精品解析：山东省日照市岚山区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024~2025学年度下学期期末质量检测 七年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若是方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 4. 下列调查方式合适的是（ ） A. 了解多岛海景区游客体验情况，采取抽样调查的方式 B. 审核一本书稿的错别字，采用抽样调查的方式 C. 检测某批次汽车的抗撞击能力，采用全面调查的方式 D. 了解全市初中生的体育爱好情况，采用全面调查的方式 5. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处， 交 于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元一次不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为选择合适的出行方式，数学小组的同学对时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（ ） A. 地铁出行所用时长受出发时刻影响较小 B. 若在之间出发，且需要40分钟以内到达，可选择公交或地铁出行 C. 若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则之前出发即可 D. 若出发，选择地铁出行最节省时间 10. 对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 的平方根是_______． 12. 如图，在一次跳远测试中，的长度就是跳远的成绩，其中的数学依据是______． 13. 若关于x的不等式mx＞m的解集是x＜1，则m的取值范围是_________． 14. 有65个数据，最大值为93，最小值为21，将数据适当分组，绘制成相应的频数直方图，若组距定为7，则组数为___________． 15. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是______． 16. 自行车轮胎若安装在后轮上行驶就要报废，若安装在前轮上，则行驶才报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮胎，那么应在自行车行驶里程为______时交换，可使两个轮胎同时报废． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 18. 如图，网格中的每个小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C三点均在格点上． （1）请建立合适的平面直角坐标系（在图中画出），使点B的坐标为，点C的坐标为；并写出A的坐标______； （2）将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的； （3）在（1），（2）的条件下，若线段AC上有一点，则平移后的对应点的坐标为______． 19. 如图，直线，相交于点，，． （1）求的度数； （2）过点画射线，并直接写出的度数． 20. 为了解某市初中生每天进行体育活动的时间情况，随机抽样调查了部分初中生，并将其每天体育活动时间作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 初中生每天体育活动时间频数分布表 时间（小时） 人数（频数） 频率 4 28 72 0.36 16 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______；样本中时间在范围的学生占调查总体的______%；表格中；______． （2）请补全频数分布直方图； （3）据了解，该市有10万名初中生，请估计该市初中生每天进行体育活动时间超过小时的人数． 21. 某家电专卖店销售A，B两种型号的空调，已知四、五月份的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台总 销售额/万元 四月 10 15 12 五月 13 18 15 （1）分别求两种型号空调的销售单价； （2）六月份进入空调销售高峰期，专卖店为提升销售额，决定对，两种型号空调分别推出“以旧换新”和打折促销优惠政策：每台旧空调可抵1200元换购一台型空调；每台型空调优惠．某公司计划购买台型空调，台型空调，公司现有旧空调若干（数量大于）可供换购，若购买资金为36000元，请问有几种购买方案？并写出所有可行的购买方案． 22. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 23. 如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． （1）方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； （2）已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下学期期末质量检测 七年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：选项A：，结果为整数，属于有理数． 选项B：是整数，属于有理数． 选项C：是分数形式，属于有理数． 选项D：是三次根号，因，，故介于和之间，且无法化简为整数或分数，属于无理数． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】确定出的符号，再根据平面直角坐标系中点的坐标特征，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 由，，可得点在第四象限． 故选D． 【点睛】此题考查了平方的非负性以及直角坐标系的性质，解题的关键是正确确定的符号，掌握平面直角坐标系的性质，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 3. 若是方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程中，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的概念，解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题的关键． 4. 下列调查方式合适的是（ ） A. 了解多岛海景区游客体验情况，采取抽样调查的方式 B. 审核一本书稿的错别字，采用抽样调查的方式 C. 检测某批次汽车的抗撞击能力，采用全面调查的方式 D. 了解全市初中生的体育爱好情况，采用全面调查的方式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据全面调查和抽样调查的适用情况判断各选项是否合理． 【详解】选项A：了解景区游客体验情况，游客数量多且流动性大，全面调查困难，适合采用抽样调查．正确． 选项B：审核书稿错别字需确保准确性，遗漏会影响质量，必须全面检查．抽样调查可能遗漏错误，故错误． 选项C：汽车抗撞击测试具有破坏性，全面调查会导致所有车辆损毁，应抽样检测．故错误． 选项D：全市初中生群体庞大，全面调查成本高、耗时长，适合抽样调查．故错误． 故选A． 5. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同位角的定义，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角，据此判断即可． 【详解】解：选项①②③中，∠1和∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； ④中，∠1和∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：B． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可． 【详解】A.由，两边同时加上b，可得，故A选项正确，符合题意； B. 由，两边同时减去c，得，故B选项错误，不符合题意； C. 由，当时，，当时，，当时，，故C选项错误，不符合题意； D.由 ，当时，，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处， 交 于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题关键在于掌握知识点的合理运用； 由折叠得到，，由平行线的性质，可得，进而求得，再由角的和即可解答． 【详解】解：由折叠得到， ∵ ∴，即： ∴． ∴ 故选：D． 8. 关于的一元一次不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，先分别解两个不等式，确定不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数m的范围． 【详解】解得： 解得： ∴不等式组的解集为： ∵该解集有3个整数解， ∴可能的整数为． ∴要满足恰好3个整数解，需满足： 故选D． 9. 从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为选择合适的出行方式，数学小组的同学对时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（ ） A. 地铁出行所用时长受出发时刻影响较小 B. 若在之间出发，且需要40分钟以内到达，可选择公交或地铁出行 C. 若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则之前出发即可 D. 若出发，选择地铁出行最节省时间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，根据题目要求读懂折线统计图中的信息进行求解是解决本题的关键． 根据折线统计图中的信息进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．根据统计图可得，地铁出行所用时长受出发时刻影响较小，A选项说法正确,故A不符合题意； B．根据统计图可得，若在之间出发，且需要40分钟以内到达，可选择公交或地铁出行，所以B选项说法正确，故B不符合题意； C．根据统计图可得，若选择地铁出行且需要30分钟以内到达，则之前出发即可，所以C选项说法不正确，故C符合题意； D．根据统计图可得，若出发，选择地铁出行最节省时间，所以D选项说法正确，故D不符合题意． 故选：C． 10. 对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 如图，在一次跳远测试中，的长度就是跳远的成绩，其中的数学依据是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段的性质．理解垂线段的性质是解题的关键． 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．利用垂线段最短的原理确定最合理的测量距离． 【详解】解：明确跳远测量的实际情况：在跳远运动中，运动员从起跳线起跳，落地点是一个不规则的位置，而我们要测量的是运动员从起跳线到落地点的距离，用来衡量跳远的乘积； 从起跳线（可看作一条直线）到落地点的连线中，过落地点向起跳线作垂线，垂足与落地点之间的线段（即）就是垂线段． 根据垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．也就是说在从落地点到起跳线的所有可能连线中，垂线段的长短是最短的．   故答案为：垂线段最短． 13. 若关于x的不等式mx＞m的解集是x＜1，则m的取值范围是_________． 【答案】m＜0## 【解析】 【分析】这是一个含有字母系数的不等式，仔细观察mx＞m，要想求得解集x＜1，需把m看作x的系数，然后运用不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵不等式mx＞m的解集为x＜1， ∴不等号的方向已改变， ∴m＜0． 故答案为：m＜0． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，不等号两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生变化． 14. 有65个数据，最大值为93，最小值为21，将数据适当分组，绘制成相应的频数直方图，若组距定为7，则组数为___________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图， 先求出数据的最大值和最小值的差，再除以组距，若结果不是整数，那么得到的结果进一，可得答案． 【详解】解：， ， 所以组数为11组． 故答案为：11． 15. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 由可得，再根据去绝对值，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴，即． 故答案为：． 16. 自行车轮胎若安装在后轮上行驶就要报废，若安装在前轮上，则行驶才报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮胎，那么应在自行车行驶里程为______时交换，可使两个轮胎同时报废． 【答案】1875 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设应在自行车轮胎车行驶里程达到时，交换前、后轮轮胎，再行驶，两个轮胎同时报废，根据两个轮胎同时报废时两个轮胎的磨损量均为1，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵后轮轮胎一般在行驶达到时报废，且每个新轮胎报废时总磨损量为1， ∴安装在后轮的一个轮胎每行驶的磨损量为； 同理，前轮轮胎一般在行驶达到时报废， ∴安装在前轮的一个轮胎每行驶的磨损量为； 设行驶时前后轮交换，然后再行驶两个轮胎同时报废．原后轮剩余的磨损量为，原前轮剩余的磨损量为，由题意可得， ． 即应在自行车行驶里程达到时，交换前、后轮轮胎，能使两个轮胎同时报废． 故答案为：1875． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，平方，立方根以及求不等式组解集．熟练掌握算术平方根，平方，立方根以及求不等式组解集是解题的关键． （1）利用算术平方根，平方，立方根的定义以及运算规则进行根式的混合运算； （2）先分别解两个不等式，然后取两个不等式解集的交集，并按要求在数轴上表示（注意空心圆圈表示不包含端点）． 【详解】解：（1） ； （2） 解①，得 解②，得 所以不等式的解集为 数轴表示如下： 18. 如图，网格中的每个小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C三点均在格点上． （1）请建立合适的平面直角坐标系（在图中画出），使点B的坐标为，点C的坐标为；并写出A的坐标______； （2）将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的； （3）在（1），（2）的条件下，若线段AC上有一点，则平移后的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，平面直角坐标系即为所求， （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点B的坐标为，点C的坐标为，建立平面直角坐标系，进而可得点A的坐标； （2）根据平移的性质即可将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，进而画出平移后的； （3）结合（2）根据点，可得平移后的对应点的坐标． 【小问1详解】 解：点A的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点， ∴平移后的对应点的坐标为， 故答案为：． 19. 如图，直线，相交于点，，． （1）求的度数； （2）过点画射线，并直接写出的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是关键． （1）根据对顶角相等得出，根据已知可得，进而根据平角的定义，即可求解； （2）分两种情况讨论，分别画出图形，结合图形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，． ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图，当在上方时， ∵， ∴ ∵ ∴ 如图，当在的下方时， ∵， ∴ ∵ ∴ 综上所述，或 20. 为了解某市初中生每天进行体育活动的时间情况，随机抽样调查了部分初中生，并将其每天体育活动时间作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 初中生每天体育活动时间频数分布表 时间（小时） 人数（频数） 频率 4 28 72 0.36 16 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______；样本中时间在范围的学生占调查总体的______%；表格中；______． （2）请补全频数分布直方图； （3）据了解，该市有10万名初中生，请估计该市初中生每天进行体育活动时间超过小时的人数． 【答案】（1）200；8；0.4 （2）见解析 （3）估计该市初中生每天进行体育活动时间超过1.5小时的人数为4.4万名 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，求样本容量，频数、频率与总数的关系，样本估计总体；正确理解频数、频率与总数的关系是解题的关键； （1）利用每天进行体育活动时间在内的频数与频率关系即可求得样本容量；根据时间在范围的学生的频数及所求样本容量即可求解；总数减去其它时间的频数即可求得时间在内的频数，进而求得m； （2）由（1）所求时间在内的频数，即可补充频数分布直方图； （3）该市10万名初中生与该市初中生每天进行体育活动时间超过1.5小时的百分比的积，即可求解． 【小问1详解】 解：样本容量为：； ； 的频数为（人）， ； 故答案为：200；8；0.4． 【小问2详解】 解：由（1）知，的频数为人， 补全条形统计图如图： 【小问3详解】 解：（万名）； 答：估计该市初中生每天进行体育活动时间超过小时的人数为万名． 21. 某家电专卖店销售A，B两种型号的空调，已知四、五月份的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台总 销售额/万元 四月 10 15 12 五月 13 18 15 （1）分别求两种型号空调的销售单价； （2）六月份进入空调销售高峰期，专卖店为提升销售额，决定对，两种型号空调分别推出“以旧换新”和打折促销优惠政策：每台旧空调可抵1200元换购一台型空调；每台型空调优惠．某公司计划购买台型空调，台型空调，公司现有旧空调若干（数量大于）可供换购，若购买资金为36000元，请问有几种购买方案？并写出所有可行的购买方案． 【答案】（1）型空调销售单价为6000元，型空调销售单价为4000元 （2）共有两种购买方案；方案一：购买型空调3台，型空调6台；方案二：购买型空调6台，型空调2台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次不定方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组和二元一次不定方程． （1）设型空调销售单价为元，型空调销售单价为元，根据表格找出等量关系式，列出相应的方程组，从而可以解答本题； (2)根据条件列出二元一次不定方程，求解所有满足条件的解，得出方案即可． 【小问1详解】 （1）设型空调销售单价为元，型空调销售单价为元，根据题意得 ， 解得： 答：型空调销售单价为6000元，型空调销售单价为4000元． 【小问2详解】 根据题意得：， 化简，得， 由题意可知，，都是正整数， 所以方程的所有正整数解为或， 所以共有两种购买方案；方案一：购买A型空调3台，B型空调6台；方案二：购买A型空调6台，B型空调2台． 22. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）x的值为30，75，120 【解析】 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等． （1）过点作，则，则，再由等量代换求解； （2）过点作，则，那么，再由，等量代换即可求解； （3）分“”、“”、“”三种情况，根据平行线的性质分别求出即可． 【详解】解：（1）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴数量关系为：； （2）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数量关系为：； （3）①当时， ∵，即， ∵， ∴， 又∵点C在的延长线上 ∴点C，B，E，D在同一条直线上， ∴， ∴； ②当时， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴； 综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 23. 如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． （1）方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； （2）已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解． 【答案】（1）②③ （2） （3）整数解一共有6个，分别是 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先求出不等式组的解集为，再结合“偏解方程”的定义，可得b得取值范围为，从而得到当b取得最大值1时，的值最大，的值最小，即可求解． 【小问1详解】 解：，解得：， ①当时，，则不能使成立， ∴方程不是不等式的“偏解方程”； ②当时，，则能使成立， ∴方程是不等式的“偏解方程”； ③当时，，则能使成立， ∴方程是不等式组的“偏解方程”； 故答案为：②③ 【小问2详解】 解： 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：解方程得：， ∵不等式组有解， ∴，且， ∴， ∵关于的方程是不等式组的“偏解方程”， ∴， 解得：， 综上，b得取值范围为， ∵不等式组的解集为， 当时，， ∴当b取得最大值1时，的值最大，的值最小， 此时不等式组的解集为，含有最少整数解． 此时整数解一共有6个，分别是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $