精品解析：宁夏回族自治区中卫市中宁县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

中宁县2024-2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 卷面分值：120分 考试时长：120分钟 亲爱的同学，这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获．我们一直投给你信任的目光．预祝你取得好成绩！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面四个选项是四类垃圾分类标志图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：由数轴可得：关于x的不等式组的解集是：x≥2． 故选A． 3. 已知四边形如图所示，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，熟记基本的判定方法是解题关键． 根据平行四边形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，则B选项正确， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度后的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点的平移规律， “左右移，横减加，纵不变；上下移，纵加减，横不变”．根据点的平移规律，向右平移3个单位长度，纵坐标不变，横坐标加3，即可得到答案． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，则平移后的点的坐标为， 故选：A． 5. 下列因式分解中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分解因式．分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，基本方法有提公因式法和公式法，熟练掌握定义和方法，是解题的关键． 要确定从左到右的变形中是否为分解因式正确，只需根据定义和方法来确定． 【详解】A. ，A正确； B. ，B正确； C. ，C不正确； D. ，D正确． 故选：C． 6. 如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，， ∴，， 在中，， 故选：C． 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是直线位于直线的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是直线位于直线的上方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解为， 故选：C． 8. 如图，将正五边形绕它的中心O顺时针旋转一定角度，可以使边与重合，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，五边形中心角的求法．根据正五边形的性质，旋转中心为正五边形的中心，由于正五边形每个顶点到旋转中心距离相等，两个相邻的顶点可看作对应点． 详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴边与重合，则α的最小值为， 故选：D． 二、填空题：（每小题3分，共24分）． 9. 如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组，对于端点值的确定是解题关键. 由不等式组的解集为，根据“同大取大”可知. 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为, ∴， 故答案为：. 10. 若是关于的完全平方式，则__________． 【答案】7或-1 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案． 【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式， ∴2（m-3）=±8， 解得：m=-1或7， 故答案为-1或7． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键． 11. 若方程有增根，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根的概念及应用，解题的关键是理解增根是使分式方程分母为0的根，先确定增根，再代入去分母后的整式方程求出字母的值． 【详解】分式方程有增根，是指解分式方程时，在去分母转化为整式方程的过程中，整式方程的解使原分式方程的分母为 0，这个解就是增根． ∵方程分母为， ∴增根只能是使的解，即． 方程两边同乘 去分母，得到整式方程． 将代入整式方程，可得，即． 故答案为：2． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3.若平行四边形ABCD的周长是16，则EC的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC， ∴∠AEB=∠DAE， ∵平行四边形ABCD的周长是16， ∴AB+BC=8， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3， ∴BC=5， ∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平等四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 13. 如图，在中，，，是的一条角平分线．若，则的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】作于点，要求的面积，现有可作为三角形的底，只需求出底上的高即可，根据角平分线的性质求得的长，即可得解． 【详解】解：过作于点，如图： ∵是的一条角平分线，，， ∴， ∵， ∴． 故答案是： 【点睛】本题主要考查角平分线的性质及三角形的面积公式，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 14. 如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=1,PE=PN=1,即可得出答案. 【详解】过点P作MN⊥AD, ∵AD∥BC, ∴PN⊥BC, ∵∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,PE⊥AB于点E, ∴PM=PE=1，PE=PN=1, ∴MN=PM+PN=1+1=2. 【点睛】本题考查角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键. 15. 如图，△ABC是等边三角形，且，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据旋转可得AD=AE， ∠DAE=60°，进而得出△ADE为等边三角形，则DE=AD，根据“SAS”可证△ACD≌△ABE，可得CD=BE，而△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，当AD⊥BC时，AD最小， △BED的周长最小，然后求出AD的最小值即可解答． 【详解】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE， ∴AD=AE，∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE=AD， ∵△ABC是等边三角形，AB=4， ∴AB=AC，∠BAC=60°，BC=AB=4， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△ABE， ∴CD=BE， ∴△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD， ∴当AD最小时，△BED的周长最小， 当AD⊥BC，时，AD最小， 过A作AM⊥BC于M， ∴BM=BC=2， ∴AM=， ∴AD的最小值为， ∴△BED的周长最小值是4+． 故答案为：4+． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将求△BED的周长最小值转化求AD的最小值是解题的关键． 16. 如图，在等边三角形中，，点P在上，且将绕点B在平面内旋转，点P对应点为点Q，连接，．当 时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】延长交于点H，由等边三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定可得，利用勾股定理求得，根据旋转的性质分两种情况讨论：当点Q在线段上时；当点Q在线段的延长线上时，求出的值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q， ∴， 当点在线段上时，， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，， ∴， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理、旋转的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组． 先分别求出两不等式的解集，进而可知不等式组的解集． 详解】解：解不等式得： 解不等式得： ∴ 19. 先化简，再求值：，并从、1、中选一个数作为x的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式运算法则化简，同时注意分式有意义的条件，选择合适的x值代入． 对括号内分式分解因式约分，再通分计算；将除法转为乘法，约分得到最简分式；排除使分母为0的x值，代入求值． 【详解】解： ． ∵所有运算过程中分式的分母均不能为0， ∴， ∴， 故只有选代入求值：原式． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出； （2）以原点O为对称中心，画出与关于原点O对称的． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）让的各顶点分别先向右平移5个单位，再顺次连接各顶点，即可得到新的△A1B1C1． （2）作A1、B1、C1三点关于原点的对应点，再顺次连接． 【详解】即、是所求作的三角形． 【点睛】此题主要考查了图形的平移和作中心对称图形，解答的关键点是准确作出三个顶点的对应点. 21. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质： （1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形的定义证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，已知：点，，，的对角线交于坐标原点O． （1）求出的值； （2）求出的面积． 【答案】（1），； （2）42． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，平行四边形的性质． （1）根据中心对称的性质解决问题即可； （2）利用平行四边形的面积计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，A，C关于原点对称， ∵，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴边上的高为， ∴的面积． 23. 近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题备受人们关注，某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备，每台B种设备价格比每台A种设备价格多700元，花3000元购买A种设备和花7200元购买B种设备的数量相同． （1）求A种、B种设备每台各多少元？ （2）根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共20台，总费用不高于17000元，求A种设备至少要购买多少台？ 【答案】（1）每台A种设备500元，每台B种设备1200元；（2）A种设备至少要购买10台． 【解析】 【分析】（1）设每台A种设备x元，则每台B种设备（x＋700）元，根据数量＝总价÷单价结合花3000元购买A种设备和花7200元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20−m）台，根据总价＝单价×数量结合总费用不高于17000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可． 【详解】（1）设每台A种设备x元，则每台B种设备（x+700）元， 根据题意得：， 解得：x＝500， 经检验，x＝500是原方程解， ∴x+700＝1200． 答：每台A种设备500元，每台B种设备1200元； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台， 根据题意得：500m+1200（20﹣m）≤17000， 解得：m≥10． 答：A种设备至少要购买10台． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 24. 下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ （1）根据上面等式的规律补全等式：； （2）用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； （3）请证明（2）中等式的正确性； （4）根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】（1）； （2） （3）证明见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【小问1详解】 解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； 【小问4详解】 解： ． 25. 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． （1）求证：AM=AN； （2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形ABPF为菱形 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，进而得出△ABM≌△AFN得出答案即可. （2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案. 【详解】（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）， ∴AB=AF，∠BAM=∠FAN. ∵在△ABM和△AFN中，， ∴△ABM≌△AFN（ASA）. ∴AM=AN. （2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形.理由如下： 连接AP， ∵∠α=30°，∴∠FAN=30°.∴∠FAB=120°. ∵∠B=60°，∴AF∥BP.∴∠F=∠FPC=60°. ∴∠FPC=∠B=60°.∴AB∥FP. ∴四边形ABPF是平行四边形. ∵AB=AF， ∴平行四边形ABPF是菱形. 【点睛】本题考查旋转的性质和菱形的判定.熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 26. 如图，的对角线AC、BD相交于点O，，，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求BQ的长，（用含t的代数式表示） （2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值 （3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得出，则BQ即可用t表示； （2）由题意知，根据，列出方程即可得解； （3）方法一：如图，先求出OA和OE的长，若O在线段AP的垂直平分线上，则，在中，根据勾股定理得：，列方程可得t的值． 方法二：如图，连接AQ，CP，证明四边形AQCP为平行四边形，由面积法求出AQ，由勾股定理求出BQ的长，则可得出CQ的长，则可求出答案． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， 当时，四边形ABQP是平行四边形， 即， ， ∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形； 【小问3详解】 ， 方法一：如图， 中， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵OE是AP的垂直平分线， ∴ 由勾股定理得：， ∴， ∴或（舍）， ∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上． 方法二：如图，连接AQ，CP， ∵， ∴四边形AQCP为平行四边形， ∵O在线段AP的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴四边形AQCP为矩形， ∴， 同方法一求出， ∴ ∴， ∴， ∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中宁县2024-2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 卷面分值：120分 考试时长：120分钟 亲爱的同学，这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获．我们一直投给你信任的目光．预祝你取得好成绩！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面四个选项是四类垃圾分类标志图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（　 　） A. B. C. D. 3. 已知四边形如图所示，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度后的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列因式分解中，错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，将正五边形绕它的中心O顺时针旋转一定角度，可以使边与重合，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共24分）． 9. 如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是______． 10. 若是关于的完全平方式，则__________． 11. 若方程有增根，则的值是______． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3.若平行四边形ABCD的周长是16，则EC的长为________． 13. 如图，在中，，，是的一条角平分线．若，则的面积为________． 14. 如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为__________ 15. 如图，△ABC是等边三角形，且，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________． 16. 如图，在等边三角形中，，点P在上，且将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当 时，的长为___________． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解： 18 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，并从、1、中选一个数作为x的值代入求值． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出； （2）以原点O为对称中心，画出与关于原点O对称的． 21. 如图，中，，点D、E、F分别在边上，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 22. 如图，已知：点，，，的对角线交于坐标原点O． （1）求出的值； （2）求出的面积． 23. 近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题备受人们关注，某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备，每台B种设备价格比每台A种设备价格多700元，花3000元购买A种设备和花7200元购买B种设备的数量相同． （1）求A种、B种设备每台各多少元？ （2）根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共20台，总费用不高于17000元，求A种设备至少要购买多少台？ 24. 下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ （1）根据上面等式的规律补全等式：； （2）用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； （3）请证明（2）中等式的正确性； （4）根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 25. 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． （1）求证：AM=AN； （2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由． 26. 如图，对角线AC、BD相交于点O，，，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求BQ的长，（用含t的代数式表示） （2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值 （3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $