精品解析：广东省汕头市金平区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024~2025学年度第二学期八年级教学质量监测 数学试卷 说明：本试卷共4页，满分120分、考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 下列各数中，能使有意义的是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的有意义的条件．根据二次根式的有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 所以符合条件的只有A选项． 故选：A 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3. 某小组8名学生的中考体育测试成绩（单位：分，满分60分）依次为59，60，55，57，60，58，60，58，这组数据的众数是（　　） A. 55 B. 57 C. 58 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求众数，根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，统计各数值出现的次数即可确定众数． 【详解】将数据从小到大排列为：55，57，58，58，59，60，60，60． 统计各数值出现次数：55、57、59各1次，58出现2次，60出现3次． 出现次数最多是60， 故众数为60， 故选D． 4. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C D. ∶∶∶∶ 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 5. 一次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质．对于一次函数，当时，函数值随的增大而减小．根据这一性质，比较两点横坐标的大小即可判断对应函数值的大小关系． 【详解】解：一次函数中，所以随的增大而减小， 由点，可知， ． 故选：A． 6. 在平行四边形中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质，结合角度比例关系求解． 详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴设，， ∴， 解得． ∴． ∴． 故选：B． 7. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，熟知矩形、正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形具有的性质为对角线互相平分，对角线相等，四个角都是直角， 正方形具有的性质为对角线互相平分且垂直，对角线相等，四个角都是直角， 故选：A． 8. 已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 25 C. 7 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积． 【详解】依题意得：， ∴， 斜边长， 所以正方形的面积． 故选C． 考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质 点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 9. 如图，的顶点坐标分别为，，轴，，蒋沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 15 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平移的性质，根据平移性质先求出平移的距离，再根据勾股定理求出长，继而求出线段扫过的面积即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴在中，， ∴， ∴在函数中，当时，，即， ∴， ∴， ∴三角形平移距离为6个单位长度， ∴平移中扫过的面积为：． 故选：B． 10. 菱形的边长为4，，点G为的中点，以为边作菱形，其中点E在的延长线上，连接，点M为的中点，连接，则线段的长为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可知，可证是等边三角形，，可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和都是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴ ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴ 连接,交于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是解题的关键． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，直接根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 12. 正比例函数的图象经过点，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得：， 故答案为：． 13. 一个弹簧秤不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：cm）与所挂重物质量（单位：kg）的函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系，从而可求解． 【详解】解：弹簧总长y（单位：）关于所挂重物x（单位：）的函数关系式为， 故答案为：． 【点睛】此题考查函数解析式问题，关键是根据弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系解答． 14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点F，G是中点，若，，则的长为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理. 根据平行四边形的性质得出，，，证明，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵的平分线与边相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵G是中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，由矩形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，，由等边三角形的性质推出，，得到，推出，判定，推出，因此点F运动的路径是由，求出，得到的长，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点F运动的路径是， ∵， ∴， ∴， ∴点F运动的路径长是． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分．共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 已知：如图，是平行四边形的对角线上的两点，，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】连接BD，交AC于点O，根据平行四边形的性质可得，，从而得，进而即可得到结论． 【详解】证明：连接，交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴AF-AO=CE-CO，即． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 18. 【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【方法应用】：如图，在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积； （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】（1）30 （2）有，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理． （1）依据题意，直接代入海伦一秦九韶公式求解； （2）依据题意，先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴ ∴， ∴的面积为30； 【小问2详解】 解：由题意，∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 2025年央视春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，燃爆全球，广受好评．为调查观众对某创新节目的评价，组委会收集了50名现场观众和5000名线上观众的评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 8 8 线上 7.6 7 （1）直接写出，，的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）7.6，7，12 （2）2400人 （3）同意，因为线上观众群体样本容量大，更具有代表性 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、样本估计总体，统计图等知识点，理解相关知识是解决问题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义即可求得，结合扇形统计图中所占百分比即可求得； （2）利用总人数乘以不低于8分的百分比即可； （3）根据样本容量大更具有代表性即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意，得（分）， 根据中位线的定义，得应该在的7分范围内， 故中位数为（分）， 根据题意，得， 故， 故答案为：7.6，7，12； 【小问2详解】 解：根据题意，得（人）， 答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人； 【小问3详解】 解：同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性． 20. 如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重（）之间满足一次函数关系，若挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为． （1）求与之间的函数关系式； （2）当秤砣到秤纽的水平距离为时，求秤钩所挂物重． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据时的函数值即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为． 根据题意得，点满足此关系式． 所以， 解得； 所以与之间的函数关系式为； 小问2详解】 当时，， 解得， 所以当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为． 21. 如图，中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，结合，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点C作于点G．根据勾股定理得到，，由得到．在中，利用勾股定理得到、，再由可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵F是中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点C作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题情境】如图，在矩形中，． （1）【初步尝试】如图1，点P为边上一点，若点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，则___________； （2）【深入探究】如图2，点Q为边上一点，且，连接，若，； ①求n的值； ②将沿翻折，点C对应点为点E，与交于点G，过点E作于H，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图3，若，，点P、Q分别是边上的动点，点M是矩形内一动点，且，，N为上一点，，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据矩形的性质和对称性质可得，进而可得是等边三角形，则，利用三角形的内角和定理可求解； （2）①利用矩形的性质和勾股定理求解即可； ②根据矩形性质和折叠性质推导出，则，设，在中，由勾股定理可求得，，进而利用三角形的面积公式求解即可； （3）过M作于S，于K，连接，先证明四边形是正方形得到，，，点B与点D关于对称，再证明四边形是正方形得到M在上运动，连接，，由对称性质得到，当D、M、N共线时，取等号，的最小值为的长，在中，利用勾股定理求解即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点A关于直线的对称点正好是对角线的中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得； ②∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠性质得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，则，， ∵ ∴，即 ∴； 【小问3详解】 解：过M作于S，于K，连接，则， 当时，， 则四边形是正方形， ∴，，，点B与点D关于对称， ∴四边形是矩形， ∴，又， ∴，又，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴M在上运动， 连接，， ∵点B与点D关于对称， ∴， ∴，当D、M、N共线时，取等号， ∴的最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、对称性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、最短距离问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 【问题背景】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点为y轴上一点． 【构建联系】 （1）求点A，点B的坐标； （2）点C为线段上一点，连接交于点E，若， ①求直线的解析式； ②点为y轴负半轴上一点，求点P到直线的距离； 【深入探究】 （3）点M为y轴上一点，在平面上是否存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）存在，N的坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，全等三角形判定与性质，菱形的性质． （1）在中，令得，令得，即得，； （2）①过B作于H，过H作轴，过B作于G，过E作于K，求出直线解析式为，设，证明，可得，即可列出e，t的方程组，解得E的坐标，再用待定系数法可得直线解析式为； ②过P作于T，连接，由勾股定理求出，由面积法可得点P到直线的距离为； （3）设，又，分三种情况列方程组可解得答案． 【详解】解：（1）在中，令得，令得， ∴，； （2）①过B作于H，过H作轴，过B作于G，过E作于K，如图： 设直线解析式为， 将代入得， 解得：， 即直线解析式为， 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 将代入得， 解得：， 即直线解析式为； ②过P作于T，连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P到直线的距离为； （3）在平面上存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设， 又， ①当为对角线时，的中点重合，且， ∴， 解得或， ∴或； ②当为对角线时，同理可得， 解得(此时M与D重合，舍去)或， ∴； ③当为对角线时，同理得， 解得， ∴； 综上所述，N的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期八年级教学质量监测 数学试卷 说明：本试卷共4页，满分120分、考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 下列各数中，能使有意义的是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 0 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 某小组8名学生的中考体育测试成绩（单位：分，满分60分）依次为59，60，55，57，60，58，60，58，这组数据的众数是（　　） A. 55 B. 57 C. 58 D. 60 4. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 5. 一次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 6. 在平行四边形中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角 8. 已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 25 C. 7 D. 15 9. 如图，的顶点坐标分别为，，轴，，蒋沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 15 D. 30 10. 菱形的边长为4，，点G为的中点，以为边作菱形，其中点E在的延长线上，连接，点M为的中点，连接，则线段的长为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：___________． 12. 正比例函数的图象经过点，则___________． 13. 一个弹簧秤不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：cm）与所挂重物质量（单位：kg）的函数解析式是______． 14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点F，G是中点，若，，则的长为___________． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分．共21分． 16 计算：． 17. 已知：如图，是平行四边形的对角线上的两点，，连接．求证：四边形是平行四边形． 18. 【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【方法应用】：如图，在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积； （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 2025年央视春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，燃爆全球，广受好评．为调查观众对某创新节目评价，组委会收集了50名现场观众和5000名线上观众的评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 8 8 线上 7.6 7 （1）直接写出，，的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 20. 如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重（）之间满足一次函数关系，若挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为． （1）求与之间的函数关系式； （2）当秤砣到秤纽的水平距离为时，求秤钩所挂物重． 21. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求的长． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题情境】如图，在矩形中，． （1）【初步尝试】如图1，点P为边上一点，若点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，则___________； （2）【深入探究】如图2，点Q边上一点，且，连接，若，； ①求n的值； ②将沿翻折，点C的对应点为点E，与交于点G，过点E作于H，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图3，若，，点P、Q分别是边上的动点，点M是矩形内一动点，且，，N为上一点，，连接，求的最小值． 23. 【问题背景】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点为y轴上一点． 【构建联系】 （1）求点A，点B的坐标； （2）点C为线段上一点，连接交于点E，若， ①求直线的解析式； ②点为y轴负半轴上一点，求点P到直线的距离； 深入探究】 （3）点M为y轴上一点，在平面上是否存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$