专题5.2 一元一次方程的应用（举一反三讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题5.2 一元一次方程的应用（举一反三讲义） 【浙教版2024】 【题型1 配套问题】 3 【题型2 工程问题】 6 【题型3 营销问题】 10 【题型4 分段计费问题】 14 【题型5 球赛积分问题】 19 【题型6 行程问题】 24 【题型7 利息问题】 28 【题型8 年龄问题】 30 【题型9 古代数学问题】 33 【题型10 方案决策问题】 36 知识点1 列方程解应用题的步骤 审：弄清已知什么，求什么及其数量关系； 找：找出能表示题目全部含义的一个数量关系； 设：设未知数，可根据已知和所求选择直接假设或间接假设； 列：根据相等关系列出方程； 解：解方程； 检：检验求得的解是否正确及其是否符合实际意义； 答：写出答案． 知识点2 分析问题中的等量关系 1. 逐步列式法：例如，的2倍比大5．首先写出“的2倍”，即，它比大5，那么“大－小＝5”，即． 2. 列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量． 3. 画图分析法：用图形表示题目中的数量关系．例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系． 知识点3 常见问题中的等量关系 1. 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a． 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； （3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润＝售价－进价；②；③售价＝进价×（1＋利润率）． （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×． 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实 行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同． 5. 球赛积分问题 点相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； （2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 6. 行程问题 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． （1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． （2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 7. 利息问题 （1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)． （2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）． 8. 年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键． 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式； （2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策． 【题型1 配套问题】 【例1】在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人，女生26人 (2)不配套；从男生中抽调4人去支援女生 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设七年级2班有女生人，根据七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，列出方程进行求解即可； （2）设从男生中调y人去支援女生，根据一个筒身配两个筒底，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解∶ 设七年级2班有女生人，则有男生人． 由题意，得 解得： ∴， 答：七年级（2）班有男生24人，女生26人． （2）男生每小时剪出筒底数为：(个) 女生每小时剪出筒身数为 (个) 因为，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套． 设从男生中调y人去支援女生，根据题意： 得， 解得∶ 答：应从男生中抽调4人去支援女生，才能使剪出的筒身筒底刚好配套． 【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【答案】(1)安排木材制作桌面，则安排制作桌腿 (2)每张餐桌的进价是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意列方程并解方程即可解决，设用x块木料生产桌子，根据使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）列方程解决即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子． 由题意得：． ． ． ． 答：用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子． 【变式1-3】（24-25七年级上·云南昭通·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有50名工人，每人每天平均生产65个支架或120套脚踏板．应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ 【答案】分配24人生产支架，26人生产脚踏板，每天生产1560套太空漫步器 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设分配人生产架子，则分配人生产脚踏板，根据每天的生产的架子和脚踏板恰好配套，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设分配人生产架子，则分配人生产脚踏板， 由题意得，， 解得：， ， ， 答：分配24人生产支架，26人生产脚踏板，每天生产1560套太空漫步器． 【题型2 工程问题】 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作8天才能完成该工程； (2)甲、乙两队各获得工程款万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可． 【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为天， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作8天才能完成该工程； （2）解：由（1）知乙队完成工作量，则甲队也完成工作量， 按比例分配得甲队获得工程款万元，乙队获得工程款万元， 答：甲、乙两队各获得工程款万元． 【变式2-2】（24-25七年级上·山东日照·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，还多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)若设每个排污治理点需铺设的管道长度为米， ①则甲队共铺设管道________米，乙队共铺设管道________米．（用含的式子表示） ②求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道， 方案一：全部由甲队安装； 方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）． 请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 【答案】(1)①； ②120米 (2)方案一 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，分别求出选择各方案所需总费用． （1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，根据每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用工作时间=工作总量÷每队每天完成的工作量，可分别求出选择各方案所需时间，利用总费用=每名工人每天所需费用×该队人数×工作时间，可分别求出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米， ①则甲队共铺设管道米，乙队共铺设管道米， 故答案为：； 根据题意，得， 解得：， 所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米． （2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数：． 方案一需要天数：． 方案一需要费用：． 每名乙队工人每天铺设管道米数：． 方案二需要费用天数：． 方案二需要费用：． 因为， 所以，应选择方案一． 【变式2-3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 【答案】(1)12（天） (2)5天 (3)31500元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出乙公司单独完成此工程所需时间，再利用甲，乙公司同时获批合作完成所需时间甲，乙两公司的工作效率之和，即可求出结论； （2）乙公司还需要天可以完成此工程，利用甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量＝工程总量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由甲，乙两家公司每天的雇佣费用间的关系，可求出甲，乙两家公司每天的雇佣费用，再利用完成此工程的总费用=甲公司每天的雇佣费用乙公司每天的雇佣费用，即可求出结论． 【详解】（1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天， 根据题意得：， 解得：， （天）， （天）， 答：如果甲，乙公司同时获批合作完成，需要12天完成； （2）乙公司还需要天可以完成此工程， 根据题意得：， 解得：， 答：乙公司还需要5天可以完成此工程； （3）乙公司每天的雇佣费用为（元）， 甲公司每天的雇佣费用为（元） （元） 答：完成此工程的总费用为31500元． 【题型3 营销问题】 【例3】某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 【答案】(1)购进商品的数量为100件 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件，根据400件商品的花的费用为10000元，列出方程，解方程即可； （2）根据销售A，B两种商品共获利2125元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件， 依题意得， 解得：， （件）， 答：购进商品的数量为100件，则购进商品的数量为300件； （2）解：商品售出，即（件），剩余（件）， 商品售出，即（件），剩余（件）， 剩余的商品都参加了促销活动，即促销活动卖出商品75件，赠送商品75件，再剩下的125件商品以优惠全部卖出， 依题意得：， 整理得， 即， 解得． 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【答案】(1)篮球的进价为元，足球的进价为元 (2)购进篮球个，购进足球个 (3)元 【分析】（）设足球的价格为元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意求出单个篮球和足球的利润，进而列出方程解答即可求解； （）分别求出活动后单个篮球和足球的利润，进而根据题意列出算式计算即可； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元，足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元，单个足球的利润为元， ∴， 解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； （3）解：由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 【变式3-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）2024年2月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元，已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵10元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． (1)求每个A款书包和B款书包的进价； (2)在信息二中，B款书包实际销售时打多少折出售？ 【答案】(1)每个款书包为50元，则B款书包为60元 (2)八折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个A款书包的进价是x元，则每个B款书包的进价是元，利用总价单价数量，结合“商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个A款书包的进价），再将其代入中，即可求出每个B款书包的进价； （2）设B款书包实际销售时打a折出售，利用利润售价进价，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个A款书包为元，则B款书包为元 由题意可得： 解得：， ， 答：每个款书包为50元，则B款书包为60元； （2）解：设B款书包实际销售时打折出售 由题意可得： 解得：． 答：在信息二中，B款书包实际销售时打八折出售． 【变式3-3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 【答案】(1)每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元 (2)①到甲商场购买装备所花的费用为：元，到乙商场购买装备所花的费用为：元；②在甲商场购买的足球更多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为元，根据买一套队服和一个足球共需花费180元，列出方程，解方程即可； （2）①根据题意分别列出代数式即可； ②根据总费用分别列出方程，然后解方程，求出m的值，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为元，根据题意得： ， 解得， ∴， 答：每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元； （2）解：①到甲商场购买装备所花的费用为： 元， 到乙商场购买装备所花的费用为： 元； ②当时，解得：； 当时，解得：； 因为购买足球的数量为整数，所以最大可取， 因为， 所以在甲商场购买的足球更多． 【题型4 分段计费问题】 【例4】某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 【答案】(1)小华家5月份的用电量是度 (2)当时，小华家该月用电量属于第一档；当时，小华家该月用电量属于第二档；当时，小华家该月用电量属于第三档． 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示用电量在某一档时的电费是解题的关键． （1）先计算出用电度和用电度的电费分别为元和元，可知小华家月份的用电量大于度而小于度，设小华家月份的用电量是度，可列方程，解方程求出的值即可； （2）由（1）可知，，则该月用电量为第一档；，则该月用电量为第二档；，则该月用电量属于第三档，由此即可确定小华家该月用电量属于第几档． 【详解】（1）解：元，元， 用电度和用电度的电费分别为元和元， ， 小华家月份的用电量大于度而小于度， 设小华家月份的用电量是度， 根据题意得， 解得， 答：小华家月份的用电量是度． （2）由（1）可知，当时，小华家该月用电量属于第一档； 当时，小华家该月用电量属于第二档； 当时，小华家该月用电量属于第三档． 【变式4-1】（24-25九年级上·福建南平·期中）某小区停车场24小时开放，根据车流量情况和汽车驶入和离开的时段分段收费，如图所示： 停车时段 收费单价 15元/时（最高收取费用80元） ~次日 5元/时（最高收取费用30元） 备注：停车时间10分钟内不收取费用，超过10分钟且未满1小时按照1小时收费，以此类推，如∶停车时间为1小时10分钟则按照2小时收费． (1)小明某日汽车驶入小区停车场a（a为整数）小时，在当日的时间段内离开，用含a的代数式表示小明汽车的停车费用． (2)若小明此次的停车费用为95元，请你估计小明的汽车离开的时间？ 【答案】(1) (2)~分 【分析】此题考查了列代数式和一元一次方程的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，小明汽车的停车费用为． （2）由题意可知，令， 所以，． （小时）， 答：小明汽车离开的时间段为~分． 【变式4-2】某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表． 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500～1000元的部分 60 超过1000～3000元的部分 80 …… …… (1)若某人住院的医疗费是950元，那么此人报销所得金额是多少元? (2)若某人的住院治疗费用报销所得金额是1580元，求此人住院的医疗费． 【答案】(1)180元 (2)2600元 【分析】（1）住院花去医疗费950元，所报销的金额表是报销超出500元的，据此计算； （2）运用已知条件得出此人的住院医疗费，设此人的医疗费为元，然后列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：（元）； 故此人能得到保险公司报销的金额是180元； （2）设此人的医疗费为元． 如果医疗费是3000元，报销金额就是（元）； 如果医疗费是1000元，报销金额就是（元）， 所以此人住院的医疗费， 报销金额， 解得． 所以此人住院的医疗费是2600元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题． 【变式4-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人去水果批发市场采购苹果，他看中了两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量不超过1000千克，按全部零售价的92%优惠；批发数量超过1000千克不超过2000千克，按全部零售价的90%优惠；超过2000千克的按全部零售价的88%优惠． B家的规定如下表： 数量范围（千克） 不超过500部分 超过500，但不超过1500的部分 超过1500，但不超过2500的部分 超过2500的部分 价格（元） 售价的95% 零售价的85% 零售价的75% 零售价的70% 【表格说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2100千克，则总费用 (1)如果他批发600千克苹果，请计算出他在家、B家批发各需要多少元？ (2)如果他批发千克苹果，则他在家批发需要________元，在家批发需要________元（用含的代数式表示）； (3)现在他要批发10956元苹果，应该选择哪一家水果店？请说明理由． 【答案】(1)在家批发需要3312元，在家批发需要3360元 (2)， (3)选择家水果店，理由见解析 【分析】此题考查了列代数式；一元一次方程的应用解题的关键是学生要利用商家的优惠政策，读懂政策，按政策计算出你批发的总钱数进行比较． （1）家批发需要费用：质量单价；家批发需要费用：单价单价；把相关数值代入求解即可； （2）把代入（1）得到的式子求值即可； （3）把10956元代入（2）的代数式得出一元一次方程求解即可比较哪家划算． 【详解】（1）解：如果在家批发，则 （元； 如果在家批发，则 （元． 答：在家批发需要3312元，在家批发需要3360元． 故答案为：3312，3360； （2）解：如果他批发千克苹果， 在家批发需要（元； 在家批发需要 （元． 故他在家批发需要元，在家批发需要元． 故答案为：，； （3）解：要批发10956元苹果，在A、B两家水果店购买的苹果数量大于2000千克，小于2500千克； 选择家水果店，理由如下： 在家批发， ， 在家批发， ． 所以选择家水果店． 【题型5 球赛积分问题】 【例5】（24-25六年级下·山东烟台·期中）某次足球联赛的积分规则是：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．本次联赛中，已知A队在前25场比赛中共积52分，且胜的场数是负的场数的5倍． (1)设A队在前25场比赛中负x场，请用含x的式子将下表填写完整； A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 _______ _______ 平 _______ _______ 负 0 总计 25 52 (2)求A队在前25场比赛中，胜、平、负的场数各是多少？ 【答案】(1)填表见解析 (2)胜15场，平7场，负3场 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式，是解题的关键： （1）根据胜的场数是负的场数的5倍，得到胜场数，再用总数减去胜场数减去负场数，得到平场数，再根据胜一场得3分，平一场得1分，求出胜场积分和平场积分即可； （2）根据A队在前25场比赛中共积52分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，填表如下： A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 平 负 0 总计 25 52 （2）解：根据题意，得 解这个方程，得 ，． 因此，A队胜15场，平7场，负3场． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）某中学七年级各班举行篮球比赛，前四名班级的积分信息如下表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 m 3 五班 8 5 3 n 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积 分，负一场积 分； (2)请直接写出：m= ，n= ； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． 【答案】(1)2，1 (2) (3)该班级胜2场 (4)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】（1）由第一名即可求出胜一场的得分，由最后一名即可求出负一场的得分； （2）由（1）所求胜一场的得分和负一场的得分即可求出m和n的值； （3）设该班胜场次数为场，则负场次数为场，根据题意列出关于的等式，解出即可． （4）设该班级胜场，则负场，根据题意列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）2，1 （2）m= 15 n= 13 （3）解：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解这个方程，得 经检验，符合题意 答：该班级胜2场 （4）他的说法不正确 理由：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解这个方程，得 因为胜的场次不可能为负数，所以小明的说法不正确． 【变式5-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了4个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 92 C 15 5 60 D 14． 6 52 根据表中的信息解答下列问题： (1)参赛者E得68分，求他答对了几道题？ (2)参赛者F说他答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，你认为可能吗？请你利用所学的一元一次方程知识来说明你的理由． 【答案】(1)16道 (2)不可能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由参赛者，的得分情况，可得出答对一题得5分，答错一题扣3分，设参赛者答对了道题，则答错了道题，利用得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）假设参赛者答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，设他答对了道题，则答错了道题，根据答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合答对题目数需为整数，可得出舍去，进而可得出假设不成立，即参赛者答对的题所得的分数不可能是答错题所扣分数的4倍． 【详解】（1）解：答对一题得（分， 答错一题扣（分． 设参赛者答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：． 答：参赛者答对了16道题； （2）解：参赛者答对的题所得的分数不可能是答错题所扣分数的4倍，理由如下： 假设参赛者答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，设他答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：， 又答对题目数需为整数， 舍去， 假设不成立， 即参赛者答对的题所得的分数不可能是答错题所扣分数的4倍． 【变式5-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）在某市排球“新年杯”比赛中，参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜制，积分规则如下，比赛中以或者取胜的球队积分3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 球队 场次 胜场 负场 总积分 教体 11 11 0 科技 11 10 1 28 工商 11 8 3 公安 11 24 (1)教体队11场胜场中仅有一场以取胜，则教体队的总积分为_________． (2)公安队积3分取胜的场次是积2分取胜的场次的3倍，且负场总积分为2分．总积分见上表，求公安队负场的场数． (3)科技队积3分的胜场数为奇数，则科技队积3分的胜场数为_______场；工商队积3分的胜场数比科技队积3分的胜场数少1场，且工商队负场总积分为3分，则工商队总积分为_______分 【答案】(1)32 (2)3场 (3)7；25 【分析】本题主要考查有理数混合运算应用，一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出方程． （1）根据题干中提供的信息，列式计算即可； （2）设公安队积2分取胜的场次为x场，则积3分取胜的场次是场，根据积分为24分列出方程，解方程即可； （3）设科技队积3分的胜场数为场，则积2分的胜场数为场，求出科技队胜的场次积分为：，根据m为奇数，总积分为28分，得出；求出工商队积3分的胜场数（场），工商队积2分的胜场数为（场），根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（分）， 即教体队的总积分为32分； （2）解：设公安队积2分取胜的场次为x场，则积3分取胜的场次是场，根据题意得： ， 解得：， 公安队负场的场数为：（场）． （3）解：设科技队积3分的胜场数为场，则积2分的胜场数为场， ∴科技队胜的场次积分为： ， ∵m为奇数，总积分为28分， ∴负的一场积分为1分， ∴胜的场次积分为：， ∴， 解得：； ∵工商队积3分的胜场数比科技队积3分的胜场数少1场， ∴工商队积3分的胜场数（场）， ∵工商队胜8场， ∴工商队积2分的胜场数为（场）， ∴工商队总积分为：（分）． 【题型6 行程问题】 【例6】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时 (2)经过5小时两车相距30千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，根据题意列出方程求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车相遇前，当两车相遇后，分别列出方程求解，再结合实际即可解答． 【详解】（1）解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意：， 解得， 千米/小时， 答：甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时； （2）解：设经过t小时两车相距30千米， ①两车相遇前： ； ②两车相遇后： ； ， 不合题意，舍去； 答：经过5小时两车相距30千米． 【变式6-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）从甲地到乙地，汽车原需行驶可到达，开通高速公路后，路程缩短了，车速平均每小时增加了，结果只需即可到达．求甲乙两地之间的高速公路的路程． (1)若设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速为______，根据两地前后的路程关系可列方程为______；若设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为______，根据两地前后的速度关系可列方程为______； (2)选择（1）中的一种设元方式解答问题． 【答案】(1)，，，； (2)选择，见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 如果设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是，可列方程为：；如果设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，可列方程为：； 根据的设元方式，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是， 根据题意可得：； 设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为， 根据题意可得：； 故答案为：，，，； （2）解：设汽车原来的车速为，则高速公路后的车速是， 由题意得：， 解得：， 甲乙两地之间的高速公路的路程为：， 答：甲乙两地之间的高速公路的路程为； 解：甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为， 由题意得：， 解得：， 答：甲乙两地之间的高速公路的路程为． 【变式6-2】一条河中有甲、乙两艘船，现它们同时从地顺流而行，乙船到地时接到通知要立即调头调头时间不计到，两地之间的地执行任务，甲船则继续顺流而行．已知甲、乙两艘船在静水中的速度都是千米时，水流速度是千米时，，两地的距离为千米．如果乙船由地经地再到地共用小时，那么乙船从地到地时，甲船驶离地多少千米？ 【答案】千米．  【详解】解：设地与地的距离为千米，  由题意，得，  解得，  则乙船从地到地时，甲船驶离地的距离为千米，  答：乙船从地到地时，甲船驶离地千米．  【变式6-3】（24-25六年级下·山东泰安·期中）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉和文化基因．为了让学生在校园内就能接触到丰富多彩的传统文化，某校开展学习传统文化技艺的活动——制作手工扇子．现委派张老师和李老师到材料批发市场购买所需物品． (1)两位老师相约从学校出发共同前往材料批发市场，但张老师因有事耽搁，故李老师骑自行车先行出发，20分钟后，张老师骑电动车前往，又走了20分钟后两人同时到达，已知电动车的平均速度比自行车平均速度多，求学校到材料批发市场的距离； (2)按照计划采买完成后，李老师和张老师同时出发返回学校，且使用的交通工具和行驶的平均速度均不变．张老师在返程5分钟后忽然想起忘记采购手工扇子所需的流苏穗，便立即骑车原路折返，并在材料批发市场停留6分钟进行采购． ①请通过计算说明张老师能否在李老师到达之前赶回学校？ ②求张老师返回批发市场过程中与李老师相遇的地点到批发市场的距离． 【答案】(1) (2)①能；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设自行车平均速度为，则电动车的平均速度为，根据题意列出方程，求出的值，再根据路程速度时间，即可解答； （2）①由题意得，李老师返回学校需要（分钟），张老师返回学校需要20分钟，再计算从李老师返回学校开始至张老师赶回学校所需的时间，与比较大小即可得出结论；②返程5分钟后，通过计算可知李老师距离批发市场，李老师与张老师的距离为，设再经过后，李老师与张老师相遇，根据题意列出方程，求出的值，再计算李老师此时与批发市场的距离，即可解答． 【详解】（1）解：设自行车平均速度为，则电动车的平均速度为， 由题意得，， 解得：， 则，， 答：学校到材料批发市场的距离为． （2）解：①∵李老师和张老师使用的交通工具和行驶的平均速度均不变， ∴李老师返回学校需要（分钟），张老师返回学校需要20分钟， ∴从李老师返回学校开始至张老师赶回学校一共需要（分钟）， ∵， ∴张老师能在李老师到达之前赶回学校； ②由（1）得，自行车平均速度为，则电动车的平均速度为， 返程5分钟后，李老师距离批发市场，张老师距离批发市场，此时李老师与张老师的距离为， 设再经过后，李老师与张老师相遇， 由题意得，， 解得：， ∴李老师行驶的距离为， ∴李老师此时到批发市场的距离为， 答：张老师返回批发市场过程中与李老师相遇的地点到批发市场的距离为． 【题型7 利息问题】 【例7】李阿姨购买了50000元某公司1年期的债券，1年后扣除利息的20%之后得到本息和为52000元，问这种债券的年利率是多少？ 【答案】5％． 【详解】试题分析：设这种债券的年利率为x元，根据题意列出50000（1＋ｘ）－50000×20％ｘ=52000，解出x即可． 试题解析:解设这种债券的年利率是ｘ依题意得：50000（1＋ｘ）－50000×20％ｘ=52000， 解得ｘ=0.05 答：这种债券的年利率是5％． 考点: 一元一次方程的应用． 【变式7-1】储户到银行存款可以获得一定的存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的． (1)将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时可以得到利息 元，扣除个人所得税后实际得到 元． (2)小明的爸爸把一笔钱按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时，扣除所得税后得本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？ 【答案】(1)187，149.6 (2)70000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据利息＝本金×利率×时间列式计算求出本金；根据税率为利息的可得扣除个人所得税后实际利息＝利息； （2）设这笔资金是x元，根据扣除所得税后得本金和利息共计71232元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：到期支取时可以得到利息：（元）， 扣除个人所得税后实际得到：（元）， 故答案为：； （2）解：设这笔资金是x元，根据题意得 ， 解得． 答：这笔资金是70000元． 【变式7-2】已知银行一年期定期储蓄的年利率为．所得利息要缴纳的利息税，例如：某人将100元按一年期的定期储蓄存入银行，到期储户纳税后所得利息的计算公式为：税后利息．已知某储户有一笔一年期的定期储蓄，到期纳税后，得到利息650元，问：该储户存入了多少本金？ 【答案】25000元 【分析】设该储户存入了本金元，根据到期储户纳税后所得利息的计算公式，列出方程，即可求解． 【详解】解：设该储户存入了本金元，根据题意得： ， 解得：． 答：该储户存入了本金25000元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式7-3】某开发商按照分期付款的形式售房，小明家购买了一套总价为120万元的新房，购房时首付（第一年）款40万元，从第二年起，以后每年应付房款为5万元与上一年剩余欠款的利息之和．已知剩余欠款的年利率为，问： (1)小明家第二年需缴房款多少万元？ (2)第几年小明家需缴房款万元？ 【答案】(1)9万元 (2)第11年 【分析】（1）根据题意用第一年剩余欠款的利息加5即可求出第二年需缴房款的钱数； （2）设第x年小明需缴放款6.75万元，用含有x的式子表示出第x年缴房款的钱数，列方程求解x即可． 【详解】（1）解：（万元）， （万元）． 答：小明家第二年需缴房款9万元． （2）解：设第x年小明需缴放款6.75万元，根据题意得： ， 解得：， 答：第11年小明家需缴房款6.75万元． 【点睛】本题考查利用一元一次方程解决实际问题，用含有x的式子表示出第x年缴房款的钱数是解决本题的关键． 【题型8 年龄问题】 【例8】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）丢番图（）是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，终年仅及其父之半便入黄泉．悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．——出自《希腊诗文选》（）第126题 根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子去世时丢番图的年龄． 【答案】(1)丢番图的寿命为84岁 (2)丢番图开始当爸爸时的年龄为38岁 (3)儿子去世时丢番图的年龄为80岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的减法应用，有理数的乘法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设丢番图的寿命为岁，再结合题干条件进行列式计算，即可作答． （2）由（1）得丢番图的寿命为84岁，再列式进行计算，即可作答． （3）因为又过四年，他也走完了人生的旅途，所以列式计算（岁），即可作答． 【详解】（1）解：设丢番图的寿命为岁， 依题意，得， 解得， 答：丢番图的寿命为84岁； （2）解：（岁）， 答：丢番图开始当爸爸时的年龄为38岁． （3）解：依题意，（岁）， 答：儿子去世时丢番图的年龄为80岁． 【变式8-1】（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 【答案】年后，小郑的年龄是妈妈的一半 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解题的关键．设年后，小郑的年龄是妈妈的一半，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设年后，小郑的年龄是妈妈的一半， 根据题意得： 答：年后，小郑的年龄是妈妈的一半． 【变式8-2】（24-25六年级下·山东青岛·期中）有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 【答案】(1)父亲现在的年龄为56岁 (2)8年 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设现在儿子岁，根据父子年龄差始终不变列方程求解即可； （2）设再过年父子两人可以称为“百岁父子”，根据父子两人年龄和为100岁列方程求解即可． 【详解】（1）解：设现在儿子岁，则父亲岁． 根据题意，得， 解得， 答：父亲现在的年龄为56岁． （2）解：设再过年父子两人年龄和为100岁． 则 解得 答：再求再过8年成为“百岁父子”． 【变式8-3】（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）根据所学的数轴知识，解答下面的问题： (1)知识呈现：在数轴上有A，B两个点，如图1所示，A点表示的数是__________；B点表示的数是__________． (2)知识迁移，如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为40；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可得这根木棒的长为__________； ②图中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________． (3)知识应用：由（2）中①、②的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，玲玲去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了．哈哈！”请问爷爷现在多少岁了？ 【答案】(1)；3 (2)①11，②18， (3)70岁 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）①木棒移动2次，最左端和最右端的距离是木棒长的3倍，设木棒长度为，列方程，求值；根据数轴，A点在7的右侧11个单位长度，可以求出A点的数值为18，B点在A点右侧11个单位长度，也可以求出B点的数值． （3）设年龄差为x岁，仿照（2）列方程，求解，得出年龄即可． 【详解】（1）解：由数轴上点的位置可知，点A表示的数是，点B表示的数是3， 故答案为：；3； （2）解：①设木棒长度为， 由题意可得：， 解得． 故答案为：11． ②点A表示的数是：， 点B所表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：借助数轴，把玲玲和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为， 你若是我现在这么大，可看做点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为， 设年龄差为x岁， 得：， 解得， ∴玲玲的年龄即点A的值为：岁，爷爷的年龄即点B的值为：岁， 故玲玲现在的年龄为15岁，爷爷现在的年龄为70岁． 【题型9 古代数学问题】 【例9】我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房”，诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠；若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【答案】(1)该店有客房4间，到了63名房客 (2)诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列出方程求解是解题的关键． （1）设该店有客房x间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房”，列方程求解即可； （2）根据题意得至少需要16间客房，按照优惠方式分别计算订16间房和20间房，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该店有客房x间， 由题意得，， 解得， ∴（人）， 答：该店有客房8间，到了63名房客； （2）解：若每间房最多入住4人，得，则至少需要16间客房， ∵不低于10间但低于20间，给予九折优惠， ∴订16间房需要付（钱）， ∵等于20间或是超过20间的，给予七折优惠， ∴订20间房需要付（钱）， ∵， ∴诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算． 【变式9-1】（24-25七年级上·福建福州·期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，此专著中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5文钱，则相差45文钱；若每人出7文钱，则仍然相差3文钱，求买羊的人数和这头羊的价格． 【答案】买羊的人数为21人，这头羊的价格是150文 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设有x人买羊，根据羊的价格不变，即可列出方程求解． 【详解】解：设有x人买羊，则这头羊的价格是文， 根据题意得：， 解得：， ， 答：买羊的人数为21人，这头羊的价格是150文． 【变式9-2】在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设塔的顶层有盏灯，根据“从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设塔的顶层有盏灯， 由题意得：， 解得：， 塔的顶层有盏灯． 【变式9-3】我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 【详解】①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②解：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 【题型10 方案决策问题】 【例10】小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受． 优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张． 优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折． 小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元． (1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？ (2)小麦如何付款最省钱？ 【答案】(1)优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折 (2)小麦应买3张代金券最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，根据锅底费用+菜品的费用列方程，解方程即可求解； （2）计算选用优惠方式A的费用，与优惠方式B比较即可求解． 【详解】（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折， 由题意得， 解得， 答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折； （2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款 (元）； 若买2张代金券，需要付款（元）； 若买3张代金券，需要付款（元）； 因为， 所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元； 优惠方式B：需付182元， 故小麦应买3张代金券最省钱． 【变式10-1】（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生； (2)购买团体票的方式买票更省钱，见解析，能节省35元钱． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，读懂题意、列出方程和算式是解题的关键． （1）设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）购买15张团体票需元，再与350比较即可解答． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生， 根据题意得：，解得：， ∴（人）． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：若购买15张团体票，需（元）， ∵， ∴购买团体票的方式买票更省钱，能节省35元钱． 【变式10-2】（24-25七年级上·河北保定·期末）我校体育组决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价8元，羽毛球拍每副定价80元、现两家商店都在搞促销活动：甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若体育组需购副球拍，300个羽毛球．根据题意完成下列问题． (1)购买方案一：全部到甲商店购买，需付款______元；购买方案二：全部到乙商店购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两种方案所需费用相等？ (3)当，请根据甲、乙两商店的促销信息，判断是否有比（1）中两个方案更优惠的购买方法，如果有，写出方案并列式求出所需费用；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)30 (3)当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和一元一次方程，是解题的关键： （1）根据两种优惠方案，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球，求出费用即可． 【详解】（1）解：由题意，得：到甲商店购买，需付款（元） 到乙商店购买，需付款：（元） 故答案为：，； （2）由题意，得： 解得： 故当时，两种方案所需费用相等； （3）有；去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球 当时：方案一费用： 元 方案二费用为：元 当去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球时，所需费用为：元 答：当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元． 【变式10-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【答案】(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 一元一次方程的应用（举一反三讲义） 【浙教版2024】 【题型1 配套问题】 3 【题型2 工程问题】 4 【题型3 营销问题】 5 【题型4 分段计费问题】 7 【题型5 球赛积分问题】 8 【题型6 行程问题】 10 【题型7 利息问题】 11 【题型8 年龄问题】 12 【题型9 古代数学问题】 13 【题型10 方案决策问题】 14 知识点1 列方程解应用题的步骤 审：弄清已知什么，求什么及其数量关系； 找：找出能表示题目全部含义的一个数量关系； 设：设未知数，可根据已知和所求选择直接假设或间接假设； 列：根据相等关系列出方程； 解：解方程； 检：检验求得的解是否正确及其是否符合实际意义； 答：写出答案． 知识点2 分析问题中的等量关系 1. 逐步列式法：例如，的2倍比大5．首先写出“的2倍”，即，它比大5，那么“大－小＝5”，即． 2. 列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量． 3. 画图分析法：用图形表示题目中的数量关系．例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系． 知识点3 常见问题中的等量关系 1. 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a． 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； （3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润＝售价－进价；②；③售价＝进价×（1＋利润率）． （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×． 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实 行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同． 5. 球赛积分问题 点相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； （2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 6. 行程问题 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． （1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． （2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 7. 利息问题 （1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)． （2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）． 8. 年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键． 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式； （2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策． 【题型1 配套问题】 【例1】在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【变式1-3】（24-25七年级上·云南昭通·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有50名工人，每人每天平均生产65个支架或120套脚踏板．应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ 【题型2 工程问题】 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【变式2-2】（24-25七年级上·山东日照·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，还多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)若设每个排污治理点需铺设的管道长度为米， ①则甲队共铺设管道________米，乙队共铺设管道________米．（用含的式子表示） ②求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道， 方案一：全部由甲队安装； 方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）． 请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 【变式2-3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 【题型3 营销问题】 【例3】某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【变式3-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）2024年2月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元，已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵10元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． (1)求每个A款书包和B款书包的进价； (2)在信息二中，B款书包实际销售时打多少折出售？ 【变式3-3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 【题型4 分段计费问题】 【例4】某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 【变式4-1】（24-25九年级上·福建南平·期中）某小区停车场24小时开放，根据车流量情况和汽车驶入和离开的时段分段收费，如图所示： 停车时段 收费单价 15元/时（最高收取费用80元） ~次日 5元/时（最高收取费用30元） 备注：停车时间10分钟内不收取费用，超过10分钟且未满1小时按照1小时收费，以此类推，如∶停车时间为1小时10分钟则按照2小时收费． (1)小明某日汽车驶入小区停车场a（a为整数）小时，在当日的时间段内离开，用含a的代数式表示小明汽车的停车费用． (2)若小明此次的停车费用为95元，请你估计小明的汽车离开的时间？ 【变式4-2】某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表． 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500～1000元的部分 60 超过1000～3000元的部分 80 …… …… (1)若某人住院的医疗费是950元，那么此人报销所得金额是多少元? (2)若某人的住院治疗费用报销所得金额是1580元，求此人住院的医疗费． 【变式4-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人去水果批发市场采购苹果，他看中了两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量不超过1000千克，按全部零售价的92%优惠；批发数量超过1000千克不超过2000千克，按全部零售价的90%优惠；超过2000千克的按全部零售价的88%优惠． B家的规定如下表： 数量范围（千克） 不超过500部分 超过500，但不超过1500的部分 超过1500，但不超过2500的部分 超过2500的部分 价格（元） 售价的95% 零售价的85% 零售价的75% 零售价的70% 【表格说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2100千克，则总费用 (1)如果他批发600千克苹果，请计算出他在家、B家批发各需要多少元？ (2)如果他批发千克苹果，则他在家批发需要________元，在家批发需要________元（用含的代数式表示）； (3)现在他要批发10956元苹果，应该选择哪一家水果店？请说明理由． 【题型5 球赛积分问题】 【例5】（24-25六年级下·山东烟台·期中）某次足球联赛的积分规则是：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．本次联赛中，已知A队在前25场比赛中共积52分，且胜的场数是负的场数的5倍． (1)设A队在前25场比赛中负x场，请用含x的式子将下表填写完整； A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 _______ _______ 平 _______ _______ 负 0 总计 25 52 (2)求A队在前25场比赛中，胜、平、负的场数各是多少？ 【变式5-1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）某中学七年级各班举行篮球比赛，前四名班级的积分信息如下表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 m 3 五班 8 5 3 n 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积 分，负一场积 分； (2)请直接写出：m= ，n= ； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． 【变式5-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了4个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 92 C 15 5 60 D 14． 6 52 根据表中的信息解答下列问题： (1)参赛者E得68分，求他答对了几道题？ (2)参赛者F说他答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，你认为可能吗？请你利用所学的一元一次方程知识来说明你的理由． 【变式5-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）在某市排球“新年杯”比赛中，参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜制，积分规则如下，比赛中以或者取胜的球队积分3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 球队 场次 胜场 负场 总积分 教体 11 11 0 科技 11 10 1 28 工商 11 8 3 公安 11 24 (1)教体队11场胜场中仅有一场以取胜，则教体队的总积分为_________． (2)公安队积3分取胜的场次是积2分取胜的场次的3倍，且负场总积分为2分．总积分见上表，求公安队负场的场数． (3)科技队积3分的胜场数为奇数，则科技队积3分的胜场数为_______场；工商队积3分的胜场数比科技队积3分的胜场数少1场，且工商队负场总积分为3分，则工商队总积分为_______分 【题型6 行程问题】 【例6】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【变式6-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）从甲地到乙地，汽车原需行驶可到达，开通高速公路后，路程缩短了，车速平均每小时增加了，结果只需即可到达．求甲乙两地之间的高速公路的路程． (1)若设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速为______，根据两地前后的路程关系可列方程为______；若设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为______，根据两地前后的速度关系可列方程为______； (2)选择（1）中的一种设元方式解答问题． 【变式6-2】一条河中有甲、乙两艘船，现它们同时从地顺流而行，乙船到地时接到通知要立即调头调头时间不计到，两地之间的地执行任务，甲船则继续顺流而行．已知甲、乙两艘船在静水中的速度都是千米时，水流速度是千米时，，两地的距离为千米．如果乙船由地经地再到地共用小时，那么乙船从地到地时，甲船驶离地多少千米？ 【变式6-3】（24-25六年级下·山东泰安·期中）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉和文化基因．为了让学生在校园内就能接触到丰富多彩的传统文化，某校开展学习传统文化技艺的活动——制作手工扇子．现委派张老师和李老师到材料批发市场购买所需物品． (1)两位老师相约从学校出发共同前往材料批发市场，但张老师因有事耽搁，故李老师骑自行车先行出发，20分钟后，张老师骑电动车前往，又走了20分钟后两人同时到达，已知电动车的平均速度比自行车平均速度多，求学校到材料批发市场的距离； (2)按照计划采买完成后，李老师和张老师同时出发返回学校，且使用的交通工具和行驶的平均速度均不变．张老师在返程5分钟后忽然想起忘记采购手工扇子所需的流苏穗，便立即骑车原路折返，并在材料批发市场停留6分钟进行采购． ①请通过计算说明张老师能否在李老师到达之前赶回学校？ ②求张老师返回批发市场过程中与李老师相遇的地点到批发市场的距离． 【题型7 利息问题】 【例7】李阿姨购买了50000元某公司1年期的债券，1年后扣除利息的20%之后得到本息和为52000元，问这种债券的年利率是多少？ 【变式7-1】储户到银行存款可以获得一定的存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的． (1)将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时可以得到利息 元，扣除个人所得税后实际得到 元． (2)小明的爸爸把一笔钱按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时，扣除所得税后得本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？ 【变式7-2】已知银行一年期定期储蓄的年利率为．所得利息要缴纳的利息税，例如：某人将100元按一年期的定期储蓄存入银行，到期储户纳税后所得利息的计算公式为：税后利息．已知某储户有一笔一年期的定期储蓄，到期纳税后，得到利息650元，问：该储户存入了多少本金？ 【变式7-3】某开发商按照分期付款的形式售房，小明家购买了一套总价为120万元的新房，购房时首付（第一年）款40万元，从第二年起，以后每年应付房款为5万元与上一年剩余欠款的利息之和．已知剩余欠款的年利率为，问： (1)小明家第二年需缴房款多少万元？ (2)第几年小明家需缴房款万元？ 【题型8 年龄问题】 【例8】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）丢番图（）是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，终年仅及其父之半便入黄泉．悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．——出自《希腊诗文选》（）第126题 根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子去世时丢番图的年龄． 【变式8-1】（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 【变式8-2】（24-25六年级下·山东青岛·期中）有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 【变式8-3】（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）根据所学的数轴知识，解答下面的问题： (1)知识呈现：在数轴上有A，B两个点，如图1所示，A点表示的数是__________；B点表示的数是__________． (2)知识迁移，如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为40；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可得这根木棒的长为__________； ②图中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________． (3)知识应用：由（2）中①、②的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，玲玲去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了．哈哈！”请问爷爷现在多少岁了？ 【题型9 古代数学问题】 【例9】我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房”，诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠；若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【变式9-1】（24-25七年级上·福建福州·期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，此专著中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5文钱，则相差45文钱；若每人出7文钱，则仍然相差3文钱，求买羊的人数和这头羊的价格． 【变式9-2】在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【变式9-3】我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【题型10 方案决策问题】 【例10】小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受． 优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张． 优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折． 小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元． (1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？ (2)小麦如何付款最省钱？ 【变式10-1】（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【变式10-2】（24-25七年级上·河北保定·期末）我校体育组决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价8元，羽毛球拍每副定价80元、现两家商店都在搞促销活动：甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若体育组需购副球拍，300个羽毛球．根据题意完成下列问题． (1)购买方案一：全部到甲商店购买，需付款______元；购买方案二：全部到乙商店购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两种方案所需费用相等？ (3)当，请根据甲、乙两商店的促销信息，判断是否有比（1）中两个方案更优惠的购买方法，如果有，写出方案并列式求出所需费用；如果没有，请说明理由． 【变式10-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $