精品解析：四川省广元市利州区2024-2025学年七年级下学期期末数学统考试卷

2025年春季义务教育阶段七年级学生学业水平监测数学 注意事项： 1.本试题卷共6页，三个大题，满分150分，120分钟完卷，考试结束时只交答题卡． 2.答题前将学校、班级、姓名、准考证号准确填写在答题卡指定的位置上． 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题均在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 小明在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图，把两根钢条、的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的工具（卡钳），当增大时，的度数（ ） A. 减小 B. 增大 C. 增大 D. 不变 4. “一粥一饭，当思来之不易；半丝半缕，恒念物力维艰．”某校开展了“光盘行动•拒绝舌尖浪费”活动，为了解学生在校就餐时的光盘情况，该校从全校3000名学生中随机抽取了200名学生进行调查．下列说法正确的是（ ） A. 调查方式是全面调查 B. 3000名学生是个体 C. 3000名学生样本 D. 样本容量是200 5. 如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 6. 下列不等式的变形中，一定正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 7. 下列命题是真命题是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 同位角互补，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 两个无理数的和一定是无理数 8. “一夫当关，万夫莫开”，剑门关风景区是首批国家重点风景名胜区剑门蜀道核心景区，它不但以雄、险、秀、幽、奇的自然风光闻名天下，而且具有深厚的历史文化底蕴，集蜀道文化、三国文化、战争文化、关隘文化、邮驿文化、红色文化于一体．已知某应用软件优惠活动期间，该景区成人票的价格是学生票的2倍，购买4张成人票和3张学生票需要550元．设成人票的价格是元／张，学生票的价格是y元／张，则可列方程组为（ ） A B. C. D. 9. 将边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有9个正方形……，按此规律摆放，第2025个图案中正方形的个数是（ ） A. 4046 B. 4047 C. 4050 D. 4053 10. 如图，，点在直线上（点F在点的右侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一点，连接，的平分线与的平分线交于点，且点在直线之间，有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 2025年清明节期间，广元市利州区共安全发送旅客727700人次．数据727700用科学记数法表示为______． 12. 北斗七星是指大熊座天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗七星．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，使“摇光”的坐标为，“开阳”的坐标为，则“天权”（正好在网格点上）的坐标为______． 13. 把一条线段分为两部分，若此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，则这个比值就是黄金数，即为．比较大小：______．（填“”“”或“”） 14. 如图，，，，将三角形沿方向向右平移，得到三角形，连接，则阴影部分的周长是______． 15. 若实数满足，则的值为_______． 16. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. （1）用代入法解方程组： （2）解不等式组：，并将其解集表示在数轴上． 19. 已知整式，，其中是常数，若整式的值与的取值无关，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点分别为，，． （1）画出三角形； （2）平移三角形，使得点平移到点的位置，点平移后的对应点分别是，画出三角形，并写出点的坐标为______； （3）求三角形的面积． 21. 为增强学生身体素质，促进学生健康成长和全面发展，某学校举行了春季运动会，并设置了A：1分钟跳绳，B：立定跳远，C：篮球，D：田径四个比赛项目，为了解全校学生对各比赛项目的参加情况，随机抽取了部分参加运动会的学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中的信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求、所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该校七年级800名学生中有的学生参加了春季运动会，根据抽样调查结果，估计该校七年级学生参加立定跳远的人数． 22. 在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为． （1）求正方形框架的边长． （2）该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断． 23. 如图，直线、相交于点O，，垂足为，直线平分． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 24. 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动，该商场采购了A、B两种型号的烤箱，其中A型号烤箱的进价为320元/台，B型号烤箱的进价为240元/台．两种型号的烤箱近两周的销售情况如下表：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 烤箱销售数量/台 销售收入/元 A型号 B型号 第一周 2 3 2040 第二周 3 5 3240 （1）求A、B两种型号烤箱的销售单价． （2）若该商场准备再次采购这两种型号的烤箱共20台，且总费用不超过5800元．销售完这20台烤箱的利润能否超过2800元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，我们规定：点P（a，b）关于“k的衍生点”P′（a+kb，a+b﹣ka），其中k为常数且k≠0，如：点Q（1，4）关于“5的衍生点”Q′（1+5×4，1+4﹣5×1），即Q′（21，0）． （1）求点M（3，4）关于“2的衍生点”M′的坐标； （2）若点N关于“3的衍生点”N ′（4，﹣1），求点N的坐标； （3）若点P在x轴的正半轴上，点P关于“k的衍生点”P1，点P1关于“﹣1的衍生点”P2，且线段PP1的长度不超过线段OP长度的一半,请问：是否存在k值使得P2到x轴的距离是P1到x轴距离的2倍？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 26. 如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． （1）求的度数． （2）如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为． ①在旋转过程中，当时，求的值． ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季义务教育阶段七年级学生学业水平监测数学 注意事项： 1.本试题卷共6页，三个大题，满分150分，120分钟完卷，考试结束时只交答题卡． 2.答题前将学校、班级、姓名、准考证号准确填写在答题卡指定的位置上． 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题均在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 由即可得到答案． 【详解】解：， 的立方根是， 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限．第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．据此求解即可． 【详解】解；∵， ∴点位于第二象限， 故选：B． 3. 小明在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图，把两根钢条、的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的工具（卡钳），当增大时，的度数（ ） A. 减小 B. 增大 C. 增大 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解对顶角相等是解题的关键．根据对顶角的性质，即可得出答案． 【详解】解：由图知与是对顶角， 则， 当增大时，的度数增大， 故选：B． 4. “一粥一饭，当思来之不易；半丝半缕，恒念物力维艰．”某校开展了“光盘行动•拒绝舌尖浪费”活动，为了解学生在校就餐时的光盘情况，该校从全校3000名学生中随机抽取了200名学生进行调查．下列说法正确的是（ ） A. 调查方式是全面调查 B. 3000名学生是个体 C. 3000名学生是样本 D. 样本容量是200 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查统计调查的基本概念，包括调查方式、个体、样本、样本容量等，熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据总体、个体、样本、样本容量的意义及全面调查的定义进行判断即可． 【详解】A.全面调查是对全体对象进行调查，而题干中是从3000名学生中随机抽取200名进行调查，属于抽样调查，故A错误； B.个体是调查的每个对象，即每一名学生的就餐情况，而3000名学生是总体，并非个体，故B错误； C. 样本是从总体中抽取的部分对象，题干中抽取的200名学生才是样本，3000名学生是总体，故C错误； D.样本容量是样本中包含的个体数量，题干中抽取了200名学生，因此样本容量为200，故D正确； 故选D． 5. 如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据，沿铺设管道用料最省，说明垂线段最短，进行作答即可． 【详解】解：∵过点作于点，沿铺设管道用料最省， ∴能解释这一做法的道理是垂线段最短， 故选：A 6. 下列不等式的变形中，一定正确的是（ ） A 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可． 【详解】解：A、由，得，正确符合题意； B、，则，原写法错误，不符合题意； C、，则，原写法错误，不符合题意； D、，得不到，如，此时，显然，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 同位角互补，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 两个无理数的和一定是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行，无理数相关的数学定理和基本事实，逐一分析各选项是否符合相关数学定理或事实． 【详解】A：两直线平行时，同旁内角互补（和为180°），而非相等，故A错误， B：同位角相等时两直线平行，而非“互补”，故B错误， C：平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合教材内容，故C正确， D：反例：若两个无理数为与，其和为0（有理数），故D错误． 故选：C． 8. “一夫当关，万夫莫开”，剑门关风景区是首批国家重点风景名胜区剑门蜀道的核心景区，它不但以雄、险、秀、幽、奇的自然风光闻名天下，而且具有深厚的历史文化底蕴，集蜀道文化、三国文化、战争文化、关隘文化、邮驿文化、红色文化于一体．已知某应用软件优惠活动期间，该景区成人票的价格是学生票的2倍，购买4张成人票和3张学生票需要550元．设成人票的价格是元／张，学生票的价格是y元／张，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际运用，根据等量关系列出方程式解题关键．根据题意，建立关于成人票和学生票价格的二元一次方程组即可． 【详解】由题可知：成人票价格是学生票的2倍，设成人票价格为元/张，学生票价格为元/张，则关系式为． 由题可知：购买4张成人票和3张学生票共需550元．总费用方程为． 验证选项： 选项A的方程组为，完全符合上述两个条件，故本选项符合题意． 其他选项的方程或关系式与题意不符（如选项B中错误，选项C、D的总费用方程错误）． 故选：A． 9. 将边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有9个正方形……，按此规律摆放，第2025个图案中正方形的个数是（ ） A. 4046 B. 4047 C. 4050 D. 4053 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第1个图案中有个正方形， 第2个图案中有个正方形， 第3个图案中有个正方形， ……， 第n个图案中有个正方形， ∴第2025个图案中正方形的个数是个， 故选：D． 10. 如图，，点在直线上（点F在点的右侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一点，连接，的平分线与的平分线交于点，且点在直线之间，有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得，是解此题的关键．①过点作，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到 ，结合①的结论即可证明；③由已知得到，结合①的结论即可证明；④由已知得到，结合①的结论即可证明． 【详解】①过点作， 如图： ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，故①正确； ②∵，平分，平分， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 即， 故③正确； ④∵， ∴，即， ∵， ，故④不正确． 综上，①②③正确， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 2025年清明节期间，广元市利州区共安全发送旅客727700人次．数据727700用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据727700用科学记数法表示为:， 故答案为：． 12. 北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗七星．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，使“摇光”的坐标为，“开阳”的坐标为，则“天权”（正好在网格点上）的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，y轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为； 故答案为：． 13. 把一条线段分为两部分，若此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，则这个比值就是黄金数，即为．比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，正确运用作差法是解题的关键． 先作差得到，再利用无理数的估算得到，则，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，，，将三角形沿方向向右平移，得到三角形，连接，则阴影部分的周长是______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及三角形周长的计算，解题的关键是利用平移的性质将阴影部分周长转化为原三角形的周长． 根据平移性质确定对应线段相等（，）；设、交于点O，将阴影部分周长拆分为；发现拆分后各项分别对应原三角形的三边，求和得到结果． 【详解】∵三角形沿方向向右平移得到三角形，根据平移的性质：平移前后对应线段相等，对应点所连的线段相等． ∴，则 设、交于点O，阴影部分的周长为的周长与的周长之和，即 故答案为：15． 15. 若实数满足，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的化简与求值，整体代换的思想，熟练掌握代数式的化简是解题关键． 根据题意，将变形为，将变形为，把代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 将代入，得：， ． 故答案为：． 16. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式的应用，解题的关键是通过将方程组的两个方程相加，整体求出的表达式，再结合已知条件列出不等式求解． 把方程组的两个方程相加，两边除以3得到；再根据列出不等式，解这个不等式，求出k的取值范围． 【详解】已知二元一次方程组， 将方程组中的两个方程相加，可得：， 即，则， ∵方程组的解满足， ∴． 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对根式运算的理解与简化，涉及平方根、绝对值、乘法和加减法等基础知识．解题的关键是分步计算并简化根式和代数表达式，特别要注意对绝对值的处理及在根式运算中的化简． 先处理平方根和绝对值的计算，然后简化包含根式的乘法和加减法，最后将结果整理合并，得到最终表达式． 【详解】 ． 18. （1）用代入法解方程组： （2）解不等式组：，并将其解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集． （1）由得：，代入，再代入求出即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解方程组： 由得：， 将代入得：，解得：， 把代入得， 此不等式组解集为：； （2）解不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示此不等式组的解集为： 所以原不等式组的解集为：． 19. 已知整式，，其中是常数，若整式的值与的取值无关，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． 根据整式的加减运算法则进行化简，然后令含x的项的系数为零即可求出答案． 【详解】解： ， ∵整式值与的取值无关， ∴， 解得：，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点分别为，，． （1）画出三角形； （2）平移三角形，使得点平移到点的位置，点平移后的对应点分别是，画出三角形，并写出点的坐标为______； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，写出坐标系中的点，求网格三角形的面积等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）描出点，再顺次连接即可； （2）先由确定平移方式，即点向左平移6个单位，向下平移1个单位得到点，再由此平移方式确定点的对应点，再顺次连接即可得到三角形，即可得到坐标； （3）由割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求： 【小问2详解】 解：如图，三角形即为所作，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：三角形． 21. 为增强学生身体素质，促进学生健康成长和全面发展，某学校举行了春季运动会，并设置了A：1分钟跳绳，B：立定跳远，C：篮球，D：田径四个比赛项目，为了解全校学生对各比赛项目的参加情况，随机抽取了部分参加运动会的学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中的信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求、所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该校七年级800名学生中有的学生参加了春季运动会，根据抽样调查结果，估计该校七年级学生参加立定跳远的人数． 【答案】（1）50，补全条形统计图见解析 （2）、所对应的扇形的圆心角度数分别为 （3）48 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体等知识点，读懂统计图是解题的关键． （1）先由的人数除以占比求出抽取的学生数，再由抽取的学生数减去人数求出的人数，即可补全条形统计图见解析； （2）用分别乘以占比即可求解圆心角度数； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， 则人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：所对应的圆心角：， C所对应的圆心角：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校七年级学生参加立定跳远的人数为人． 22. 在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为． （1）求正方形框架的边长． （2）该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】（1） （2）不能围出这个长方形框架，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用平方根解方程求出，比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【小问1详解】 解：由题意得正方形框架的边长为； 【小问2详解】 解：不能围出这个长方形框架，理由如下： 由（1）得这根铁丝长为， 由修改后长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为，得 ， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， ∵， ∴不能围出这个长方形框架． 23. 如图，直线、相交于点O，，垂足为，直线平分． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）先求解，结合，即可得到答案； （2）设，可得 ，，，结合，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，直线平分， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ 24. 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动，该商场采购了A、B两种型号的烤箱，其中A型号烤箱的进价为320元/台，B型号烤箱的进价为240元/台．两种型号的烤箱近两周的销售情况如下表：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 烤箱销售数量/台 销售收入/元 A型号 B型号 第一周 2 3 2040 第二周 3 5 3240 （1）求A、B两种型号烤箱的销售单价． （2）若该商场准备再次采购这两种型号的烤箱共20台，且总费用不超过5800元．销售完这20台烤箱的利润能否超过2800元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A 型号烤箱销售单价为 480 元 / 台，B 型号烤箱销售单价为 360 元 / 台． （2）能，采购 A 型号烤箱 11 台、B 型号烤箱 9 台，或采购 A 型号烤箱 12 台、B 型号烤箱 8 台． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据销售数据准确列出方程组求出单价，再结合总费用限制和利润要求确定采购数量的范围，进而得出采购方案． （1）设型号销售单价为未知数，依据两周的销售数量和销售收入列出二元一次方程组，求解得到单价． （2）设采购A型号数量，表达出B型号数量，根据总费用不超过限定值列不等式确定数量范围，再根据利润超过目标值列不等式，结合两者确定采购方案． 【小问1详解】 设A型号烤箱的销售单价为x元/台，B型号烤箱的销售单价为y元/台． 根据题意得：，解得， 答：两种型号烤箱的销售单价分别为480元/台与360元/台． 【小问2详解】 设采购A型号烤箱m台，则采购B型号烤箱台． 由总费用不超过5800元，可得， 化简得，即，解得， 因为m为非负整数，所以． 利润：． 要使利润超过2800元，即，即，解得． 结合且m为非负整数，可得或12 当时，；当时，． 答：能．采购方案为采购A型号烤箱11台、B型号烤箱9台，或采购A型号烤箱12台、B型号烤箱8台． 25. 在平面直角坐标系中，我们规定：点P（a，b）关于“k的衍生点”P′（a+kb，a+b﹣ka），其中k为常数且k≠0，如：点Q（1，4）关于“5的衍生点”Q′（1+5×4，1+4﹣5×1），即Q′（21，0）． （1）求点M（3，4）关于“2的衍生点”M′的坐标； （2）若点N关于“3的衍生点”N ′（4，﹣1），求点N的坐标； （3）若点P在x轴的正半轴上，点P关于“k的衍生点”P1，点P1关于“﹣1的衍生点”P2，且线段PP1的长度不超过线段OP长度的一半,请问：是否存在k值使得P2到x轴的距离是P1到x轴距离的2倍？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）M′（11，1）； （2）点N的坐标为（1，1）； （3）不存在k值使得P2到x轴的距离是P1到x轴距离的2倍． 【解析】 【分析】（1）由衍生点的定义即可得出结果； （2）设N（x，y），由点N关于“3的衍生点”N′（4，-1），得出，解方程即可得出结果； （3）设P（x，0），求出P1（x，x-kx），P2（kx，3x-kx），由线段PP1的长度不超过线段OP长度的一半，得出，由x＞0，解得，由P2到x轴的距离是P1到x轴距离的2倍，求出k的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：点M（3，4）关于“2的衍生点”M′的坐标为：（3+2×4，3+4-2×3）， 即M′（11，1）； 【小问2详解】 解：设N（x，y）， ∵点N关于“3的衍生点”N′（4，-1）， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为（1，1）； 【小问3详解】 解：不存，理由如下： ∵点P在x轴的正半轴上， ∴设P（x，0）， 点P关于“k的衍生点”P1，则P1（x+0k，x+0-kx）， 即P1（x，x-kx）， 点P1关于“1的衍生点”P2，则P2（x-x+kx，x+x-kx+x）， 即P2（kx，3x-kx）， ∵线段PP1的长度不超过线段OP长度的一半， ∴， ∵x＞0， ∴|1-k|≤， ∴， ∵P2到x轴的距离是P1到x轴距离的2倍， ∴， 解得：k=1，或k=， ∴不存在k值使得P2到x轴的距离是P1到x轴距离的2倍． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了图形与坐标的性质、新概念衍生点、解二元一次方程组、一元一次不等式等知识，熟练掌握衍生点的定义是解题的关键． 26. 如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． （1）求的度数． （2）如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为． ①在旋转过程中，当时，求的值． ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值． 【答案】（1）60° （2）①15s；②7．5s或70s 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①首先证明∠GBC=∠DCN＝30°，由此构建方程求解即可；②分两种情形，如图③，当BGHK时，延长KH交MN于R，∠GBN＝∠KRN，构建方程即可求解；如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R，∠GBN+∠KRM＝180°，构建方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图①中， ∵∠ACB＝30°， ∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°， ∵CE平分∠ACN， ∴∠ECN＝∠ACN＝75°， ∵PQMN， ∴∠QEC+∠ECN＝180°， ∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°， ∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°． 【小问2详解】 解：①如图②中， ∵BGCD， ∴∠GBC＝∠DCN， ∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°， ∴∠GBC＝30°， ∴2t＝30， ∴t＝15s． ∴在旋转过程中，若边BGCD，t的值为15s． ②如图③中，当BGHK时，延长KH交MN于R． ∵BGKR， ∴∠GBN＝∠KRN， 过点K作KTPQ，则PQKTMN， ∴∠QEK=∠EKT，∠KRN=∠HKT， ∴∠QEK＝60°+t，∠K＝∠QEK+∠KRN， ∴∠KRN＝90°﹣（60°+t）＝30°﹣t， ∴2t＝30°﹣2t， ∴t＝7.5s． 如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R． ∵BGKR， ∴∠GBN+∠KRM＝180°， 同理可得∠QEK＝60°+t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM， ∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣t）＝t﹣30°， ∴2t+t﹣30°＝180°， ∴t＝70s． 综上所述，满足条件的t的值为7.5s或70s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$