第05讲 一次函数与二元一次方程（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪科版2024）

第05讲 一次函数与二元一次方程（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1一次函数与二元一次方程的关系 2一次函数与二元一次方程组的关系 3二元一次方程组解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系 4利用一次函数解决方案选择问题 题型巩固 一、两直线的交点与二元一次方程组的解 二、图象法解二元一次方程组 三、求直线围成的图形面积 四、一次函数与几何综合 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1一次函数与二元一次方程的关系 一次函数与二元一次方程的关系 知识点2一次函数与二元一次方程组的关系 1. 一次函数与二元一次方程组的对应关系 二元一次方程组对应两个一次函数对应两条直线； 二元一次方程组的解即为 两个一次函数值相等时的自变量值及函数值即为 两条直线的交点坐标. 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)变函数：把方程组化为一次函数＝＋与＝＋； (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 3. 两直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系 两条直线有交点(相交)⇔方程组只有一组解； 两条直线无交点(平行)⇔ 方程组无解； 两条直线是同一直线(重合)⇔方程组有无数组解. 知识点3二元一次方程组解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系 二元一次方程组的解与两直线：与：位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)： 从“数”看 从“形”看 方程组有唯一解 与相交 方程组无解 与平行 方程组有无数个解 与重合 知识点4利用一次函数解决方案选择问题 利用一次函数求解最优性问题 解决此类问题首先要求出两个函数表达式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，当取相同的自变量时，下方的图象对应的函数的函数值小，上方的图象对应的函数的函数值大，交点处的函数值相等 . 也可以用两个函数表达式相减，得到一个新的一次函数，根据新的一次函数图象与 x 轴的交点坐标比较不同自变量的取值范围下函数值的大小关系 . 题型巩固 题型一、两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，正比例函数与一次函数相交于点P，则方程组的解为 ． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 题型二、图象法解二元一次方程组 4．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 6．如下面第一幅图，点A的坐标为（﹣1，1） （1）那么点B，点C的坐标分别为__________； （2）若一个关于x，y的二元一次方程，有两个解是和，请写出这个二元一次方程，并检验说明点C的坐标值是否是它的解． （3）任取（2）中方程的又一个解（不与前面的解雷同），将该解中x的值作为点D的横坐标，y的值作为点D的纵坐标，在下面第一幅图中描出点D； （4）在下面第一幅图中作直线AB与直线AC，则直线AB与直线AC的位置关系是_________，点D与直线AB的位置关系是__________． （5）若把直线AB叫做（2）中方程的图象，类似地请在备用图上画出二元一次方程组中两个二元一次方程的图象，并用一句话来概括你对二元一次方程组的解与它图象之间的发现． 题型三、求直线围成的图形面积 7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 8．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点，点C在x轴正半轴上，．    (1)求直线的解析式； (2)若P为线段上一点，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 题型四、一次函数与几何综合 10．如图，在中，，高，动点Q由点C沿方向向点B运动（不与点B，C重合）．设的长为x，的面积为S，则S与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 11．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交点分别为A、B两点，M是上一点，沿直线对折，使B刚好落到x轴上的处，则点M的坐标是 ． 12．如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 分层强化 一、单选题 1．已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x，y的方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 4．已知二元一次方程组的解为， 则在同一平面直角坐标系中， 直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（　　） A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3） 6．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”如图所示的是良马与驽马行走路程s（里）关于行走时间t（日）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 8．已知直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 9．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ． 10．已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像相交于点，那么关于，的二元一次方程组的解是 ． 12．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ． 13．一次函数与二元一次方程组的关系： ①方程5x－y＝20可以化为y＝ ，方程5x＋y＝120可以化为y＝ ； ②如图，直线y＝5x－20与直线y＝－5x＋120的交点坐标为（m，n），则m，n符合方程组 ； ③解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当  为何值时，两个函数的值相等以及 为多少；从“形”的角度看，相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的 ． 三、解答题 14．利用图象求方程组的解． 15．如图，根据图中信息，回答下列问题： (1)求m，n的值； (2)写出点P的坐标； (3)当x为何值时，? 16．画出函数y1＝－x＋1，y2＝2x－5 的图象，利用图象回答下列问题： （1）方程组的解是_______________． （2）y1随x增大而_________， y2随x增大而________． （3）当y1＞y2时，x的取值范围 是_______________． 17．为了合理利用防疫物资，省防疫指挥部积极在各个地区之间进行物资调配，甲、乙两辆车沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为，甲、乙两车前进的路程分别为、，甲车出发后的时间为，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题： (1)甲的速度是________，乙比甲晚出发_________h； (2)请你分别求出甲、乙两人前进的路程、与甲出发后的时间之间的函数关系式； (3)甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离B地还有多远？ 18．如图，直线l1：y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝﹣x﹣3与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求四边形ABCD的面积； （2）设直线l1，l2交于点P，求△PAD的面积． 19．综合与探究 问题情境： 在学习了平面直角坐标系和二元一次方程组之后，敏学小组的同学突发奇想进行了如下探究： 问题解决： (1)在下列表格中取，的值，使方程成立 －1 0 1 2 4 6 (2)在（1）中当时，，敏学小组的同学把这组解转化为点的坐标A（1，2）描在如图所示的平面直角坐标系中，请你把（1）中以其他解为坐标的点描在平面直角坐标系中，并把这些点连起来，你有什么发现？ (3)我们把（2）中得到的图形叫做方程的图象．请在同一坐标系中画出二元一次方程组的图象，并直接写出方程组的解． 20．如图，直线和直线与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线与y轴相交于点． (1)求点A的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)试探究在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一次函数与二元一次方程（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1一次函数与二元一次方程的关系 2一次函数与二元一次方程组的关系 3二元一次方程组解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系 4利用一次函数解决方案选择问题 题型巩固 一、两直线的交点与二元一次方程组的解 二、图象法解二元一次方程组 三、求直线围成的图形面积 四、一次函数与几何综合 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1一次函数与二元一次方程的关系 一次函数与二元一次方程的关系 知识点2一次函数与二元一次方程组的关系 1. 一次函数与二元一次方程组的对应关系 二元一次方程组对应两个一次函数对应两条直线； 二元一次方程组的解即为 两个一次函数值相等时的自变量值及函数值即为 两条直线的交点坐标. 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)变函数：把方程组化为一次函数＝＋与＝＋； (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 3. 两直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系 两条直线有交点(相交)⇔方程组只有一组解； 两条直线无交点(平行)⇔ 方程组无解； 两条直线是同一直线(重合)⇔方程组有无数组解. 知识点3二元一次方程组解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系 二元一次方程组的解与两直线：与：位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)： 从“数”看 从“形”看 方程组有唯一解 与相交 方程组无解 与平行 方程组有无数个解 与重合 知识点4利用一次函数解决方案选择问题 利用一次函数求解最优性问题 解决此类问题首先要求出两个函数表达式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，当取相同的自变量时，下方的图象对应的函数的函数值小，上方的图象对应的函数的函数值大，交点处的函数值相等 . 也可以用两个函数表达式相减，得到一个新的一次函数，根据新的一次函数图象与 x 轴的交点坐标比较不同自变量的取值范围下函数值的大小关系 . 题型巩固 题型一、两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的方程组的解是． 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，正比例函数与一次函数相交于点P，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系．数形结合是解题的关键． 由题意知，点P的横坐标为1，当时，，即；由图象可知，的解为两直线交点的横纵坐标，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，点P的横坐标为1， 当时，，即； 由图象可知，的解为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积为； (3)点的坐标为或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，与一次函数相关的线段和面积问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，学会联立函数解析式求解点的坐标是解题的关键． （1）联立直线的解析式即可得出点的坐标； （2）分别求出，两点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）由点的坐标可得出，，再利用列方程求解的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为． （2）当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 即的面积为． （3）由题意知，，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 题型二、图象法解二元一次方程组 4．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】一次函数与的交点为P（、4） 解得 点P的坐标为（2、4） 的解为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 6．如下面第一幅图，点A的坐标为（﹣1，1） （1）那么点B，点C的坐标分别为__________； （2）若一个关于x，y的二元一次方程，有两个解是和，请写出这个二元一次方程，并检验说明点C的坐标值是否是它的解． （3）任取（2）中方程的又一个解（不与前面的解雷同），将该解中x的值作为点D的横坐标，y的值作为点D的纵坐标，在下面第一幅图中描出点D； （4）在下面第一幅图中作直线AB与直线AC，则直线AB与直线AC的位置关系是_________，点D与直线AB的位置关系是__________． （5）若把直线AB叫做（2）中方程的图象，类似地请在备用图上画出二元一次方程组中两个二元一次方程的图象，并用一句话来概括你对二元一次方程组的解与它图象之间的发现． 【答案】（1）；（2），的坐标值是它的解；（3），描点见解析；（4）作图见解析，直线AB与直线AC重合，点D在直线AB上；（5）二元一次方程组的解，是方程组中两个一次函数图象的交点坐标． 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】（1）由题意，先建立合适的坐标系，再求得点B，点C的坐标； （2）由（1）写出两个解，再写出这个二元一次方程，并检验点C的坐标是否是这个二元一次方程的解； （3）先找到点D的坐标，再描出点D； （4）分别作出直线AB、AC，然后再判断两条直线的位置关系以及点D和直线AB的位置关系； （5）通过描点、连线作出两个二元一次方程的图象，可发现两条直线的交点坐标恰好是方程组的解． 【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，1）， ∴点B的坐标为（﹣2，2），点C的坐标为（0，0）； （2）∴，，这个二元一次方程为， ∵0+0=0， ∴点C的坐标值是它的解； （3）方程的又一个解为，如图： 点D的坐标为（1，﹣1）； （4）由（3）题图知，直线AB与直线AC重合，点D在直线AB上； （5）如图： 直线与直线的交点为：（1，3）； 将x=1，y=3代入原方程组知，是原方程组的解； 因此二元一次方程组的解，是方程组中两个一次函数图象的交点坐标． 【点评】本题实际考查了用图象法解二元一次方程组的方法．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 题型三、求直线围成的图形面积 7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，    在中，令，得， 解得，， ∴，， ∴的面积， 故选：B． 8．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 求出一次函数与坐标轴交点的坐标，再利用三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：根据作出简图得： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点，点C在x轴正半轴上，．    (1)求直线的解析式； (2)若P为线段上一点，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的图形的面积． （1）根据已知写出点C的坐标，再用待定系数法即可求直线的解析式； （2）先求出点A坐标，结合点B的坐标，即可求出的面积，设点，由题意得，，由，即可求出点P纵坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ， ， 把，代入，得 ，解得，． 直线的解析式为； （2）解：把代入，解得，， ， 由得，，则， 设点，    由题意得，， ， ∵的面积等于的面积，， ∴， 解得，， 把代入， 解得，， ． 题型四、一次函数与几何综合 10．如图，在中，，高，动点Q由点C沿方向向点B运动（不与点B，C重合）．设的长为x，的面积为S，则S与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查函数关系式、三角形的面积，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 11．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交点分别为A、B两点，M是上一点，沿直线对折，使B刚好落到x轴上的处，则点M的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，由一次函数与坐标轴的交点求得点A和点B，即可求得对应的长度，根据折叠有和，利用勾股定理即可求得点M的坐标． 【详解】解：由一次函数得：当时，；当时，； 则点，， 即， ∴， 由折叠可得；，， ∴， 设，则， ∵, ∴， 解得， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 12．如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 【答案】(1)直线：； (2) (3) (4)或 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，勾股定理，利用平方根解方程． （1）设直线表达式为，将点，代入即可求出的表达式为：；当时，，结合图像即可判断自变量x的取值范围； （2）联立两方程求解即可； （3）先求出，再分两种情况讨论即可； （4）分两种情况根据勾股定理列一元二次方程计算即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得： ∴的表达式为：； 当时，， 即 观察图象可知，当直线在x轴上方时，； （2）解：∵，交于点A， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：在直线：中，当时，，即 当时， 当经过A时，即， 解得， 当经过C时，， 即； 当时，直线 与y轴负半轴相交，不符合题意； 综上所述，； （4）解：当E在线段上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 当E在线段的延长线上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 分层强化 一、单选题 1．已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】要求两直线的交点，就是联立解析式构成的方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1）， ∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0， ∴交点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，本题属于基础题型． 2．以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出方程2x−y=1的二个解，再在平面直角坐标系中利用描点法解答． 【详解】解：二元一次方程2x−y=1的解可以为： 或． 所以，以方程2x−y=1的解为坐标的点分别为：（，0）、（0，-1）， 它们在平面直角坐标系中的图象如下图所示： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的解及其直线方程的图象，表示出方程的解是解题的关键． 3．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x，y的方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：关于x，y的方程组可化为， ∵两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)， ∴方程组的解为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组的解得关系，熟练掌握两函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 4．已知二元一次方程组的解为， 则在同一平面直角坐标系中， 直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数，与二元一次方程组的关系进行解答即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴直线：y=x+5与直线的交点坐标为（-4，1）， 故选B． 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 5．若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（　　） A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3） 【答案】A 【分析】根据对称的性质得出两个点关于直线x＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出交点坐标即可． 【详解】解：∵直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），关于直线x＝1对称， ∴点（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0）， 点（2，2）关于直线x＝1对称点为（0，2）， ∴直线l1经过点（﹣1，0），（0，2），l2经过点（2，2），（3，0）， ∴直线l1的解析式为：y＝2x+2，直线l2的解析式为：y＝﹣2x+6， 解方程组得， ∴l1和l2的交点坐标为（1，4）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与y轴的交点是解题关键． 6．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”如图所示的是良马与驽马行走路程s（里）关于行走时间t（日）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像的性质及交点坐标的求法，根据题意列出函数解析式，驽马行走路程，良马行走路程，进而联立方程组求出点坐标．熟练掌握一次函数解析式的求法是解决本题的关键． 【详解】解：由题意可知，驽马行走路程， 良马行走路程， 联立可得：，解得，， 故点P的坐标为， 故选：D． 二、填空题 7．若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 8．已知直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查两直线的交点问题，熟练掌握两直线的交点坐标与对应二元一次方程组的解的关系是解答的关键．根据两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：直线与相交于点， 、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 9．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式得到，求出k即可． 【详解】解： 当x=0时，y=10 ∴与y轴交于点(0,10) 当y=0时，， ∴与x轴交于点， ∵围成的三角形的面积为5， ∴， 解得 ∴该直线的表达式为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积，解题关键是求出直线与坐标轴的交点坐标，并注意分类讨论． 10．已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组的解为 ，从而可得出交点坐标． 【详解】解：二元一次方程组 的解为 ， 即的解为 ， 函数和的图象的交点坐标为， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像相交于点，那么关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)．利用两个相应的一次函数图象的交点坐标就是方程组的解，即可求解． 【详解】解：函数与的图像相交于点， 关于，的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 12．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1）， ∴方程组的解为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解． 13．一次函数与二元一次方程组的关系： ①方程5x－y＝20可以化为y＝ ，方程5x＋y＝120可以化为y＝ ； ②如图，直线y＝5x－20与直线y＝－5x＋120的交点坐标为（m，n），则m，n符合方程组 ； ③解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当  为何值时，两个函数的值相等以及 为多少；从“形”的角度看，相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的 ． 【答案】 5x－20 －5x＋120 x，y 交点 【解析】略 三、解答题 14．利用图象求方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点与二元一次方程的关系，将方程组内的每一个方程转化为用x表示y的式子，即函数关系式，再画出两条直线，从而确定交点，从而得解，正确绘图是解题的关键． 【详解】解：由得：， 画出两个一次函数的图象图下：    由图象知：是原方程组的解． 15．如图，根据图中信息，回答下列问题： (1)求m，n的值； (2)写出点P的坐标； (3)当x为何值时，? 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质以及与一元一次不等式的关系，可以根据图象结合待定系数法得到函数解析式，结合图象进行解答； （1）结合图象，可知的坐标为，点的坐标为，将两坐标代入函数解析式可以得到的值； （2）可以联立方程组，解方程组，即可得到的坐标； （3）根据交点的横坐标，结合函数图象和，即可得到的范围. 【详解】（1）解：把代入中，得． 把代入中，得， ． （2）解：由(1)知，， 联立，得 解这个方程组，得 ∴点P的坐标为． （3）解：由图象知，当时，． 16．画出函数y1＝－x＋1，y2＝2x－5 的图象，利用图象回答下列问题： （1）方程组的解是_______________． （2）y1随x增大而_________， y2随x增大而________． （3）当y1＞y2时，x的取值范围 是_______________． 【答案】图象详见解析；（1）；（2）减小，增大；（3）x＜2． 【分析】首先画出两个函数图象 （1）根据图象可得两函数交点坐标为（2，−1），进而得到方程组的解； （2）根据一次函数的性质，k＜0时，y1随x的增大而减小，k＞0时，y2随x的增大而增大可得答案； （3）根据函数图象可得x＜2，y1＝−x＋1的图象在y2＝2x−5的上方． 【详解】解：如图所示， （1）根据图象可得出方程组      的解是； 故答案为：； （2）y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大； 故答案为：减小，增大； （3）由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜2． 故答案为：x＜2． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数，关键是正确画出两函数图象，能从图象上得到正确信息． 17．为了合理利用防疫物资，省防疫指挥部积极在各个地区之间进行物资调配，甲、乙两辆车沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为，甲、乙两车前进的路程分别为、，甲车出发后的时间为，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题： (1)甲的速度是________，乙比甲晚出发_________h； (2)请你分别求出甲、乙两人前进的路程、与甲出发后的时间之间的函数关系式； (3)甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离B地还有多远？ 【答案】(1)50；1 (2)； (3)甲经过被乙追上；此时两人距离B地还有 【分析】（1）根据甲在通过的路程为求出甲的速度即可；根据图象即可得出乙比甲晚出发的时间； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）令，求出t的值，求出此时行驶的路程，用总路程减去行驶的路程即可得出此时两人距离B地的距离． 【详解】（1）解：甲的速度是； 乙比甲晚出发； 故答案为：50；1． （2）解：设甲、乙两人前进的路程、与甲出发后的时间之间的函数关系式分别为：，， 把代入得：， 解得：， ∴； 把，代入得：， 解得：， ∴； （3）解：令， 解得：， ∴甲经过被乙追上； 把代入得：， ， ∴此时两人距离B地还有． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． 18．如图，直线l1：y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝﹣x﹣3与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求四边形ABCD的面积； （2）设直线l1，l2交于点P，求△PAD的面积． 【答案】（1）28；（2） 【分析】（1）根据直线解析式求得A、B、C、D的坐标，然后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积求得即可； （2）解析式联立成方程组，解方程组求得P的坐标，根据S△PAD=S△PBD-S△ABD即可求得． 【详解】解：（1）当x=0时，y＝﹣2x+4=4；当y=0时，﹣2x+4=0，x=2， ∴A（2，0），B（0，4）； ∴OA＝2，OB＝4； 当x=0时，=-3；当y=0时，，x=-6， ∴C（﹣6，0），D（0，﹣3）； ∴OC＝6，OD＝3， ∴AC＝2+6＝8， ∴S四边形ABCD＝AC×OB+AC×OD ＝×8×（4+3）＝28； （2）根据题意可知：， 解这个方程组得：， ∴P（，）， ∴S△PAD＝S△PBD﹣S△ABD ＝×7×+×7×2 ＝． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，两条直线相交问题，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． 19．综合与探究 问题情境： 在学习了平面直角坐标系和二元一次方程组之后，敏学小组的同学突发奇想进行了如下探究： 问题解决： (1)在下列表格中取，的值，使方程成立 －1 0 1 2 4 6 (2)在（1）中当时，，敏学小组的同学把这组解转化为点的坐标A（1，2）描在如图所示的平面直角坐标系中，请你把（1）中以其他解为坐标的点描在平面直角坐标系中，并把这些点连起来，你有什么发现？ (3)我们把（2）中得到的图形叫做方程的图象．请在同一坐标系中画出二元一次方程组的图象，并直接写出方程组的解． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，这些点在一条直线上 (3)图见解析， 【分析】（1）把x或y的值代入2x－y=0，即可得到结论，将表格补充完整即可； （2）根据题意，将表中的每组坐标在平面直角坐标系中描出，并用直线连接即可； （3）根据函数图形的交点坐标即可得到结论． 【详解】（1）如下表所示 －1 0 1 2 3 －2 0 2 4 6 故答案为：2，3，﹣2，0； （2）解：如图，这些点在一条直线上； （3）解：由可得，根据关系式列出下表， －1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 由表格中的数据可画出图象： 由图象可知，两直线交点的横纵坐标即为方程的解， 故方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数，正比例函数的图形，能够正确的作出函数图象是解决本题的关键． 20．如图，直线和直线与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线与y轴相交于点． (1)求点A的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)试探究在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的函数表达式为： (2)12 (3)， 【分析】（1）对于，令可求出，得到点A的坐标，结合可求出，得到点B的坐标，再根据待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）求出直线和的交点，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分点P在点B右侧的x轴上和在点B左侧的x轴上两种情况，结合勾股定理列出方程求解即可 【详解】（1）将代入得，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 设直线的函数表达式为： 将、分别代入得： ， 解得 ∴直线的函数表达式为：． （2）∵点C是直线和的交点， ∴，解得 ∴ ∵， ∴． ∴的面积为：． （3）①点P在点B右侧的x轴上时，过点作于点，过点作轴，垂足为，如图3-1， ∴ ∴ 易证： ∴ ∴点坐标为， ∴直线解析式为：， ∴直线与轴交点的坐标为； ②点P在点B左侧的x轴上时，过点作于点，过点作轴，垂足为，过作轴，如图3-2， 同理易证：, ∴，， 设，则， 解得：， ∴， ∴点坐标为， ∴直线解析式为：， ∴直线与轴交点的坐标为； 综上，在x轴上存在点P，使得，点P的坐标为或 【点睛】本题考查了一次函数综合题，难度一般，关键是一次函数点的坐标的求法和三角形面积的求法． 学科网（北京）股份有限公司 $$