精品解析：湖北省襄阳市襄城区2024-2025学年八年级下学期期末学业水平诊断数学试卷

机密★启用前 襄城区2024-2025学年度下学期期末学业水平诊断 八年级数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别化简各式，然后利用最简二次根式的概念进行判断即可． 【详解】选项A． ，不能化简． 选项B． =3， 选项C． =2 ， 选项D． =3． 故选A．． 【点睛】本题考查了最简二次根式的判断，掌握二次根式的化简方法以及最简二次根式的概念是解题的关键，二次根式化简，要把1-20数的平方数记忆，把被开方数化成平方数与其它数的乘积，再开平方． 2. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 1、2、2 C. 1、、 D. 8、15、17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（为最长边），则为直角三角形。需逐一验证各选项是否满足该条件，同时检查是否能构成三角形． 【详解】选项A：最长边为5，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 选项B：最长边为2，验证，与不相等，不满足勾股定理。虽然三边满足三角形存在条件（如），但无法构成直角三角形； 选项C：最长边为，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 选项D：最长边为17，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 综上，选项B的三边不能组成直角三角形． 故选：B． 3. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案． 【详解】A．代入，计算得，与点的纵坐标3相等，故该点在图象上． B．代入，计算得，与点的纵坐标不相等，故该点不在图象上． C．代入，计算得，与点的纵坐标1不相等，故该点不在图象上． D．代入，计算得，与点的纵坐标3不相等，故该点不在图象上． 综上，只有选项A满足条件， 故选A． 4. 如图，四边形是平行四边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题关键． 根据平行四边形对角相等得到，进而求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴ ∴． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A.二次根式加法需满足同类项，与非同类项，故A错误； B，故B错误； C.根据二次根式乘法法则，则，故C正确； D ，故D错误； 故选：C． 6. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5．下列说法中不一定正确的是（ ） A. 甲、乙的总环数相同 B. 甲的成绩比乙的成绩稳定 C. 乙的成绩比甲的成绩波动大 D. 甲、乙成绩的众数相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案． 【详解】解：∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，且平均数都是8环， ∴S甲2＜S乙2， ∴甲射击成绩比乙稳定， ∴乙射击成绩的波动比甲较大， ∵甲、乙射靶 10 次， ∴甲、乙射中的总环数相同， 故A、B、C选项都正确， 但甲、乙射击成绩的众数不一定相同， 故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7. 正方形的对角线长为，则其面积为（ ） A. 24 B. 72 C. 36 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形也是一个特殊的菱形，则正方形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形的对角线长为， ∴其面积为， 故选：C． 8. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 10. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时，此刻的时间为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用．正确的识图，求出一次函数的解析式，是解题的关键． 求出甲乙两图象的函数解析式，分甲仓库比乙仓库多100件，和乙仓库比甲仓库多100件，两种情况，进行求解即可． 【详解】解：设甲图象的函数解析式为：，由图象可知： ，解得：， ∴， 设乙图象的函数解析式为：，由图象可知： ，解得：， ∴， 当甲仓库比乙仓库多100件时：，解得：， 即：此刻时间为； 当乙仓库比甲仓库多100件时：，解得：， 即：此刻时间为； 综上：当两仓库快递件数相差100件时，此刻的时间为或． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 已知，则代数式的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 12. 若一次函数（k是常数，）的图象经过第二、三、四象限，则k的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象：当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行求解即可得出答案． 【详解】解：在函数中，，要使图象经过第二、三、四象限，则， 即：的取值范围是， 则k的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：． 13. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得，，得出，得出． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系．根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式根据完全平方公式和平方差公式进行计算以及化简二次根式后再进行加减运算即可． 【详解】解： ， ． 17. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用菱形的性质得出角相等，再通过全等三角形的判定证明两个三角形全等，进而得到对应角相等． 利用菱形对角线平分一组对角的性质，得到；再利用“边角边”定理证明两三角形全等，从而得到其对应角相等． 【详解】证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 如图所示，一次函数的图象经过点A，与函数的图象交于点B，点B的横坐标为1． （1）方程组的解是 ， ， ； （2）求代数式的值． 【答案】（1），2，3； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． （1）先利用直线确定B点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；利用待定系数法求出直线即可； （2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后把m、n的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：当时，，则B点坐标为， 所以方程组组的解是， 把，代入得， 解得； 故答案为：，2，3； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 19. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试．以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x（引体向上个数）表示成绩，分成四组：A组（），B组（），C组（），D组（）． 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图： 【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求A组人数，并补全条形统计图； （2）估计该校八年级参加测试的800名男生中成绩不低于10个的人数； （3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 【答案】（1），见解析 （2）360人 （3）见解析 【解析】 【分析】根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，频数之和等于样本容量计算即可． 利用样本估计总体的思想解答即可． 利用统计特征量的意义解答即可． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图，样本容量的计算，用样本估计总体，中位数和众数，会计算样本容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得样本容量为：， 故A组人数为（人）， 补图如下； 【小问2详解】 （人）， 答：成绩不低于10个的男生有360人； 【小问3详解】 解：答案不唯一，符号题意即可． 例如：从平均数看，估计该校年级男生引体向上测试成绩平均为8个；从中位数看，估计该校年级男生引体向上测试成绩至少有一半不低于8个；从众数看，估计该校年级男生引体向上测试成绩为11个的最多． 20. 如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A、B、D均在格点上，点E在边上．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长为 ； （2）在网格内画一点C，使且； （3）直接写出点D到的距离为 ； （4）在边上分别画点O、F，使，． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用平移的性质作出图形即可； （3）利用等积法求解即可； （4）连接交于点，连接并延长交于点，此时，． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：所作图形如图所示； 【小问3详解】 解：， 设点D到的距离为， ∴，即， ∴， ∴点D到的距离为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：所作图形如图所示， ． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平移的性质、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 【操作发现】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则出，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】（1）已知，当 时，代数式最小值为 ； 【灵活运用】（2）当时，求的最小值； 【拓展创新】（3）如图，四边形的对角线，相交于点O，，的面积分别是5和10，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）3，6；（2）4；（3） 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，二次根式的运算，特别是利用不等式来求代数式的最小值，涉及基本的不等式推导和应用．解题的关键是通过适当的变量代换，利用该不等式的条件在合适的情况下求得最小值，并且在特定条件下求得代数式的最优解． （1）令，根据不等式代入计算，得到．当且仅当时，等号成立，所以最小值为6． （2）设，利用不等式得到．当且仅当时，最小值为4，解得． （3）设的面积为x，根据面积比值关系．从面积关系中得出，计算四边形的面积并利用不等式得到最小值，当时，等号成立． 【详解】解：（1）已知，根据材料中不等式（，当且仅当时取等号），令，则． 当且仅当时，等号成立，解得（舍去）； ∴当时，代数式的最小值为6． 故答案为：3，6． （2）当时，， ∵， ∴令，，则由，得 ， 当且仅当时，中的等号成立，解得或（舍）， 即时，式子有最小值，最小值为4； （3）设，由，的面积分别是5和10， 根据等高三角形可知，， 即，整理，得， ∴四边形面积为， 当且仅当，即时取等号， 则四边形面积的最小值为． 22. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，其中选用A种食品m包，每份午餐的总热量为，请求出w与m的函数关系式； （3）在第（2）问的条件下，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）应选用A种食品4包，B种食品2包 （2） （3）应选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求函数关系式以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用A种食品x包，B种食品y包，再结合“要从这两种食品中摄入热量和蛋白质”，这个条件进行列方程组，再解出，即可作答； （2）选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据题意可得，整理即可； （3）根据“每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于”这个条件进行列不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意得， ， 解得，． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包； 【小问2详解】 解：由题意得，选用A种食品m包，则选用B种食品包， ； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得，． 由（2）知，， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选用A种食品3包，B种食品4包． 23. 如图1，在平行四边形中，，平分交的延长线于点E，交于点F． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，连接，若，，求的面积； （3）如图3，在（2）的条件下，O为的中点，G为的中点，求的长． 【答案】（1）等边三角形，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等边三角形的判定，勾股定理以及直角无形的性质等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）由平行四边形的性质得，证明可得结论； （2）过点C作交的延长线于点H，由勾股定理求出，根据三角形面积计算公式求解即可； （3）连接，过点D作于点P．得，，求出，，，，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得结论． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，，． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 解：如图，过点C作交的延长线于点H，则． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的面积为：． 【小问3详解】 解：如图，连接，过点D作于点P． ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， ∵点O为的中点， ∴点O在上，且点O为的中点， 由（1）知，是等边三角形， 又∵点G为的中点， ∴， ∴． ∴． 在中，，，， ∴， ∴，，， 在中，， ∴． 24. 如图1，直线交y轴于A点，交x轴于C点，以点O，A，C为顶点作矩形OABC，在x轴、y轴的正半轴上分别取点D、E，使，，直线AC交直线DE于点F． （1）求直线DF的解析式； （2）求证：FO平分； （3）在直线OF上是否存在一点G，使是等腰直角三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，点G的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式找出点A、C的坐标，再由旋转的特性找出点D、F的坐标，结合点D、F的坐标利用待定系数法即可求出直线DF的解析式； （2）过点O作于点P，作于点Q，利用全等直角三角形的判定定理HL证出，结合面积法即可得出，从而证出平分； （3）根据旋转的性质可得出，结合（2）的结论即可得出，联立直线的解析式成方程组，解方程组可得出点G的坐标，根据等腰直角三角形的性质可分两种情况寻找点M的位置，再通过勾股定理解方程等即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵直线交y轴于A点，交x轴于C点， ∴当时，， 当时，，解得，， ∴，， ∴，， ∵，，点D在x轴正半轴上，点E在y轴正半轴上， ∴，， 设直线的解析式是， ∴， 解得，， ∴直线的解析式是：． 【小问2详解】 解：如图，过点O作于点P，作于点Q， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 存在，理由如下： 联立，解得，， ∴， 设直线的解析式， 则， ∴直线的解析式为， 设点G的坐标为， 由（2）知：，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴①当时，， 过点G作轴，过点F作于M，过点D作于N， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当时，，同理可得，． 综上，当是等腰三角形时，点G的坐标为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）证出；（3）分情况讨论点M的情况．解决该题型题目时，根据旋转的性质找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 襄城区2024-2025学年度下学期期末学业水平诊断 八年级数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 1、2、2 C. 1、、 D. 8、15、17 3. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是平行四边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 6. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5．下列说法中不一定正确的是（ ） A. 甲、乙的总环数相同 B. 甲的成绩比乙的成绩稳定 C. 乙的成绩比甲的成绩波动大 D. 甲、乙成绩的众数相同 7. 正方形的对角线长为，则其面积为（ ） A. 24 B. 72 C. 36 D. 24 8. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时，此刻的时间为（ ） A B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 已知，则代数式的值为_____________． 12. 若一次函数（k是常数，）的图象经过第二、三、四象限，则k的值可以是________．（写出一个即可） 13. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为________． 14. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的不等式的解集为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 18. 如图所示，一次函数的图象经过点A，与函数的图象交于点B，点B的横坐标为1． （1）方程组的解是 ， ， ； （2）求代数式的值． 19. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试．以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x（引体向上个数）表示成绩，分成四组：A组（），B组（），C组（），D组（）． 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图： 【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求A组人数，并补全条形统计图； （2）估计该校八年级参加测试800名男生中成绩不低于10个的人数； （3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 20. 如图，在每个边长为1小正方形网格中，点A、B、D均在格点上，点E在边上．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长为 ； （2）在网格内画一点C，使且； （3）直接写出点D到的距离为 ； （4）在边上分别画点O、F，使，． 21. 【操作发现】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则出，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】（1）已知，当 时，代数式的最小值为 ； 【灵活运用】（2）当时，求的最小值； 【拓展创新】（3）如图，四边形的对角线，相交于点O，，的面积分别是5和10，求四边形面积的最小值． 22. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，其中选用A种食品m包，每份午餐的总热量为，请求出w与m的函数关系式； （3）在第（2）问的条件下，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 23. 如图1，在平行四边形中，，平分交的延长线于点E，交于点F． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，连接，若，，求的面积； （3）如图3，在（2）条件下，O为的中点，G为的中点，求的长． 24. 如图1，直线交y轴于A点，交x轴于C点，以点O，A，C为顶点作矩形OABC，在x轴、y轴的正半轴上分别取点D、E，使，，直线AC交直线DE于点F． （1）求直线DF的解析式； （2）求证：FO平分； （3）在直线OF上是否存在一点G，使是等腰直角三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$