精品解析：上海市民办立达中学2024-2025学年八年级下学期4月练习数学试题

2024学年初二年级数学即时作业 （时间：100分钟） 一．选择题 1. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A B. C. D. 2. 下列事件中，随机事件的是（ ） A 直线与直线有公共点 B. 10位学生分3组，至少有一组人数超过3 C. 任取一个实数，它的平方小于零 D. 掷一次骰子，向上的一面是6点 3. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平行向量的方向相同 B. 方向相反的向量是相反向量 C. 平行向量的方向相反 D. 方向相反的向量是平行向量 5. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 6. 已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①、②均正确 D. ①、②均错误 二．填空题 7. 方程的根是______． 8. 方程组的解只有一组，则的取值范围是______． 9. 将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是_____．（填序号） （1）图形面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 10. 一个四边形各边长为，另一个和它相似的四边形最长边为，则四边形最短边长为___________． 11. 如果一个多边形的各个外角都是，那么这个多边形的内角和是_________度． 12. 如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米． 13. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为____． 14. 如图，平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角均为120度，则_______． 15. 若一次函数的图象经过一、二、四象限，且关于的分式方程有非负整数解．则所有满足条件的的值的和是____． 16. 从1，2，3这三个数字中任意抽取两个，其和是偶数的概率是________． 17. 已知四边形中，对角线相互垂直，，顺次联结这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于_______． 18. 如图，在矩形中，，，平分交于点，为线段上一动点，动点，分别在边，上，且，连接，．则最小值是_____． 三．解答题 19. 已知：． （1）求代数式的值： （2）当时，求的值． 20. （1）解方程：； （2）解方程组：． 21. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 如图，中，与，于，是三条高的交点，已知，，，求的长度（用含，，的代数式表示） 23. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． （1）试用向量、、表示向量：______； （2）写出图中所有与互为相反向量的向量：______； （3）求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 24. 如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位A、B、C、D．小明和小张一同报名参加了这项桌游． （1）小明抽中A座位的概率为______； （2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小明和小张成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 25. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 　 　 　 （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究： ①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； （3）问题解决： 如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG，GE，已知AC=2，AB=5．求GE的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年初二年级数学即时作业 （时间：100分钟） 一．选择题 1. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的意义可对A进行判断；通过算术平方根的概念可对B进行判断；通过乘方的意义可对C，D进行判断． 【详解】解：A.根据分式的意义，x为非零数时，故选项A中的方程无实数根； B. ，原方程没有实数解； C. ，原方程没有实数解； D. 移项得，，两边开立方得，，故方程的解为； 故选：D． 【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 2. 下列事件中，随机事件的是（ ） A. 直线与直线有公共点 B. 10位学生分3组，至少有一组人数超过3 C. 任取一个实数，它的平方小于零 D. 掷一次骰子，向上的一面是6点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、直线与直线不平行，所以它们有公共点，是必然事件，不符合题意； B、10位学生分3组，至少有一组人数超过3，是必然事件，不符合题意； C、任取一个实数，它的平方小于零，是不可能事件，不符合题意； D、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件，符合题意； 故选：D． 3. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平行向量的方向相同 B. 方向相反的向量是相反向量 C. 平行向量的方向相反 D. 方向相反的向量是平行向量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查向量的相关知识点，向量是一个抽象的概念，我们要仔细揣摩向量的含义及规律，认真读懂题干所给的条件，好好运用所给的已知条件，即可求得答案．根据平行向量可能同向或反向进行解答即可． 【详解】解：平行向量的方向相同或相反，方向相反的向量是平行向量，方向相同的向量是平行向量；相反向量的方向相反且长度相同，因此方向相反的向量不一定是相反向量，故D正确． 故选：D． 5. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 6. 已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①、②均正确 D. ①、②均错误 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形面积和周长公式求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 二．填空题 7. 方程的根是______． 【答案】x＝-2 【解析】 【分析】先把原方程移项，然后方程两边平方得到关于的一元二次方程，解方程即可. 【详解】， ， ， ， ， 解得，，把代入原方程， ，故x＝－2为原方程的解， ∵，若，则，故x＝1不合题意舍去， 故答案为：x＝－2． 【点睛】本题考查了无理方程，由于平方时容易产生增根，故需要验根. 8. 方程组的解只有一组，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件表示方程组的解，再求的范围． 【详解】解：， 由，得或， ，． 当时，代入得：， 原方程组的一组解为：， 当时，代入得：， 原方程只有一组解， 无解， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解，根据第一个方程，求得，是解题的关键． 9. 将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是_____．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【答案】（1）（2）（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故答案为：（1）（2）（4）． 10. 一个四边形各边长为，另一个和它相似的四边形最长边为，则四边形最短边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据对应边成比例可得相似比为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是相似图形， ∴相似比为， ∴四边形最短边长为， 故答案为： ． 11. 如果一个多边形的各个外角都是，那么这个多边形的内角和是_________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角与外角综合，根据正多边形外角和为360度，一个内角度数与一个外角的度数之和为180度求出正多边形的边数和一个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个多边形的各个外角都是， ∴这个多边形的边数为，每个内角的度数为， ∴这个多边形的内角和是， 故答案：． 12. 如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米． 【答案】13 【解析】 【分析】根据梯形的周长公式列式进行计算即可得到两底的和，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出中位线的长即可． 【详解】∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米， ∴两底的和为（厘米）， ∴这个梯形的中位线长为（厘米）， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了梯形的中位线等知识点，熟练掌握梯形的中位线求法是解题关键． 13. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键要熟练掌握菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 本题设，则，根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算，再计算的长． 【详解】解：设，则， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， 解得， 即，， 在中，， 在中，， 故答案为：． 14. 如图，平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角均为120度，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，线性向量的加减，掌握三角形法则是解题的关键．延长到T，使得，连接，根据题意可得是等边三角形，根据三角形法则可得，进而即可求解． 【详解】解：延长到T，使得，连接． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 若一次函数的图象经过一、二、四象限，且关于的分式方程有非负整数解．则所有满足条件的的值的和是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数图象经过的象限，求参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数的范围，先根据一次函数图象经过的象限，求出的范围，求出方程的解，根据方程的解的情况，确定整数的值，求和即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， ∴， ∵， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，且， ∴或， ∴或， ∴； 故答案为：． 16. 从1，2，3这三个数字中任意抽取两个，其和是偶数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其和是偶数的2种情况， ∴其和是偶数的概率是：． 故答案为． 17. 已知四边形中，对角线相互垂直，，顺次联结这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质可得四边形是平行四边形，再由对角线、相互垂直，可证得四边形是矩形，然后证明四边形是矩形，利用矩形的面积计算公式可得答案． 【详解】解：如图， 、、、分别为各边的中点，，， ，，， 四边形是平行四边形， 对角线、相互垂直， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：． 故答案为：4． 18. 如图，在矩形中，，，平分交于点，为线段上一动点，动点，分别在边，上，且，连接，．则的最小值是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，角平分线的定义，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 如图，在上取一点，使得，连接，过点N作于点H，证明四边形是矩形，结合全等三角形的判定与性质得，利用勾股定理求出，再根据可得结论 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，过点N作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵平分交于点， ∴ ∵， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ ∵，， ∴ 则 ∴ 故的最小值为13， 故答案为：13． 三．解答题 19. 已知：． （1）求代数式的值： （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【小问1详解】 解：设，则，，， 所以原式； 【小问2详解】 解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 20. （1）解方程：； （2）解方程组：． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解二元二次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，然后验根，即可作答． （2）先整理得，即或，再分别与结合进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， 则， ∴， 解得， 经检验：是原方程的增根，是原方程的根， ∴该方程的解是， （2） 由得， 则或， 解得或， 把代入， 得， 解得； 此时； 把代入， 得， 解得； 此时； ∴原方程的解为或． 21. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； （2）水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【解析】 【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案； （2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 小问1详解】 解：设乙种水果的进价是x元/千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则， 答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； 【小问2详解】 解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克， 由题意得：， ∵－1＜0， ∴y随a的增大而减小， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍， ∴， 解得：， ∴当时，y取最大值，此时，， 答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键． 22. 如图，中，与，于，是三条高的交点，已知，，，求的长度（用含，，的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 过点C作于点M，连结，，构造平行四边形，矩形，平行四边形，利用平行四边形的性质推知，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连结，过点C作于点M，连结，， ∵，， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵H是三条高的交点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 23. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． （1）试用向量、、表示向量：______； （2）写出图中所有与互为相反向量的向量：______； （3）求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 【答案】（1） （2）和 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）由，，，，代入即可； （2）由，可知，因此图中与互为相反向量的向量有和； （3）如图，作，，则向量即为所求． 【小问1详解】 解：∵，，， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴图中与互为相反向量的向量有和， 故答案：和； 【小问3详解】 如图， 向量即为所求 作，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则向量即为所求． 【点睛】本题考查平面向量三角形法则、四边形法则，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相反向量的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念． 24. 如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位A、B、C、D．小明和小张一同报名参加了这项桌游． （1）小明抽中A座位的概率为______； （2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小明和小张成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小张成为盟友的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小明抽中A座位的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中小明和小张成为盟友的结果有：（A，C），（B，D），（C，A），（D，B），共4种结果， ∴小明和小张成为盟友的概率为． 25. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 　 　 　 （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究： ①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； （3）问题解决： 如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG，GE，已知AC=2，AB=5．求GE的长度． 【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，证明见解析 （2）①，证明见解析；②四边形FMAN是矩形，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）①根据垂直的定义和勾股定理解答即可；②根据在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得，再根据△ABD和△ACE是等腰三角形，可得，再由（1）可得，，从而判定四边形FMAN是矩形； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）四边形ABCD是垂美四边形 连接AC、BD ∵ ∴点A在线段BD的垂直平分线上 ∵ ∴点C在线段BD的垂直平分线上 ∴直线AC是线段BD的垂直平分线 ∴ ∴四边形ABCD是垂美四边形； （2）①，理由如下 如图，已知四边形ABCD中，，垂足为E 由勾股定理得 ②四边形FMAN是矩形，理由如下 如图，连接AF ∵在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点 ∵△ABD和△ACE是等腰三角形 由（1）可得， ∵ ∴四边形FMAN是矩形； （3）连接CG、BE， ，即 在△AGB和△ACE中 ∵ ，即 ∴四边形CGEB是垂美四边形 由（2）得 ． 【点睛】本题考查了垂美四边形的问题，掌握垂直平分线的判定定理、垂直的定义、勾股定理、垂美四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $