第05讲 三角形全等的判定 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第05讲 三角形全等的判定 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（重点） 2 三角形的稳定性 3 两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） （重点） 4 两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） （重点） 5 两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） （重点） 题型巩固 一、用SSS证明三角形全等 二、全等的性质和SSS综合 三、用SAS证明三角形全等 四、用SAS间接证明三角形全等 五、全等的性质和SAS综合 六、用ASA（AAS）证明三角形全等 七、全等的性质和ASA（AAS）综合 八、添加条件使三角形全等 九、灵活选用判定方法证全等 十、全等三角形综合问题 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1 两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 重点 1.基本事实：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS ”）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 知识点2 三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 稳定性是三角形特有的性质，其他多边形不具备稳定性.该性质在生产和日常生活中有广泛的应用，如房屋的人字架、大桥的钢梁、起重机的支架等. 知识点3 两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 重点 1.基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“ SAS” ）. 注意 应用“边角边”时必须满足相等的角是对应相等的两边的夹角，即“两边夹一角” ，不可出现“边边角”的错误. “ SSA ”不能判定两个三角形全等.如图，在 △ABC 和 △ADC 中， AC=AC ， CB=CD ， ∠CAD=∠CAB ，但 △ABC与 △ADC不全等 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 要按照“边—角—边”的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(SAS). 知识点4 两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 重点 1.基本事实：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ ASA ” ）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 在书写两个三角形全等的条件“角边角”时，要按照“角—边—角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(ASA). 知识点5 两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 重点 1.判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ AAS ”）. 两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等，不要忽略“对应”关系. 如图所示，在 △ADE和 △ABC中， ∠A=∠A，∠ADE=∠ABC ， AD=BC，但△ADE与 △ABC不全等 注意 由“ ASA ”和“ AAS ”可知，如果两个三角形具备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等. 可以是夹边也可以是对边 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 辨析 “ ASA ”与“ AAS ”的区别与联系 “ S ”的意义 书写格式 联系 ASA “ S ”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形的内角和定理可知，“ AAS ”可由“ ASA ”推导得出. AAS “ S ”是其中一角的对边. 把两角相等写在一起，边相等放在最后. 如果可以用“角边角”判定两个三角形全等，那么也可以转化为用“角角边”判定两个三角形全等，反之亦然 3. 三角形全等的条件的灵活选用 已知条件 作出图形 是否全等 形成结论 三条边 是 SSS 两边一角 两边夹角 是 SAS 两边对角 否 两角一边 两角夹边 是 ASA 两角对边 是 AAS 三个角 否 无 题型巩固 题型一、用SSS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江·单元测试）数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 ． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是格点三角形． ①在图1中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形．    题型二、全等的性质和SSS综合 4．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）已知：如图，，，求证：． 题型三、用SAS证明三角形全等 6．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，此卡钳的工作原理是（     ）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）看图填空：如图，已知，，试说明． 证明：∵ ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵ ∴ ； 即： 在和中 ∴（ ）． 题型四、用SAS间接证明三角形全等 8．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 题型五、全等的性质和SAS综合 10．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出两点之间的距离，即可得到的长度，其依据的数学基本事实是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间，线段最短 11．（24-25八年级上·浙江·期中）如图是边长均为的小正方形网格，，，，均在格点上，则 ． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：． 题型六、用ASA（AAS）证明三角形全等 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 14．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在和中，，，请你添加一个条件 ，使且满足．    15．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 题型七、全等的性质和ASA（AAS）综合 16．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则的长是 ． 18．（22-23八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 题型八、添加条件使三角形全等 19．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在和中，．添加下列哪个条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是 ．（只需填上一个即可） 21．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程．    题型九、灵活选用判定方法证全等 22．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 23．如图，在和中，点B，E，C，F在同条一直线上，下列4个条件： ，请你从中选3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为： ，作为结论的条件序号为： ． 24．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，且，，．求证：． 题型十、全等三角形综合问题 25．（23-24八年级上·浙江温州·期中）具备下列条件的两个三角形中，一定全等的是（    ） A．三条边对应相等 B．面积相等 C．有两边及一角对应相等 D．三个角对应相等 26．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为 ． 27．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，点，分别在，上，与交于点，且． (1)写出图中所有的全等三角形_________ (2)求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：在和中， （_________） （_________） 分层强化 一、单选题 1．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 2．如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 3．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．下列说法正确的有（    ） ①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等   ②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等    ③两边分别相等的两个直角三角形全等   ④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 7．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 二、填空题 8．如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ABE≌△ACD，你添加的条件是 ．（只需填一种情况） 9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上一点．，，若，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为 ． 10．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，且交线段BC于点E，连结DE，若∠C＝50°，设∠ABC＝x°，∠CDE＝y°，则y和x之间的关系是 ． 11．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 12．如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    13．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ． 14．如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为 ，的值为 ． 三、解答题 15．如图，四点共线，，，．求证：． 16．如图，已知．求证：． 17．如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 18．如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F． (1)求证：ABC≌ECD； (2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 19．在图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． （1）如图1，线段AN与线段BM是否相等?证明你的结论； （2）如图1，线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数； （3）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． 20．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形全等的判定 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（重点） 2 三角形的稳定性 3 两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） （重点） 4 两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） （重点） 5 两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） （重点） 题型巩固 一、用SSS证明三角形全等 二、全等的性质和SSS综合 三、用SAS证明三角形全等 四、用SAS间接证明三角形全等 五、全等的性质和SAS综合 六、用ASA（AAS）证明三角形全等 七、全等的性质和ASA（AAS）综合 八、添加条件使三角形全等 九、灵活选用判定方法证全等 十、全等三角形综合问题 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1 两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 重点 1.基本事实：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS ”）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 知识点2 三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 稳定性是三角形特有的性质，其他多边形不具备稳定性.该性质在生产和日常生活中有广泛的应用，如房屋的人字架、大桥的钢梁、起重机的支架等. 知识点3 两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 重点 1.基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“ SAS” ）. 注意 应用“边角边”时必须满足相等的角是对应相等的两边的夹角，即“两边夹一角” ，不可出现“边边角”的错误. “ SSA ”不能判定两个三角形全等.如图，在 △ABC 和 △ADC 中， AC=AC ， CB=CD ， ∠CAD=∠CAB ，但 △ABC与 △ADC不全等 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 要按照“边—角—边”的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(SAS). 知识点4 两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 重点 1.基本事实：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ ASA ” ）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 在书写两个三角形全等的条件“角边角”时，要按照“角—边—角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(ASA). 知识点5 两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 重点 1.判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ AAS ”）. 两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等，不要忽略“对应”关系. 如图所示，在 △ADE和 △ABC中， ∠A=∠A，∠ADE=∠ABC ， AD=BC，但△ADE与 △ABC不全等 注意 由“ ASA ”和“ AAS ”可知，如果两个三角形具备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等. 可以是夹边也可以是对边 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 辨析 “ ASA ”与“ AAS ”的区别与联系 “ S ”的意义 书写格式 联系 ASA “ S ”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形的内角和定理可知，“ AAS ”可由“ ASA ”推导得出. AAS “ S ”是其中一角的对边. 把两角相等写在一起，边相等放在最后. 如果可以用“角边角”判定两个三角形全等，那么也可以转化为用“角角边”判定两个三角形全等，反之亦然 3. 三角形全等的条件的灵活选用 已知条件 作出图形 是否全等 形成结论 三条边 是 SSS 两边一角 两边夹角 是 SAS 两边对角 否 两角一边 两角夹边 是 ASA 两角对边 是 AAS 三个角 否 无 题型巩固 题型一、用SSS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据作图过程得出，利用三边相等证明即可得答案． 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与，重合， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴这一做法用到三角形全等的判定定方法是． 故选：A． 2．（22-23八年级上·浙江·单元测试）数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 ． 【答案】SSS 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】根据SSS证明三角形全等即可解答． 【详解】解：在和△中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，读懂图形信息得到证明三角形全等的条件是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是格点三角形． ①在图1中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定； （1）根据“”画图即可； （2）根据“”画图即可； 解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 【详解】解：（1）即为所求作的三角形；        （2）即为所求作的三角形．             题型二、全等的性质和SSS综合 4．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 5．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）已知：如图，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，找到对应三角形证明全等是解题的关键． 证明≌，即可解决问题． 【详解】在和中， ， ∴≌， ∴ 题型三、用SAS证明三角形全等 6．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，此卡钳的工作原理是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】利用，证明，得到，因此可以通过测量的长度，得到工件内槽的宽度． 【详解】解：如图所示，    ∵为，的中点， ∴， 又∵， ∴（）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）看图填空：如图，已知，，试说明． 证明：∵ ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵ ∴ ； 即： 在和中 ∴（ ）． 【答案】A；；；；；． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由，可得，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：A；；；；；．． 题型四、用SAS间接证明三角形全等 8．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【答案】(1)见解析 (2)点的速度为 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握三角形全等的判定定理． （1）先求得，，则可判断； （2）由得，求出点的运动时间，进而可求出点运动的速度． 【详解】（1）解：点的速度与点的速度相等，都是， 经1s后，， ， ， ， 点为的中点，， ， ， 在和中，， ∴； （2）解：， ， 点是的中点，， ， 点的运动时间为：， 点运动的时间为， 点运动的速度是：， 当点的速度为时，能够使； 题型五、全等的性质和SAS综合 10．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出两点之间的距离，即可得到的长度，其依据的数学基本事实是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设两根细木条的中点为， 点O为、的中点， ，， 由对顶角相等得， 在和中， ， （两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等）， ， 即只要量出的长度，就可以知道底部内径的长度， 故选：B． 11．（24-25八年级上·浙江·期中）如图是边长均为的小正方形网格，，，，均在格点上，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，则，然后根据性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，，，，由网格可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，证，得，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型六、用ASA（AAS）证明三角形全等 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件． 【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等， 带③去就可以， 故选：C． 14．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在和中，，，请你添加一个条件 ，使且满足．    【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】根据题意和全等三角形的判定即可得． 【详解】解：在和中， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定． 15．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】题目主要考查平行性的性质及全等三角形的判定，根据题意得出，，，再由全等三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七、全等的性质和ASA（AAS）综合 16．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故选C． 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则的长是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．作，交的延长线于H，证明，得到，，则，证明，得到，由，设，则，得到，解得，得到． 【详解】解：作，交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 18．（22-23八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法证明即可． （1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经，，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答； （2）由是边上的中线，可知，再根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵是边上的中线， ， ， ． 题型八、添加条件使三角形全等 19．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在和中，．添加下列哪个条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、添加，又，，都无法判定，原选项符合题意； 故选：． 20．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是 ．（只需填上一个即可） 【答案】(答案为唯一) 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定方法即可解决问题； 【详解】解：∵，∴， 又∵， 根据只要添加：或； 根据只要添加：或； 根据只要添加：， 故答案为：(答案为唯一)． 21．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程．    【答案】选②（答案不唯一），证明见解析 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先选择合适的条件，再证明两个三角形全等是关键．本题已经有条件，，证明，再补充条件证明即可． 【详解】解：选一个条件；②（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 题型九、灵活选用判定方法证全等 22．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：③∵， ∴． A、①②③根据“”可判断； B、②③④根据“”可判断； C、③④⑤根据“”可判断； D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断； 故选：D． 23．如图，在和中，点B，E，C，F在同条一直线上，下列4个条件： ，请你从中选3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为： ，作为结论的条件序号为： ． 【答案】 ①②④（答案不唯一）； ③． 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】如果联合，利用易证，从而可得． 【详解】解：在和中，点B、E、C、F在同一条直线上， 如果．那么． 证明：∵， 即， 在和中， 故答案是：①②④（答案不唯一）；；③． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握判定两三角形全等的方法：，是直角三角形的还有HL． 24．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，且，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据证明即可． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用所学知识证明是解决本题的关键． 题型十、全等三角形综合问题 25．（23-24八年级上·浙江温州·期中）具备下列条件的两个三角形中，一定全等的是（    ） A．三条边对应相等 B．面积相等 C．有两边及一角对应相等 D．三个角对应相等 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的方法：．利用全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：A、三条边对应相等，一定全等，故此选项正确； B、面积相等，不一定全等，故此选项错误； C、有两边及一角对应相等，不一定全等，故此选项错误； D、三个角对应相等，不一定全等，故此选项错误； 故选：A． 26．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为 ． 【答案】或 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全等三角形解决问题． 作，交(或的延长线)于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段外和在线段上． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 当点在上时，作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或． 27．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，点，分别在，上，与交于点，且． (1)写出图中所有的全等三角形_________ (2)求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：在和中， （_________） （_________） 【答案】(1)， (2)已知，，，，全等三角形的对应边相等 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）分别根据证明，和证明即可； （2）根据证明即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）证明：在和中， （） （全等三角形的对应边相等）， 故答案为：已知，，， ，全等三角形的对应边相等． 分层强化 一、单选题 1．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； C、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； D、已知两角及夹边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：D． 2．如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据定理的条件进行判断即可； 【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即， 故选：C． 3．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小． 【详解】解： 理由：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．下列说法正确的有（    ） ①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等   ②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等    ③两边分别相等的两个直角三角形全等   ④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用全等三角形的判定定理分别对四个选项进行判断得出正确答案即可． 【详解】 解：①若两个锐角相等的直角三角形，只能证明两直角三角形的三个角对应相等，没有对应边相等，不能证明三角形全等，故此说法错误； ②如上图所示，若AB=EF，且∠B=∠F，AC=EG，则△ABC≌△EFG，所以BC=FG，又因为AC、EG分别为BD、FH的中线，所以BD=2BC，FH=2FG，所以BD=FH，所以△ABD≌△EFH，故此说法正确； ③两边分别相等的两个直角三角形，如果其中一条直角边等于另一个三角形的斜边，这种情况两个三角形不全等，故此说话错误； ④如果在两个含30°的直角三角形中，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个三角形就不全等，故此说话错误． 综上所述只有一个说法是正确的， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是了解全等三角形的几种判定方法，难度不大． 6．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：D． 7．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， ∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行. 故选：D． 二、填空题 8．如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ABE≌△ACD，你添加的条件是 ．（只需填一种情况） 【答案】AB＝AD（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加AE＝AD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， 故答案为AE＝AD（答案不唯一） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上一点．，，若，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得∠B=∠C=90°，又，则根据等量代换即可得∠EAB=∠FEC，利用AAS求得，可得AB=EC，结合矩形的周长则可求得AB，BC进而可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°，∠AEB+∠EAB=90°， 又∵， ∴∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠FEC=90°， ∴∠EAB=∠FEC， 在△AEB和△EFC中， ， ∴， ∴AB=EC， 又∵矩形ABCD的周长为26，BE=3 ∴， ， ， ∴矩形ABCD的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质、矩形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 10．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，且交线段BC于点E，连结DE，若∠C＝50°，设∠ABC＝x°，∠CDE＝y°，则y和x之间的关系是 ． 【答案】y=80-x（0<x<80） 【分析】先证明△BFA≌△BFE，由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BEA，∠DAE=∠DEA，推出∠EDC=y°=∠DAE+∠DEA，推出∠DAE=y°，∠BEA=∠BAE=∠C+∠DAE=50°+y°，由∠ABC+2∠AEB=180°，最后代入x、y即可解答． 【详解】解：AE⊥BD， ∴∠BFA=∠BFE=90°， ∵∠ABF=∠EBF，BF=BF， ∴△BFA≌△BFE（ASA）， ∴BA=BE，AF=EF，∠BAE=∠BEA， ∴AE⊥BD，即BD是线段AE的垂直平分线 ∴AD=DA ∴∠DAE=∠DEA， ∴∠EDC=y°=∠DAE+∠DEA，即∠DAE=y° ∴∠BAE =∠BEA =∠C+∠DAE=50°+y° ∵∠ABC+2∠AEB=180°， ∴x+100°+y=180°， ∴y=80-x（0<x<80）． 故填y=80-x（0<x<80）． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质、函数关系式等知识点，寻找全等三角形并灵活运用全等三角形的性质成为解答本题的关键． 11．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形的方法有是解题的关键．本题中根据证明，即可求解． 【详解】解：由题意知：， ∵是、的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 12．如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    【答案】/100度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定是解题的关键．由条件可证明，再结合外角的性质可求得，再利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 13．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ． 【答案】5 【分析】过D作，，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解． 【详解】过D作，，交延长线于F， ∵AD平分，，， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 14．如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为 ，的值为 ． 【答案】 6 0 【分析】根据的三边为边作三个正方形得，，，，，，即可得，，利证明，即可得，利用证明，得，即可得，，设，，根据四边形，四边形，四边形都是正方形，得，，,，则，可得，即可得． 【详解】解：∵的三边为边作三个正方形， ∴，，，， ，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， 故答案为：6，0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 三、解答题 15．如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 16．如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 由角的和差可得，再运用证得，然后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 17．如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得，再结合，，证明，则，因为，故． 【详解】证明：∵是的角平分线 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F． (1)求证：ABC≌ECD； (2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AC⊥DE，见解析 【分析】（1）由E是BC的中点，BC＝2AB可证明AB＝EC，由平行线的性质得出∠B＋∠ECD＝180°，得出∠ECD＝90°＝∠B，最后由SAS证明△ABC≌△ECD即可； （2）由全等三角形的性质得出，∠CED＝∠CAB，再由∠CAB＋∠ACB＝90°推导∠CED＋∠ACB＝90°，进而得出∠EFC＝90°，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵E是BC的中点， ∴BC＝2EC， ∵BC＝2AB， ∴AB＝EC， ∵， ∴∠B＋∠ECD＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ECD＝90°， 在△ABC和△ECD中， ， ∴△ABC≌△ECD（SAS）； （2）AC⊥DE．理由如下： ∵△ABC≌△ECD（SAS）， ∴∠CED＝∠CAB， ∵∠CAB＋∠ACB＝90°， ∴∠CED＋∠ACB＝90°， ∴∠EFC＝90°， ∴AC⊥DE． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 19．在图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． （1）如图1，线段AN与线段BM是否相等?证明你的结论； （2）如图1，线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数； （3）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）AN＝BM，证明见详解；（2）∠AOM＝60°；（3）△CEF是等边三角形，证明见详解． 【分析】（1）证△ACN≌△MCB（SAS），即可得出AN＝BM； （2）由全等三角形的性质得∠ANC＝∠MBC，利用三角形外角性质∠AOM＝∠CAN+∠MBC＝∠CAN+∠ANC＝∠BCN＝60°； （3）证△ACE≌△MCF（ASA），得CE＝CF，根据等边三角形判定定理由∠MCF＝60°即可得出结论． 【详解】解：（1）AN＝BM，理由如下： ∵△ACM、△CBN都是等边三角形， ∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°， ∴∠ACM+∠MCN＝∠BCN+∠MCN， ∴∠ACN＝∠BCM， 在△ACN和△MCB中， ， ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴AN＝MB； （2）由（1）得：△ACN≌△MCB， ∴∠ANC＝∠MBC， ∴∠AOM＝∠CAN+∠MBC＝∠CAN+∠ANC＝∠BCN＝60°； （3）△CEF是等边三角形，理由如下： ∵△ACN≌△MCB， ∴∠CAE＝∠CMF， ∵△AMC与△BNC均为等边三角形， ∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=MC ∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠BCN＝60°， ∴∠ACE＝∠MCF=60°， 在△ACE和△MCF中， ， ∴△ACE≌△MCF（ASA）， ∴CE＝CF， ∵∠MCF＝60°， ∴△CEF是等边三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或. 学科网（北京）股份有限公司 $$