课题5.5一元一次方程的的应用 同步讲义-2025-2026学年七年级数学上册浙教版（2024）

第5章 一元一次方程 5.5一元一次方程的应用 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 熟练掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤，精准分析实际问题中的数量关系并列出方程。​ . 深刻理解常见实际问题（如行程、工程、销售、配套等）的基本等量关系，能灵活运用方程模型解决各类实际问题。​ . 培养运用数学知识解决生活问题的能力，提升数学应用意识与逻辑思维能力。 . . . 一：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 二：常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 考点一： 配套问题 1．某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，一个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（   ）名工人生产茶壶． A．7 B．10 C．18 D．23 2．如图，1个中国结由1个结体和2个流苏构成．某工厂生产一批中国结，已知该工厂有30名工人，每名工人一天可生产500个结体或2000个流苏，并且要使每天生产的结体和流苏刚好配套．设应安排名工人生产结体．由题意，可得方程_____________．横线处应填（   ） A． B．2000x C． D． 3．建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 考点二：工程问题 5．甲、乙两人检修一条长的密封管道，甲的检修速度为，乙的检修速度为，若甲先检修，后由甲、乙两人合作完成剩余管道的检修，则甲检修管道共用时间是（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人．如果设乙队的人数为x人，则所列的方程为（    ） A． B． C． D． 7．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假． A．1 B．3 C．5 D．6 8．完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三.销售盈亏 9．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某平台上一件网红商品上个月销售了2000件．本月预计销量会再提高两成五，预计将达到（   ）件． A．250 B．2400 C．2500 D．500 10．某校买来7只篮球和10只足球共付1230元．已知每只足球的价钱是每只篮球价钱的2倍少12元，问每只篮球和足球各多少元？ A．篮球每只50元，足球每只88元 B．篮球每只60元，足球每只88元 C．篮球每只60元，足球每只108元 D．篮球每只55元，足球每只98元 11．妈妈用电子支付还信用卡账单时，需按还款金额的缴纳手续费18元，妈妈信用卡账单的应还款金额是（   ）元． A．18 B．180 C．1800 D．1818 考点四.比赛积分 12．某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 13．学校组织数学知识竞赛，共设道选择题，每一题答对得分，答错或不答扣分，晓国同学得分，他答对的题目数量为(    )． A．16 B．17 C．18 D．19 14．2025年亚足联U-20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛事之一， 比赛于2025年2月12日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热情．某校特举办校园足球比赛，赛制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分，星光队进行了10场比赛，其中胜了5场总共得14分，那么该队负了（　　） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 15．为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了传统文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题均为必答题．下表统计了3名参赛学生甲，乙，丙的得分情况，则另一名参赛学生丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分/分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 10 10 40 A．54分 B．64分 C．78分 D．93分 考点五.方案选择 16．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 18．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 19．为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（　　） A． B． C． D． 考点六.数字问题 20．据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，古人称之为纵横图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字的和都相等．如图所示的幻方中，若所填入的数均为自然数且不相同，则的值不可能为（   ） 3 11 A．13 B．16 C．19 D．22 21．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如，将转化为分数时，可设，则，即，解得，即．那么，将转化为分数是（    ） A． B． C． D． 22．如图，方格内每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 23．如图，将这9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的积相等．则其中的值为（    ） A． B． C．2 D． 考点七.几何问题 24．如图，在数轴上点B及在点A的右侧，已知点A对应的数为，点B对应的数为m，在之间有一点C，点C到原点的距离为，且，则m的值为（    ） A． B． C．3 D．2 25．【找规律】用小棒摆正方形（如图），按照图形的变化规律，用31根小棒可摆出（    ）个正方形． A．10 B．11 C．9 D．12 26．如图，数轴上三点所表示的数分别是，已知，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．一块正方形空地，若将其中一组对边的边长增加，另一组对边的边长增加，那么扩建后长方形空地的面积比原来的面积增加了，则原正方形空地的边长是（    ） A．4m B．6m C．8m D．10m 考点八.动点问题 28．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 29．如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 30．如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在射线上向点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点运动，当与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动．当时，点表示的有理数为（） A．0 B． C．或0 D．或 31．在数轴上，点A从表示的点出发，速度为每秒3个单位长度，B从表示7的点出发，速度为每秒1个单位长度，它们同时出发，相向运动，当A，B两点相距4个单位长度时运动的时间为（   ） A．2秒或4秒 B．3秒或4秒 C．2秒或5秒 D．3秒或5秒 考点九.和差倍分问题 32．“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有人，男生有人．根据题意，所列方程组为（　） A． B． C． D． 33．若一根绳子的长度等于它本身的 加上 米，则这根绳子全长是（   ）米 A．2 B．3 C．4 D．5 34．某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 35．在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 考点十.电费和水费问题 36．某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 37．水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 38．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 39．如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 考点十一.行程问题 40．我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之” ，题意：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，列方程是（　　） A． B． C． D． 41．在端午节龙舟大赛训练期间，某队选择在河道里进行测试，已知龙舟在静水中的速度是18千米/小时，在赛道上顺水划行需要小时，逆水划行回来需要小时．设水流的速度为千米/小时．根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 42．我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 43．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流航行，用了；从乙码头返回甲码头逆流航行用了．已知水流的速度是，设轮船在静水中的平均速度为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 考点十二.比例分配 44．如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 45．在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 46．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 47．三角形三边比是，周长是72，那么，最长边是（　　） A．30 B．24 C．18 D．12 一、单选题 1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（　　）灯． A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 2．《周髀算经》是我国现存最早的数理天文学著作，书中记载了一种用于观测星辰位置的圭表，已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺．嘉嘉根据题意，设圭的长度为尺，列出方程，淇淇根据题意，设表的长度为尺，列出方程，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉错误、淇淇正确 C．嘉嘉正确、淇淇错误 D．嘉嘉、淇淇都错误 3．“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 4．将正整数1至6000按一定规律排列如表：同时平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 … A．116 B．117 C．129 D．138 5．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和不可能是（    ） A．50 B．75 C．95 D．110 6．如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 7．【找等量关系】个大饼分给个人吃，大人每人分个，小孩人分一个，则大人有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 8．一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（　　） A．10 B．12 C．18 D．21 9．足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（   ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 10．学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A． 小时 B．5小时 C．3小时 D．2小时 2、 填空题 11．若干人分一篮橘子，若其中两人每人分4个，其余每人分2个，则剩4个；若只有一人分6个，其余每人分4个，则还差12个．这篮橘子共有 个． 12．电扇厂4名工人5小时能安装电扇80台，现在要在12小时之内安装384台电扇，需要增加 工人． 13．一艘轮船所带的燃料最多可支持航行6小时．轮船去时顺风，每小时航行36千米；返回时逆风，每小时航行的路程是去时的．这艘轮船最多航行 千米就需要返回． 14．一个足球的表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成，呈现黑白相间的经典设计．其中黑皮部分形状是正五边形，白皮部分形状是正六边形，如图所示．已知黑皮和白皮共有32块，每个黑块与5个白块相邻，每个白块与3个黑块及3个白块相邻，则缝制这样一个足球需要白皮 块． 15．【商品问题】2023河南春晚公仔耐斯兔的进价比瑞儿的进价便宜．耐斯兔按照的利润定价，瑞儿按照的利润定价，耐斯兔比瑞儿的售价还便宜元，耐斯兔的进价是 元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程 5.5一元一次方程的应用 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 熟练掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤，精准分析实际问题中的数量关系并列出方程。​ . 深刻理解常见实际问题（如行程、工程、销售、配套等）的基本等量关系，能灵活运用方程模型解决各类实际问题。​ . 培养运用数学知识解决生活问题的能力，提升数学应用意识与逻辑思维能力。 . . . 一：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 二：常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 考点一： 配套问题 1．某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，一个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（   ）名工人生产茶壶． A．7 B．10 C．18 D．23 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式：每天生产茶壶的数量每天生产茶杯的数量，列方程，即可求解． 【详解】解：设需要有名工人生产茶壶，由题意得 ， 解得：， 故选：A． 2．如图，1个中国结由1个结体和2个流苏构成．某工厂生产一批中国结，已知该工厂有30名工人，每名工人一天可生产500个结体或2000个流苏，并且要使每天生产的结体和流苏刚好配套．设应安排名工人生产结体．由题意，可得方程_____________．横线处应填（   ） A． B．2000x C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意一天可生产个结体和个流苏，结合1个中国结由1个结体和2个流苏构成．列方程即可． 【详解】解：∵设应安排名工人生产结体，该工厂有30名工人， ∴安排名工人生产流苏， ∵每名工人一天可生产500个结体或2000个流苏， ∴一天可生产个结体和个流苏， ∵1个中国结由1个结体和2个流苏构成， ∴， 故选：D 3．建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名．每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个．根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名． 每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个． 根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，即： 解得：． 故选D． 4．某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，特别是配套问题．熟练掌握根据配套关系找出等量关系并列出方程是解题的关键．在配套问题中，要明确各部分之间的数量比例关系，以此来建立方程求解．根据生产镜片和镜架的工人数量表示出镜片和镜架的数量，再结合配套关系列出方程．已知安排名工人生产镜片，那么生产镜架的工人数量为名，然后分别计算出镜片和镜架的数量，根据两个镜片和一个镜架配套这一条件列出方程． 【详解】解：∵安排名工人生产镜片，名工人每天可生产镜片片， ∴每天生产镜片的数量为片； ∵生产镜架的工人数量为名，名工人每天可生产镜架个， ∴每天生产镜架的数量为个； ∵两个镜片和一个镜架配套，即镜片数量是镜架数量的倍， ∴可列方程为, 故选：A． 考点二：工程问题 5．甲、乙两人检修一条长的密封管道，甲的检修速度为，乙的检修速度为，若甲先检修，后由甲、乙两人合作完成剩余管道的检修，则甲检修管道共用时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，设甲检修管道共用时间是，根据甲检修管道长度与乙检修管道长度之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设甲检修管道共用时间是，根据题意，得 ， 解得， ∴甲检修管道共用时间是． 故选：B 6．甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人．如果设乙队的人数为x人，则所列的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据题意，设乙队人数为，甲队人数为，总人数为100，建立方程即可． 【详解】解：设乙队人数为，则甲队人数为， 根据总人数关系，甲队和乙队人数之和为100， 因此方程为：，即， 故选：A 7．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假． A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答，设甲请x天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答． 【详解】解∶设甲请了x天假，由题意知， 解得． 答∶甲请了3天假． 故选：B． 8．完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，把工作总量看做单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，再根据工作总量等于工作效率乘以工作时间分别求出甲、乙的工作总量，二者的和为1，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 考点三.销售盈亏 9．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某平台上一件网红商品上个月销售了2000件．本月预计销量会再提高两成五，预计将达到（   ）件． A．250 B．2400 C．2500 D．500 【答案】C 【分析】根据题意，本月销量比上个月提高两成五，即增长将上个月的销量2000件乘以即可得到本月的预计销量. 【详解】解：“两成五”即，原销量为2000件，增长后，本月销量为：（件） 因此，预计本月销量为2500件. 故选：C. 10．某校买来7只篮球和10只足球共付1230元．已知每只足球的价钱是每只篮球价钱的2倍少12元，问每只篮球和足球各多少元？ A．篮球每只50元，足球每只88元 B．篮球每只60元，足球每只88元 C．篮球每只60元，足球每只108元 D．篮球每只55元，足球每只98元 【答案】A 【分析】设每只篮球的价格为x元，则每只足球的价格为元，根据题意，得到方程，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设每只篮球的价格为x元，则每只足球的价格为元， 根据题意，得到方程， 解得， ． 所以篮球每只50元，足球每只88元． 故选：A． 11．妈妈用电子支付还信用卡账单时，需按还款金额的缴纳手续费18元，妈妈信用卡账单的应还款金额是（   ）元． A．18 B．180 C．1800 D．1818 【答案】C 【分析】本题考查了百分数的实际应用，解题的关键是根据除法运算由公式求解． 根据题意，手续费为应还款金额的，即手续费应还款金额，已知手续费为18元，可建立方程求解应还款金额． 【详解】解：设应还款金额为元，则手续费为， 根据题意，，解得， 因此，应还款金额为1800元． 故选：C． 考点四.比赛积分 12．某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个， 由题意得，， 解得， 故选：A． 13．学校组织数学知识竞赛，共设道选择题，每一题答对得分，答错或不答扣分，晓国同学得分，他答对的题目数量为(    )． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设晓国同学答对道题目，则答错或不答道题目，利用得分答对题目数答错或不答题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设晓国同学答对道题目，则答错或不答道题目， 根据题意得：， 解得：， 晓国同学答对道题目． 故选：C． 14．2025年亚足联U-20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛事之一， 比赛于2025年2月12日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热情．某校特举办校园足球比赛，赛制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分，星光队进行了10场比赛，其中胜了5场总共得14分，那么该队负了（　　） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用．设该队负了场，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该队负了场，故平了场， ， 解得． 故一共负了3场． 故选：B． 15．为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了传统文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题均为必答题．下表统计了3名参赛学生甲，乙，丙的得分情况，则另一名参赛学生丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分/分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 10 10 40 A．54分 B．64分 C．78分 D．93分 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由记录表格可知，答对一道题得5分，答错一道题扣1分，设答对x道题，则得分分，逐一对选项求解，根据x为正整数，即可得到答案． 【详解】解：由甲同学得分情况可知，答对一道题得分， 由乙同学得分情况可知，答错一道题扣分， 丙同学得分也符合； 设学生丁答对x道题，则答错道题， ∴得分，且x为正整数， A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，符合题意； C、，解得：，不合题意； D、6x-20=62，解得：，不符合题意； 故选：B． 考点五.方案选择 16．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误． 结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误． 结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确． 综上，正确结论仅1个， 故选：B． 17．某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：直接列出算式求出利润即可； 方案二：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案三：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：直接销售鲜奶可以获利： （元）， 方案二：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案三：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， ∵， ∴第三种方案获利较多． 故选：C． 18．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 19．为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找出等量关系是解答本题的关键．根据人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选B． 考点六.数字问题 20．据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，古人称之为纵横图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字的和都相等．如图所示的幻方中，若所填入的数均为自然数且不相同，则的值不可能为（   ） 3 11 A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】C 【分析】根据幻方的性质，每行、每列及对角线的和相等，设第二行第二个方格中的数为x，根据性质得出每行每列的和为，然后得出方程，然后代入计算判断即可 【详解】解：设第二行第二个方格中的数为x， A、当时，， 解得：， ∵9与均不相同， ∴a可以为13，选项不符合题意； B、当时，， 解得：， ∵10与3，11，16均不相同， ∴a可以为16，选项不符合题意； C、当时，， 解得：， ∵， ∴a不可以为19，选项符合题意； D、当时，， 解得：， ∵12与3，11，22均不相同， ∴a可以为22，选项不符合题意. 故选：C 21．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如，将转化为分数时，可设，则，即，解得，即．那么，将转化为分数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了小数化分数，解一元一次方程． 仿照题干所给示例计算即可． 【详解】设， 则 解得： 故选：A． 22．如图，方格内每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示第一行、第三行及第二列、第三列上的三个数的和是解题的关键．根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等分别列方程求得再求出代数式的值即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ，， 解得， ， 故选：D． 23．如图，将这9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的积相等．则其中的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘、除法运算，解一元一次方程，难度较大，熟练掌握解题技巧和有理数乘、除法运算法则是解题关键． 先确定同一行、列、对角线的乘积相等，且为，可得，则；，则；，；然后确定幻方的九个空格中处在中央的数是，即可求解． 【详解】解：， ∴同一行、列、对角线的乘积相等，且为，如图： ∴，则； ，则； ，； 正中间的数为，则幻方的九个空格中处在中央的数是． ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 可求，经检验，均符合题意， 故选：A． 考点七.几何问题 24．如图，在数轴上点B及在点A的右侧，已知点A对应的数为，点B对应的数为m，在之间有一点C，点C到原点的距离为，且，则m的值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是根据两点间的距离公式，结合列出关于m的方程．先根据已知条件求出，，再根据列出关于m的方程，解方程求出m即可． 【详解】解：∵点A对应的数为，点C到原点的距离为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 25．【找规律】用小棒摆正方形（如图），按照图形的变化规律，用31根小棒可摆出（    ）个正方形． A．10 B．11 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探索，一元一次方程的应用，根据所给图形找到规律是解题的关键． 由图形可得1个正方形需要4根小棒，2个正方形需要7根小棒，每多一个小正方形，则多出3根小棒，得到个正方形需要根小棒，则，解方程即可． 【详解】解：第一个图形1个正方形需要4根小棒； 第二个图形2个正方形需要7根小棒； 第三个图形3个正方形需要10根小棒； 第四个图形4个正方形需要13根小棒； 则第个图形有个正方形需要根小棒， ∴当时， 解得， ∴可摆出10个正方形， 故选：A． 26．如图，数轴上三点所表示的数分别是，已知，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值方程，利用数轴比较大小等知识点，熟练掌握数轴的相关知识点是解题的关键． 先根据数轴上两点距离求出，由数轴可得，化简绝对值，解方程即可求出． 【详解】解：∵，表示的数为， ∴点表示的数为， ∵，且由数轴可得， ∴， ∴， 故选：B． 27．一块正方形空地，若将其中一组对边的边长增加，另一组对边的边长增加，那么扩建后长方形空地的面积比原来的面积增加了，则原正方形空地的边长是（    ） A．4m B．6m C．8m D．10m 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程式是解题的关键． 设原正方形边长为米，扩建后长方形的长为米，宽为米，根据面积差为83平方米，建立方程求解即可． 【详解】解：设原正方形边长为米， ． 因此，原正方形边长为4米． 故选：A． 考点八.动点问题 28．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，设点P表示的数为n，可得，再解方程并进一步解答即可. 【详解】解：设点P表示的数为n， ∴，， ∵点到、两点距离之和为40，即， 当时，， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故选：B 29．如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为6或9； 故选：C． 30．如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在射线上向点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点运动，当与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动．当时，点表示的有理数为（） A．0 B． C．或0 D．或 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程解应用、数轴上的动点问题及两点间的距离，掌握分情况列方程是解题关键．分两种情况：当点与点相遇前及当点与点相遇后返回时，分别列方程，解出即可． 【详解】解：设点运动了秒时，， 表示的数为，点表示的数为8， ， 由题意得：点运动了秒时，点与点相遇 当点与点相遇前， 点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ， 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ， ， ， 解得：， 点表示的有理数为； 当点与点相遇后返回时， 点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ， 点从点出发，与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动， ， ， ， 解得：， 点表示的有理数为； 综上所述，点表示的有理数为或0， 故选：C． 31．在数轴上，点A从表示的点出发，速度为每秒3个单位长度，B从表示7的点出发，速度为每秒1个单位长度，它们同时出发，相向运动，当A，B两点相距4个单位长度时运动的时间为（   ） A．2秒或4秒 B．3秒或4秒 C．2秒或5秒 D．3秒或5秒 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，设秒后，A，B两点相距4个单位长度，相遇前：；相遇后，；据此即可求解 【详解】解：设秒后，A，B两点相距4个单位长度， 相遇前：，解得：； 相遇后，，解得：； 故选：D 考点九.和差倍分问题 32．“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有人，男生有人．根据题意，所列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，列出正确的二元一次方程组是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，男女生总人数为人， ∴， 又∵女生平均每人捐本，男生平均每人捐本，共捐本书， 则有：， ∴可列方程组：． 故选：A． 33．若一根绳子的长度等于它本身的 加上 米，则这根绳子全长是（   ）米 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设绳子的全长为米，根据绳子的长度等于它本身的加上米建立方程并求解． 【详解】解：设绳子全长为米．根据题意，绳子的长度等于它本身的加上米，即： 将方程整理为： 合并同类项得： 两边同时乘以4，解得： 验证：当时，左边为3米，右边为米，等式成立．因此，绳子全长为3米， 故选：B 34．某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程． 设参加“深海探幽”活动的人数为，则参加“九天揽月”活动的人数为，再根据七年级学生共200人列方程即可． 【详解】解：设参加“深海探幽”活动的人数为， ∵参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1， ∴参加“九天揽月”活动的人数为， ∴可列方程为， 故选：B． 35．在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设这个班有学生人，根据“每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本”，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人， 由题意得，， 故选：B． 考点十.电费和水费问题 36．某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解收费规定建立方程是解题的关键． 根据3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，可知用户用量超过30立方米，设3月份燃气用量为x，则根据平均每立方米元，可得出方程，解出x后，即可得出答案． 【详解】解：∵3月份张老师家的燃气费平均每立方米元， ∴用户燃气用量超过30立方米， 设3月份燃气用量为x， 由题意得，， 解得：， 则3月份张老师家应交燃气费为：（元） 答：3月份张老师家应交燃气费72元． 故选：C 37．水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设7、8两月小明家共用水吨，然后根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设7、8两月小明家共用水吨， ，解得：， 经检验，是原方程的解， 答：7、8两月小明家共用水23吨． 故答案为：C． 38．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 39．如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．设小刘在该月的主叫通话时间为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设小刘在该月的主叫通话时间为， 则可列方程为， 故选：A． 考点十一.行程问题 40．我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之” ，题意：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，列方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据快马和慢马的总路程相等时，快马追上慢马，列方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马．快马的总路程为里， 慢马在快马出发前已走了天，路程为里，之后又走了天，路程为里． 因此，慢马的总路程为里． 根据追及时路程相等，可得方程： 将方程整理为： 故选D． 41．在端午节龙舟大赛训练期间，某队选择在河道里进行测试，已知龙舟在静水中的速度是18千米/小时，在赛道上顺水划行需要小时，逆水划行回来需要小时．设水流的速度为千米/小时．根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“在赛道上顺水划行需要小时，逆水划行回来需要小时”即可得到结论． 【详解】解：龙舟顺水速度为静水速度加水流速度，即千米/小时，划行时间小时，路程为千米， 逆水速度为静水速度减水流速度，即千米/小时，划行时间小时，路程为千米， 因顺水与逆水路程相等，故方程应为： 故选：A． 42．我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系是解题的关键．设快马天可以追上慢马，根据快马追上慢马时它们所走的路程相等，结合路程速度时间，列出方程即可． 【详解】设快马天可以追上慢马， 根据题意得，． 故选：B． 43．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流航行，用了；从乙码头返回甲码头逆流航行用了．已知水流的速度是，设轮船在静水中的平均速度为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据顺流和逆流时路程相等建立方程．顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，利用时间与速度的乘积表示路程． 【详解】设轮船在静水中的平均速度为，则顺流航行的速度为，逆流航行的速度为． 顺流航行2小时的路程为，逆流航行2.5小时的路程为． 由于往返路程相等，可得方程： 故选A． 考点十二.比例分配 44．如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的对应关系以及一元一次方程的应用的知识点，解题的关键是根据上下对齐的点之间的距离比例关系列出等式． 根据点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，利用甲，乙数轴上对应点之间的距离关系列出关于的方程求解． 【详解】因为点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，所以甲，乙两条数轴上对应点之间的距离比例是相同的， 先计算甲数轴上A，B两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 乙数轴上D，E两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 根据距离比例相同可得： 解得． 故答案选：C． 45．在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，首先理解题意找出题中存在的等量关系：原来拔草的人数支援拔草的人数(原来植树的人数支援植树的人数)，根据此等式列方程即可． 【详解】解：设支援拔草的有人，则支援植树的为人，现在拔草的总人数为人，植树的总人数为人． 根据等量关系列方程得，． 故选：B． 46．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，本题先分别表示新工艺的废水排量为，旧工艺的废水排量为，再利用比值的含义建立方程即可；确定相等关系是解本题的关键． 【详解】解：设环保限制的最大量为，则 ， 故选：A． 47．三角形三边比是，周长是72，那么，最长边是（　　） A．30 B．24 C．18 D．12 【答案】A 【分析】设最长边是x，按比例分配列比例式，故． 【详解】设最长边是x， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形，一元一次方程的简单应用，解决问题的关键是按比例分配列比例式． 一、单选题 1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（　　）灯． A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设顶层有x盏灯，则第六层有盏灯，第五层有盏灯，第四层有盏灯，第三层有盏灯，第二层有盏灯，第一层有盏灯，然后根据“共挂了381盏灯”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设顶层有x盏灯，则第六层有盏灯，第五层有盏灯，第四层有盏灯，第三层有盏灯，第二层有盏灯，第一层有盏灯， 由题意可得：，解得：． 所以，顶层共有3盏灯． 故选B． 2．《周髀算经》是我国现存最早的数理天文学著作，书中记载了一种用于观测星辰位置的圭表，已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺．嘉嘉根据题意，设圭的长度为尺，列出方程，淇淇根据题意，设表的长度为尺，列出方程，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉错误、淇淇正确 C．嘉嘉正确、淇淇错误 D．嘉嘉、淇淇都错误 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意，分别分析嘉嘉和淇淇所列方程的正确性。嘉嘉设圭的长度为x尺，则表的长度为尺，两者之和为，符合题意；淇淇设表的长度为y尺，则圭的长度为尺，两者之和为，同样符合题意，因此两人均正确. 【详解】解：嘉嘉的方程：设圭的长度为尺，则表的长度为尺， 根据题意，圭和表的长度之和为21尺， 故方程为：， 淇淇的方程：设表的长度为尺，则圭的长度为尺，根据题意，两者之和为21尺，故方程为：； 综上，两人所列方程均正确， 故选A 3．“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设鸡有x只，则兔子有只，根据鸡的脚数加兔子的脚数等于总脚数94，建立方程即可． 【详解】解：设有x只鸡，则可列方程为， 故选：B． 4．将正整数1至6000按一定规律排列如表：同时平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 … A．116 B．117 C．129 D．138 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设中间数为，则另外两个数分别为，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第一列及第八列数，即可确定值，此题得解． 【详解】解：设中间数为，则另外两个数分别为， ∴三个数之和为． 当时， 解得：， ∵， ∴116符合题意，故A符合题意； 当时， 解得：，故B不合题意； 当时， 解得：，故C不合题意； 当时， 解得：，故D不符合题意． 故选：A． 5．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和不可能是（    ） A．50 B．75 C．95 D．110 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为x，则上方两个数为，下方两个数为，得出五个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则上方两个数为，下方两个数为， ∴这五个数的和为， 若，解得，符合日历的特点，不符合题意； 若，解得，符合日历的特点，不符合题意； 若，解得，此时右上和右下两个数字为空，符合题意； 若，解得，符合日历的特点，不符合题意； 故选：C． 6．如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的对应关系以及一元一次方程的应用的知识点，解题的关键是根据上下对齐的点之间的距离比例关系列出等式． 根据点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，利用甲，乙数轴上对应点之间的距离关系列出关于的方程求解． 【详解】因为点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，所以甲，乙两条数轴上对应点之间的距离比例是相同的， 先计算甲数轴上A，B两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 乙数轴上D，E两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 根据距离比例相同可得： 解得． 故答案选：C． 7．【找等量关系】个大饼分给个人吃，大人每人分个，小孩人分一个，则大人有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到数量关系是解题的关键．设大人人数为人，小孩人数为人，根据总人数和大饼总数建立方程组求解． 【详解】解：设大人有人，小孩有人， ， 解得， 大人有个， 故选：B． 8．一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（　　） A．10 B．12 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系并列出方程即可求解．设原数个位数字为，则十位数字为；原数为，调换后新数为；根据新数比原数大18，列方程求解，再求和． 【详解】解：设原数个位数字为，则十位数字为，原数为：； 新数为：； 根据题意：， 化简得， 即， 解得； 原数十位数字为，个位与十位数字之和为． 故选A 9．足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（   ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，准确理解等量关系是解题的关键．设该队胜了场，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该队胜了场，故平了场， ， 解得． 故一共胜了场． 故选：D． 10．学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．小时 B．5小时 C．3小时 D．2小时 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握工程问题的解法是解题的关键． 设他们合作整理这批图书的时间是x小时，根据总工作量为单位“1”，列方程求出x的值即可得出答案． 【详解】解：设他们合作整理这批图书的时间是x小时，根据题意得： 解得：， 答：他们合作整理这批图书的时间是3小时． 故选：C． 2、 填空题 11．若干人分一篮橘子，若其中两人每人分4个，其余每人分2个，则剩4个；若只有一人分6个，其余每人分4个，则还差12个．这篮橘子共有 个． 【答案】26 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设有x个人，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设有x个人， 根据题意得： 解得： ∴这篮橘子共有：， 故答案为：26． 12．电扇厂4名工人5小时能安装电扇80台，现在要在12小时之内安装384台电扇，需要增加 工人． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键在于正确理解工作效率与总任务量的关系．首先，根据已知条件计算每个工人的工作效率，再根据新的任务需求计算所需总工人数，最后减去原有工人数得到需要增加的人数． 【详解】解：已知4名工人5小时安装80台电扇，每个工人每小时安装的台数为： （台人小时） 设需要x名工人，则总效率为台小时．根据题意，得 解得：, 原有4名工人，需增加：，即需增加4名工人． 故答案为：4． 13．一艘轮船所带的燃料最多可支持航行6小时．轮船去时顺风，每小时航行36千米；返回时逆风，每小时航行的路程是去时的．这艘轮船最多航行 千米就需要返回． 【答案】86.4 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设这艘轮船最多航行千米就需要返回，根据往返路程相等列方程求解即可． 【详解】解：设这艘轮船最多航行千米就需要返回， 由题意得，， 解得， 故答案为：． 14．一个足球的表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成，呈现黑白相间的经典设计．其中黑皮部分形状是正五边形，白皮部分形状是正六边形，如图所示．已知黑皮和白皮共有32块，每个黑块与5个白块相邻，每个白块与3个黑块及3个白块相邻，则缝制这样一个足球需要白皮 块． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设缝制这样一个足球需要白皮块，则缝制这样一个足球需要黑皮块，根据“每个黑块与个白块相邻，每个白块与个黑块及个白块相邻(即白皮与黑皮的数量比为：)”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要白皮块，则缝制这样一个足球需要黑皮块， 根据题意得：， 解得：， 缝制这样一个足球需要白皮块． 故答案为：． 15．【商品问题】2023河南春晚公仔耐斯兔的进价比瑞儿的进价便宜．耐斯兔按照的利润定价，瑞儿按照的利润定价，耐斯兔比瑞儿的售价还便宜元，耐斯兔的进价是 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设瑞儿的进价为x元，则耐斯兔的进价是元，根据耐斯兔比瑞儿的售价还便宜元建立方程求解即可． 【详解】解：设瑞儿的进价为x元，则耐斯兔的进价是元， 由题意得，， 解得， 所以， 所以耐斯兔的进价是元， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$