方根是2 D．是有理数 【答案】C 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根、立方根等知识点，掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根、立方根的定义逐个判断即可． 【详解】解：A． 的平方根是，故该选项错误，不符合题意；     B． 是负数没有平方根根，故该选项错误，不符合题意；     C． 的立方根是2，故该选项正确，符合题意；         D． 是无理数，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 25．计算： ． 【答案】 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】根据算术平方根和立方根定义，分别求出各项的值，再相加即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根．解题关键点：熟记算术平方根和立方根定义，仔细求出算术平方根和立方根． 26．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： （1），你能确定59319的立方根是几位数吗？ （2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？ （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？ （4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根． 【答案】（1）59319的立方根是2位数；（2）59319的立方根的个位数是9；（3）59319的立方根的十位数是3；（4）57． 【知识点】立方根概念理解 【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答即可； （2）先分别求得1至9的立方，然后依据末位数字是几进行判断即可； （3）利用（2）中的方法判断出个数数字； （4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可． 【详解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000， ∴， ∴59319的立方根是2位数． 故答案为：2． （2）∵，且59319的个位数字是9， ∴59319的立方根的个位数字是9． 故答案为：9． （3）∵27＜59＜64， ∴59319的立方根的十位数字是3． 故答案为：3． （4）∵，， ∴， ∴185193的立方根是一个两位数， 又∵185193的最后一位是3， ∴它的立方根的个位数是7， 185193去掉后3位，得到185， ∵， ∴立方根的十位数是5，则立方根一定是57． 故答案为：57． 【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键． 题型十、求一个数的立方根 27．（22-23八年级上·广西桂林·阶段练习）立方根等于5的数是（    ） A．5 B．5 C．125 D．25 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根 【分析】根据立方根的定义：一个数的立方为，叫做的立方根，进行计算即可． 【详解】解：， ∴125的立方根等于5； 故选C． 【点睛】本题考查立方根的定义．熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 28．（23-24八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】． 故答案为：． 29．（23-24八年级上·福建漳州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，求的立方根． 【答案】 【知识点】平方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根和立方根，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得，接下来解方程可得x的值，然后根据立方根的定义可得答案． 【详解】解∶由题意，有， 解得． 的立方根是 ． 题型十一、立方根的实际应用 30．一个正方体的体积是 ，则它的表面积是（    ） A．96 B．64 C．32 D．16 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】设正方体的棱长为，根据题意可得，进而求得的值，根据表面积等于，即可求解． 【详解】解：设正方体的棱长为，根据题意可得， ， 表面积等于， 故选A． 【点睛】本题考查了立方根的应用，求得正方体的棱长是解题的关键． 31．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为 则其边长为 故答案为： 32．一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的倍，这个正方体的棱长是多少？ 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】设这个正方体的棱长为cm，则利用体积公式列方程再解方程可得答案. 【详解】解：设这个正方体的棱长为cm，则 所以这个正方体的棱长为cm. 【点睛】本题考查的是立方根的应用，掌握利用立方根的含义解方程是解题的关键. 题型十二、计算器——平方根和立方根 33．计算时，在计算器上的按键顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】根据所给的数在计算器上求解即可． 【详解】解：∵要求的数为， ∴计算器上的按键为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了用计算器计算算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握计算器的功能键． 34．运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如图：则计算器显示的结果是 ． 【答案】67 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子．然后求值． 【详解】解：根据题意得：＝67， 故答案为：67． 【点睛】本题目考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子是关键． 35．用计算器求下列各式的值（精确到0.01）： （1）；       （2）． 【答案】（1）99；（2） 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】直接根据计算器计算结果即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查计算器－数的开方，解题的关键是会利用计算器进行数的开方，注意最后一位要精确到0.01． 36．任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算．你发现了什么？ 【答案】随着开立方次数的增加，结果越来越接近或 【知识点】求一个数的立方根 【分析】分这个非零常数是正数和负数两种情况分别讨论即可． 【详解】当这个非零常数是一个正数时， 不断进行开立方运算的结果会越来越接近； 当这个非零常数是一个负数时， ∵负数的立方根仍是负数，且两个负数绝对值大的反而小， ∴不断进行开立方运算的结果会越来越接近． 综上，随着开立方次数的增加，结果越来越接近或． 【点睛】本题考查立方根的运算，掌握立方根的运算是解题的关键． 分层强化 一、单选题 1．16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的定义，一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴16的平方根是， 故选：D． 2．已知一个数的立方根是﹣，则这个数是（    ） A．﹣ B． C． D．﹣ 【答案】A 【分析】根据立方根的定义求解可得． 【详解】解：(−)3＝−， 即−的立方根是−， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的定义． 3．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 4．一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】C 【分析】根据两个平方根互为相反数，列式求出的值，然后求出原数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解的：， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根，熟知两个平方根互为相反数是解本题的关键． 5．下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的概念，根据平方根与立方根的概念逐一分析各选项即可，正确理解平方根与立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、平方根等于本身的数有，原选项说法错误，不符合题意； 、的立方根是，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 6．设4+的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值为（　　） A．4﹣ B．4+ C．6﹣ D．8﹣ 【答案】D 【分析】只需首先对估算出大小，从而求出的整数部分，再进一步表示出其小数部分，然后将其代入所求的代数式求值． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 7．已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题关键，由题意得，，即可解决． 【详解】解：均为正数，且，， ，， 故选：C． 8．已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 二、填空题 9．36的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根． 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：36的平方根是， 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题涉及算术平方根的概念．算术平方根是一个非负数的正的平方根．对于形如，先求出的值，再加上负号． 【详解】解： 故答案为：． 11．正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出关于x的一元一次方程求解即可求出x的值，然后再求出m的值即可． 【详解】解：∵正数m的两个平方根分别是和， ∴，解得：． ∴， ∴这个正数m的值为． 故答案为：． 12．已知：，，则＝ ． 【答案】0.04858 【分析】根据积的算术平方根的性质即可解决． 【详解】 故答案为：004858 【点睛】本题考查积的算术平方根的性质，灵活运用此性质是本题的关键． 13．代数式的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据非负性，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴代数式的最小值是0； 故答案为：0． 14．的小数部分为： ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为； 故答案为：． 15．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 ．    【答案】4 【分析】此题主要考查了算术平方根，根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案． 【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为：， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是4． 故答案为：4． 三、解答题 16．求下列各式的值： （1）；        （2）；        （3）；        （4）． 【答案】（1）-2；（2）0.4；（3）；（4）9 【分析】根据立方根的概念进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查立方根，理解立方根的概念，掌握立方与开立方是互逆运算是解题的关键． 17．已知一个正数的两个平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根的性质，平方根解方程，掌握平方根的概念及计算是解题的关键． （1）根据平方根的性质得到，解方程即可求解； （2）把代入，由平方根的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， 解得，； （2）解：由（1）知，则， ∴， 解得，， ∴． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键． （1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； （2）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 19．用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后三位）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用计算器求立方根，解题的关键是正确使用计算器计算立方根并按要求保留小数位数． （1）利用计算器开立方根求值； （2）利用计算器开立方根求值； （3）利用计算器开立方根求值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 20．已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2． (1)求a与b的值； (2)求2a+b﹣1的立方根． 【答案】(1)a＝2，b＝5 (2)2 【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可． （2）把（1）中求出的a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可． 【详解】（1）解：∵4a+1的平方根是±3， ∴4a+1＝9， 解得a＝2； ∵b﹣1的算术平方根为2， ∴b﹣1＝4， 解得b＝5． （2）解：∵a＝2，b＝5， ∴2a+b﹣1 ＝2×2+5﹣1 ＝8， ∴2a+b﹣1的立方根是：． 【点睛】此题主要考查平方根立方根，解题的关键是熟知平方根立方根的定义． 21．发现：（1）面积为的正方形纸片，它的边长是______cm； 拓展：（2）面积为的长方形纸片，如果它的长是宽的2倍，则长和宽各是多少cm？ 延伸：（3）在面积为的正方形纸片中能否沿着边的方向（如图所示）裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长是宽的2倍?说明理由． 【答案】（1）7；（2）长方形的宽为cm，长为cm；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的面积公式和正方形的面积即可求出正方形的边长； （2）设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据长方形的面积为列出方程求解即可； （3）根据题意比较正方形的边长和长方形的长即可判断． 【详解】解：（1）∵正方形的面积为， ∴边长cm． （2）设长方形的宽为xcm，则长为2xcm， 根据题意得x·2x＝26， x2＝13，解得x＝ ∵x＝－不合题意，舍去， ∴x＝ ∴长为2x＝cm， 答：长方形的宽为cm，长为cm， （3）不能． 理由：因为＞7，即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片． 【点睛】此题考查了正方形和长方形面积公式，算术平方根的性质，解题的关键是根据题意求出正方形的边长和长方形的长和宽. 学科网（北京）股份有限公司 $$